優(yōu)學(xué)教育我們的成功不是偶然！PAGE2PAGE1海到無邊天作岸，山高絕頂我為峰Hj同學(xué)個性化教學(xué)設(shè)計年級九教師:科目數(shù)學(xué).9弧長與扇形面積一、知識點1、n°圓心角所對弧長：L=，()2、S扇形==,()公式中沒有n°，而是n；沒有180°和360°，而是180和360.3、母線長為L，底面圓的半徑為r的圓錐：沿圓錐一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，這個扇形的半徑為母線長L，扇形的弧長為2，因此圓錐的側(cè)面積和圓錐的全面積：扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長．圓錐的側(cè)面積是展開的圖扇形面積S=，其中n可由2r=求得：n=，∴扇形面積S==rL；全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2．二、例題例1、制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結(jié)果精確到0.1mm）例2、在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長5m的繩子，繩子的另一端拴著一頭牛，如圖所示:（1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域有多大？（2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？Ts：（1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域是一個以A（柱子）為圓心，5m為半徑的圓的面積．（2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域應(yīng)該是n°圓心角的兩個半徑的n°圓心角所對的弧所圍成的圓的一部分的圖形。例3．如圖，已知扇形AOB的半徑為10，∠AOB=60°，求的長（結(jié)果精確到0．1）和扇形AOB的面積結(jié)果精確到0．1）例4．（1）操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．（2）嘗試與思考：如圖a、b所示，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心角放在邊長為a的正三角形或邊長為a的正五邊形的中心點處，并將紙板繞O旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)扇形紙板的圓心角為________時，正三角形邊被紙覆蓋部分的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為_______時，正五邊形的邊長被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．(a)(b)（3）探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心角放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，若將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為_______時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a，這時正n邊形被紙板所覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系（不需證明）；若不是定值，請說明理由．Ts：（1）如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結(jié)OA、OD．∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當(dāng)點M與點A（點B）重合時，點N必與點D（點A）重合，此時AM+AN仍為定值a．故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．（2）120°；72°；正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是定值，這個定值是．例5．圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？（結(jié)果精確到0.1cm2）例6．已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2．（1）求扇形的弧長；（2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？ts：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形．三、練習(xí)（一）選擇題1．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長是（）．A．3B．4C．5D．62．如圖1所示，把邊長為2的正方形ABCD的一邊放在定直線L上，按順時針方向繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，則點B運動到點B′所經(jīng)過的路線長度為（）A．1B．C．D．(1)(2)(3)如圖2所示，實數(shù)部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長為（）A．12mB．18mC．20mD．24m4．圓錐的母線長為13cm，底面半徑為5cm，則此圓錐的高線為（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm在半徑為50cm的圓形鐵皮上剪去一塊扇形鐵皮，用剩余部分制作成一個底面直徑為80cm，母線長為50cm的圓錐形煙囪帽，則剪去的扇形的圓心角度數(shù)為（）A．228°B．144°C．72°D．36°6．如圖所示，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，從點A出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點A的最短的路線長是（）A．6B．C．3D．3二、填空題7．圓的半徑為R，1°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______．圓的半徑為R，5°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______．圓半徑為R，n°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______．圓半徑為R，弧長為的扇形面積S扇形=_______。8.如果一條弧長等于R，它的半徑是R，那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為______，當(dāng)圓心角增加30°時，這條弧長增加________．9.如圖3所示，OA=30B，則的長是的長的_____倍．10.母線長為L，底面半徑為r的圓錐的表面積=_______．11.矩形ABCD的邊AB=5cm，AD=8cm，以直線AD為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱體的表面積是__________（用含的代數(shù)式表示）糧倉頂部是一個圓錐形，其底面周長為36m，母線長為8m，為防雨需在糧倉頂部鋪上油氈，如果按用料的10%計接頭的重合部分，那么這座糧倉實際需用________m2的油氈．三、綜合題13．已知如圖所示，所在圓的半徑為R，的長為R，⊙O′和OA、OB分別相切于點C、E，且與⊙O內(nèi)切于點D，求⊙O′的周長．14．如圖，若⊙O的周長為20cm，⊙A、⊙B的周長都是4cm，⊙A在⊙O內(nèi)沿⊙O滾動，⊙B在⊙O外沿⊙O滾動，⊙B轉(zhuǎn)動6周回到原來的位置，而⊙A只需轉(zhuǎn)動4周即可，你能說出其中的道理嗎？如圖所示，在計算機白色屏幕上，有一矩形著色畫刷ABCD，AB=1，AD=，將畫刷以B為中心，按順時針轉(zhuǎn)動A′B′C′D′位置（A′點轉(zhuǎn)在對角線BD上），求屏幕被著色的面積．16．一個圓錐形和煙囪帽的底面直徑是40cm，母線長是120cm，需要加工這樣的一個煙囪帽，請你畫一畫：（1）至少需要多少厘米鐵皮（不計接頭）（2）如果用一張圓形鐵皮作為材料來制作這個煙囪帽，那么這個圓形鐵皮的半徑至少應(yīng)是多少？17．如圖所示，已知圓錐的母線長AB=8cm，軸截