方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)保山市第八中學(xué)于波函數(shù)與方程是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是高考重點(diǎn)考察內(nèi)容之一．在學(xué)生已掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及導(dǎo)函數(shù)等知識(shí)的前提下，如何通過(guò)第一輪的復(fù)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)而運(yùn)用已有知識(shí)解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及有關(guān)參數(shù)討論的問(wèn)題，是第一輪復(fù)習(xí)階段高中教師面臨的核心問(wèn)題．一．考情分析高考試題核心考點(diǎn)考察內(nèi)容核心素養(yǎng)難度系數(shù)課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ，15，5分函數(shù)與方程求三角函數(shù)在指定區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算中課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ，11，5分函數(shù)與方程已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算中課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ，21，12分函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、證明不等式函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)，證明不等式數(shù)學(xué)運(yùn)算難近三年的全國(guó)卷中，基本都涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，內(nèi)容涉及零點(diǎn)的存在性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)區(qū)間等，題型為選擇題、填空題和解答題，難度中檔或較難。高考試題對(duì)該部分內(nèi)容考察的重要角度有兩種：一種是找函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；另一種是判斷零點(diǎn)的范疇．另外應(yīng)當(dāng)特別注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題.二.基礎(chǔ)回想1．函數(shù)的零點(diǎn)（1）定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.（3）二分法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條持續(xù)不停的曲線，且f(m)·f(n)<0，通過(guò)不停地把函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的辦法叫做二分法.（4）函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．（5）函數(shù)Fx=fx-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)2．二次函數(shù)y=?=Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)ya>0的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)方程f(x)=0的根x=x1x=x無(wú)實(shí)根函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)xx無(wú)零點(diǎn)3．二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題二次函數(shù)零點(diǎn)的分布即一元二次方程根的分布，普通為下面兩個(gè)方面的問(wèn)題：(1)一種區(qū)間內(nèi)只有一種根；(2)一種區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)根．由于我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)方程根的狀況，有時(shí)能夠根據(jù)鑒別式及根與系數(shù)的關(guān)系判斷，但在多數(shù)狀況下，還要結(jié)合圖象，從對(duì)稱(chēng)軸、鑒別式、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值等方面去探究．具體解法以下表：設(shè)二次函數(shù)y=ax根的分布(m＜n＜p)圖象滿足條件一種區(qū)間只有一種根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一種區(qū)間有兩個(gè)根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)內(nèi)有且只有一種根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或fm<0m<-或f三.考點(diǎn)分析考點(diǎn)一判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間高考中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間的考察重要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了基本概念的靈活運(yùn)用，難度不大.1.已知函數(shù)fx=lnx-(12A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：∵fx又f(1)＝ln1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(－1)＝ln1－2＜0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(0)＜0，f(3)＝ln3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(1)＞0，∴x0∈(2,3)，故選C．2.設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范疇．作圖如右：可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)．3.(·北京東城區(qū)綜合練習(xí)(二))已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，\f(k＋1,2)))(k∈Z)內(nèi)，那么k＝________.解：法一：（運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性）函數(shù)y=lnx∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＜0，f(3)＝ln3＞0，∴f(x)的零點(diǎn)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))內(nèi)，則整數(shù)k＝5.法二：∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＜0，f(3)＝ln3＞0，∴f(x)的零點(diǎn)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))內(nèi)，則整數(shù)k＝5.辦法提煉1.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的辦法（1）解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，看方程與否有根落在給定區(qū)間上來(lái)判斷.（2）運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.（3）數(shù)形結(jié)合畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間內(nèi)與否有交點(diǎn)來(lái)判斷.2.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)環(huán)節(jié)(1)代：將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值.(2)判：把所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷.(3)結(jié)：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)持續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)最少有一種零點(diǎn).考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷高考中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的考察重要以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度不大.1.求函數(shù)fx解析：辦法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必然存在零點(diǎn)，又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一種零點(diǎn)．辦法二：在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖．由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一種交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一種零點(diǎn)．2.方程|x2－2x|=a2+1（a∈R+）的解的個(gè)數(shù)是______________。解析：根據(jù)a為正數(shù)，得到a2+1＞1，然后作出y=|x2－2x|的圖象如圖所示，根據(jù)圖象得到y(tǒng)=a2+1的圖象與y=|x2－2x|的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程有兩解?！遖∈R+∴a2+1＞1。而y=|x2－2x|的圖象如圖，∴y=|x2－2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)。∴方程有兩解。答案：2個(gè)點(diǎn)評(píng)：考察學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)根據(jù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷方程解的個(gè)數(shù)。做題時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想辦法。3.(課標(biāo)Ⅲ,15,5分)函數(shù)fx=cos?(3x解析本題考察函數(shù)與方程.法一：令f(x)=0,得cos?(3x+π6)=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),x=π9;當(dāng)法二：畫(huà)出函數(shù)fx=cos?(3x4.(·秦皇島模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,4x＋1，x≤0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.解：當(dāng)x＞0時(shí)，作函數(shù)y＝lnx和y＝xeq\s\up7(2)－2x的圖象，由圖知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)＝0得x＝－eq\f(1,4)，綜上，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．5.(·河南四月質(zhì)檢)已知函數(shù)fx5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上的根的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．6[解析]由于5[x－f(x)]＝1，故f(x)＝x－eq\f(1,5)；在同始終角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝f(x)，y＝x－eq\f(1,5)，的圖象如圖所示，觀察可知，兩個(gè)函數(shù)的圖象在[－2,2]上有6個(gè)交點(diǎn)，故方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上有6個(gè)根．選D.辦法提煉1.直接求零點(diǎn)：令fx2.零點(diǎn)存在性定理：運(yùn)用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是持續(xù)不停的曲線，且3.運(yùn)用函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).考點(diǎn)三由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范疇（或值）常規(guī)思路：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，普通運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要精確，這種數(shù)形結(jié)合的辦法能夠協(xié)助我們直觀解題．1.(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理,9,5分)已知函數(shù)fx=ex,x≤0lnx,x>0，gx=A.[-1,0)

B.[0,+∞)C.[-1,+∞)

D.[1,+∞)答案

C本題重要考察函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的圖象.g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)fx=ex,x≤0lnx,x>0與h(x當(dāng)x=0時(shí),h(0)=-a,由圖可知要滿足y=f(x)與y=h(x)的圖象存在2個(gè)交點(diǎn),需要-a≤1,即a≥-1.故選C.2.(課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,11,5分)已知函數(shù)fx=x2-2x+a(A.-12

B.C.答案

C由函數(shù)f(x)有零點(diǎn)得x2即(x-1)2令t=x-1,則上式可化為t2-1+ae令h(t)=1-t2et又由f(x)有唯一零點(diǎn)得函數(shù)h(t)的圖象與直線y=a有唯一交點(diǎn),則此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,因此a=1-023.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x＜2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范疇是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)解析：畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖D16，觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)需滿足0＜a＜1.故選D.答案：D4.若函數(shù)fx=eA.0,1eB.-∞,1e【答案】A【解析】f'x=-e-x+tx=0有兩個(gè)正根，即t=xe-x有兩個(gè)正根，令gx=xe-x，g故選：A．辦法提煉1.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用重要體現(xiàn)在運(yùn)用零點(diǎn)求參數(shù)取值范疇，若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范疇，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)圖像的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀，簡(jiǎn)樸這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范疇?wèi)T用的辦法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建有關(guān)參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式擬定參數(shù)范疇；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)正當(dāng)：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范疇的辦法普通環(huán)節(jié)：考點(diǎn)四求函數(shù)的零點(diǎn)之和的問(wèn)題1.(·天津模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=QUOTElog12(x+1),x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1(A)1-2a (B)2a-1 (C)析:由于當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=QUOTElog12(x+1),x即x∈[0,1)時(shí),f(x)=(x+1)∈(-1,0];x∈[1,3]時(shí),f(x)=x-2∈[-1,1];x∈(3,+∞)時(shí),f(x)=4-x∈(-∞,1);畫(huà)出x≥0時(shí)f(x)的圖象,再運(yùn)用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,畫(huà)出x<0時(shí)f(x)的圖象,如圖所示;則直線y=a與y=f(x)的圖象有5個(gè)交點(diǎn),則方程f(x)-a=0共有五個(gè)實(shí)根,最左邊兩根之和為-6,最右邊兩根之和為6,由于x∈(-1,0)時(shí),-x∈(0,1),因此f-x=log12(-x+1),又f因此fx因此中間的一種根滿足log21-x=a,即1-x=辦法提煉求函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)之和問(wèn)題,核心是作出其圖象,運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性求和.考點(diǎn)五運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的問(wèn)題1.畫(huà)出下列函數(shù)的圖像（1）fx=x(3)fx=xlnx（4）要點(diǎn)歸納：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和極值畫(huà)圖，要特別注意函數(shù)值的分布（符號(hào)）狀況。2.已知函數(shù)若有關(guān)的方程有5個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范疇是（）解析：設(shè)t=t則t-1tt=1或t令ht=為方程的兩根，則t10<t1由題意知h0>03.（全國(guó)Ⅱ卷理21．（12分））已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一種零點(diǎn)，求．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)，在只有一種零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一種零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一種零點(diǎn)；③若，即，由于，因此在有一種零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因此．故在有一種零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一種零點(diǎn)時(shí)，．4.已知函數(shù)，.（1）若直線是曲線與曲線的公切線，求；（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范疇.【答案】（1）或；（2）.試題解析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得。設(shè)直線與切于點(diǎn)，與切于.則在點(diǎn)處的切線方程為：，即.在點(diǎn)處的切線方程為：，即.這兩條直線為同一條直線，因此有由（1）有，代入（2）中，有，則或.當(dāng)時(shí)，切線方程為，因此,當(dāng)時(shí)，切線方程為，因此.（2）。求導(dǎo)：，顯然在上為減函數(shù)，存在一種，使得，且時(shí)，，時(shí)，，所覺(jué)得的極大值點(diǎn)。由題意，則規(guī)定.由，有，因此，故.令，且。，在上為增函數(shù)，又，規(guī)定，則規(guī)定，又在上為增函數(shù)，因此由，得。綜上，辦法提煉運(yùn)用導(dǎo)數(shù)擬定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的辦法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(規(guī)定g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化擬定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并擬定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解．(2)運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．四.考向分析新修訂的高中數(shù)學(xué)課程方案、課程原則更關(guān)注學(xué)生能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)，新高考改革，將增強(qiáng)試題的靈活性與