1簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(2)北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章《不等式》法門高中姚連省制作1簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(2)北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章《不等式》2一、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能：使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2．過(guò)程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模能力；3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二、教學(xué)重點(diǎn)：用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式四、教學(xué)過(guò)程2一、教學(xué)目標(biāo)3

目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組稱為約束條件。

如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標(biāo)函數(shù)，如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱為線性約束條件。一、復(fù)習(xí)3目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組稱為約束條件。4

在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為問(wèn)題的最優(yōu)解。

一般地，滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。4在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題5

例1：某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要兩種原料。生產(chǎn)甲產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料3kg，B原料1kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料2kg，B原料2kg?，F(xiàn)有A原料1200kg，B原料800kg。如果生產(chǎn)甲產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是30元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是40元，問(wèn)同時(shí)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，各多少工時(shí)能使利潤(rùn)的總額最大？最大利潤(rùn)是多少？5例1：某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都6解：依題意，可列表如下：產(chǎn)品原料A數(shù)量(kg)原料B數(shù)量(kg)利潤(rùn)(元)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1工時(shí)3130生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1工時(shí)2240限額數(shù)量1200800

設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，計(jì)劃生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，6解：依題意，可列表如下：產(chǎn)品原料A數(shù)量(kg)原料B數(shù)量(7則獲得的利潤(rùn)總額為f=30x+40y。①其中x,y滿足下列條件：②

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在x，y滿足條件②的情況下，求式子30x+40y的最大值。7則獲得的利潤(rùn)總額為f=30x+40y。①其中x8畫出不等式組②表示的平面區(qū)域OABC。

問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為，在不等式組②表示的平面區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30x+40y時(shí)，使該式取得最大值。8畫出不等式組②表示的平面區(qū)域OABC。問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為9

令30x+40y=z，則直線過(guò)點(diǎn)B時(shí),z最大。9令30x+40y=z，則直線過(guò)點(diǎn)B時(shí),z最大。10將x=200，y=300代入式子①:30x+40y，得zmax=30×200+40×300=18000.答：用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得利潤(rùn)18000元，此時(shí)利潤(rùn)總額最大。解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(200，300)。10將x=200，y=300代入式子①:30x+40y，得11例2．下表給出甲、乙、丙三種食物中維生素A、B的含量及單價(jià)：甲乙丙維生素A(單位/千克)400600400維生素B(單位/千克)800200400單價(jià)(元/千克)765營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)買這三種食品共10千克，使它們所含的維生素A不少于4400單位，維生素B不少于4800單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各購(gòu)買多少千克？11例2．下表給出甲、乙、丙三種食物中維生素A、B的含量及單12解：設(shè)購(gòu)買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購(gòu)買丙種食物(10－x－y)千克，又設(shè)總支出為z元，由題意得

z=7x+6y+5(10－x－y)，化簡(jiǎn)得z=2x+y+50，x，y應(yīng)滿足的約束條件12解：設(shè)購(gòu)買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購(gòu)買丙種食物13化簡(jiǎn)得根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。13化簡(jiǎn)得根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖141415

容易看出，z=2x+y+50過(guò)直線y=2與直線2x－y=4的交點(diǎn)時(shí),z值最小。解方程組得點(diǎn)M(3，2)。因此，當(dāng)x=3，y=2時(shí)，z取得最小值z(mì)=2×3+2+50=58.此時(shí)，10－x－y=5.答：購(gòu)買甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金額最低為58元。15容易看出，z=2x+y+50過(guò)直線y=2與直線216例3．某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個(gè)大集裝箱能夠所托運(yùn)的貨物的總體積不能超過(guò)24m3，總重量不能低于650千克。甲、乙兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤(rùn)，列表如下：貨物每袋體積(單位：m3)每袋重量(單位：百千克)每袋利潤(rùn)(單位：百元)甲5120乙42.510問(wèn)：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋(不一定都是整袋)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？16例3．某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個(gè)大集裝17解：設(shè)托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋，獲得利潤(rùn)z百元。則z=20x+10y。

依題意可得關(guān)于x，y的約束條件17解：設(shè)托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋，獲得利潤(rùn)z百元。18

根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。畫直線l0：20x+10y=0，平行移動(dòng)l0到直線l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線l0的同一側(cè)。18根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖191920

該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值。

容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線2x+5y=13與直線5x+4y=24的交點(diǎn)。解方程組得點(diǎn)M(4，1)。

因此當(dāng)x=4，y=1時(shí)，z取得最大值，此時(shí)zmax=20×4+10×1=90.20該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函21答：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋，可獲得最大利潤(rùn)9000元。21答：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋，可獲得22例4．A、B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)，兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知A區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；B區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求B區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比A區(qū)的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過(guò)37元。怎樣安排參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多少人？22例4．A、B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用23解：設(shè)A、B兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為x，y受到服務(wù)的老人人數(shù)為z，

則z=5x+3y，應(yīng)滿足的約束條件是化簡(jiǎn)得23解：設(shè)A、B兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為x，y受到服務(wù)的老人24

根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。

畫直線l0：5x+3y=0，平行移動(dòng)l0到直線l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線l0的同一側(cè)。24根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰25

該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值。容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線x－5y+1=0與直線3x+3y=37的交點(diǎn)。解方程組得點(diǎn)M(4，5)。25該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函26

因此，當(dāng)x=4，y=5時(shí)，z取得最大值，并且zmax=5×4+3×5=35.答：A、B兩區(qū)參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)分別為4，5時(shí)，受到服務(wù)的老人最多，最多