函數(shù)極值點(diǎn)的教學(xué)與反思一元函數(shù).關(guān)鍵詞：極值點(diǎn)偏移，函數(shù)單調(diào)性，恒成立引言：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用常作為高考?jí)狠S題出現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于第二問一般束手無策。從2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題第22題看，就是典型的極值點(diǎn)偏移問題的證明，如何讓學(xué)讓學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。一、引入極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量x都有f(x)f(2mx)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xm對(duì)稱；可以理解為函數(shù)f(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則xm必為f(x)的極值點(diǎn).如二次函數(shù)x2f(x)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)x0，若x2

f(x)c的兩根的中點(diǎn)為 ，則剛好有2x0，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.2yyx若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為m，且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)xm左側(cè)的任意自變量

x都有

f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx)f(x)極值點(diǎn)m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)x,x滿足f(x)f(x)，則x2與極值點(diǎn)m必有確1 2 1 2 2定的大小關(guān)系，列舉如下：左）

mx2） 2

mx22）二、探索新知

mx2） 2

mx22極值點(diǎn)偏移的判定定理：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)yf(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大（小）值點(diǎn)x0，方程f(x)0的解分別為,x2，且ax2b，f(x1)f(2x0x2)x22

()x0yf(x)在區(qū)間(x1,x2)上極（?。┐笾迭c(diǎn)x0右（左）偏；（2f(x1)f(2x0x2)

x22

()x0yf(x)在區(qū)間(x1,x2)上極（?。┐笾迭c(diǎn)x0左（右）偏.三、對(duì)點(diǎn)詳析，舉一反三例1、已知函數(shù)f(x)xex(xR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若x2，且f(x1)f(x2)，證明：x22.學(xué)生回答：（1）f(x)在￥,1)上單調(diào)遞增，在)上單調(diào)遞減，f(x)的極=f1=值是 e（2）師生分析：x是11

f(x)的唯一極大值點(diǎn)，因?yàn)橐C明x

x2

2，即2 ，所以知道極值點(diǎn)左偏，由此可知

f(xfx)對(duì)

x恒成立或f-x)>f(x)對(duì)x恒成立，故可想到構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(1+x)-

fx)，x或構(gòu)造函數(shù)F(x)=f-x)-

f(x),x下面師生共同給出證明過程：下面師生共同給出證明過程：F(x)0∵1，∴2x21，f(x)在(,1)上單調(diào)遞增，∴2x2，∴x22.例2、已知函數(shù)f(x)=2x，若xx

，且f(x)f(x

)，證明：xx

4.x 1 2 1 2 1 2學(xué)生回答：f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增。1x是f(x)的極小值點(diǎn)，要證明x1

x2

4，即 2 ，所f(x)>f(4-x)0<x恒成立。故可想到構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-

f(4-x),0<x下面師生共同給出證明過程：由函數(shù)f(x)=2x單調(diào)性可知：若f(x)f(x

)，則必有x

2x，。x所以42，

1 2 1 2而f(x)f(4x)2lnx

2 1ln(4x)，1x1 1 1x1

4令h(x)22lnxln(4x)，則x 4x

2 2 2 2 h'(x)2 2 1 1 2(4x)2xx(4x)x x2 (4x)22

x 4x

x2(4x)2x2)0x2(4x)2所以函數(shù)h(x)在(0,2)為減函數(shù)，所以h(x)h(2)0，所以f(x1)f(4)0即

f(x1)f(4)，所以

f(x2)f(4)，所以x24.四、針對(duì)練習(xí)，提升能力例3、函數(shù)f(x)x44x3與直線ya(a1)交于A(x,a)、B(x,a)兩點(diǎn).3證明：x22.

3 1 2學(xué)生板演：略1 2例3、已知函數(shù)f(x)(x-2exa(x-2有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)x,1 2

是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.學(xué)生板演：略五、強(qiáng)化記憶，課堂總結(jié)。問題抽化模型f(x)滿足f(x1)f(x2)，x0為函數(shù)f(x)x22x0.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出f(x)的極值點(diǎn)x0；假設(shè)此處f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,)上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造F(x)f(x0x)f(x0x)；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F(x)f(x)f(2x0x)的形式.（3）通過求導(dǎo)F'(x)討論F(x)的單調(diào)性，判斷出F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x0x)與f(x0x)的大小關(guān)系；假設(shè)此處

F(x)在

(0,)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0，從而得到：x0時(shí)，f(x0x)f(x0x).（4）不妨設(shè)x0x2，通過

f(x)的單調(diào)性，

f(x1)f(x2)，

f(x0x)與f(x0x)的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于

x0時(shí)，

f(x0x)f(x0x)且x0x2，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2)，又因?yàn)閤0，2x0x2x0且f(x)在(,x0)2x0x2，從而x22x0得證.要證明f'(x2)0x2與x

x22 2 0 2所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.x2x22x0，故2上單調(diào)遞減，故f'(x2)0.2六、極值點(diǎn)偏移在高考中的考察2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題第22題如下：題目：已知函數(shù)f(x)=xlnx).（1）討論f(x)的單調(diào)性；

x0，由于f(x)在(,x0)+（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb-b，證明：2<1 1.+a b分析：有第一問知f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為+￥)，因?yàn)閎lna-alnb-bbalna=lnf?

f???a b èa? ?1 11 2設(shè)a,b1 2

=x2，0<xx即證2g(x)=f(x)-

f-x),1<x，易得g(x)>g，故f(x)>f-x)，即() ( ) ( )成立，所以成立，f

=fx2>f

2-x2x

即證f(x)=f(x)>f-x)令j

(x)=f(x)-

f-x),