一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯(cuò)題)1.如圖，點(diǎn)A、B、C分別是OO上的點(diǎn)，CD是OO的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn),AP=AC．若/B=60°，求證：AP是O0的切線；若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E，CD=4,求BE?AB的值.【答案】(1)證明見解析；(2)8.【解析】求出/ADC的度數(shù)，求出ZP、ZACO、ZOAC度數(shù)，求出ZOAP=90°,根據(jù)切線判定推出即可；求出BD長，求出△DBE和厶ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.試題解析：連接AD，OA，TZADC=ZB，ZB=60°,ZADC=60°，TCD是直徑，.ZDAC=90°，.ZACO=180°-90°-60°=30°，TAP=AC，OA=OC，.ZOAC=ZACD=30°，ZP=ZACD=30°.ZOAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA丄AP,TOA為半徑，.AP是OO切線.(2)連接AD，BD，TCD是直徑,ZDBC=90°,TCD=4,B為弧CD中點(diǎn)，4???bd=bc=T、：.ZBDC=ZBCD=45°,.ZDAB=ZDCB=45°,即ZBDE=ZDAB,TZDBE=ZDBA,△DBE-△ABD,BDABU一???,?BE?AB=BD?BD=\'：、I：；；.考點(diǎn)：1．切線的判定；2．相似三角形的判定與性質(zhì)2.如圖，在AABC中，AB=AC，以AB為直徑作OO,OO交BC于點(diǎn)D,交CA的延長線于點(diǎn)E.過點(diǎn)D作DF丄AC，垂足為F.EE求證：DF為OO的切線；若AB=4,ZC=30°,求劣弧be的長.4【答案】(1)證明見解析(2)3【解析】分析：(1)連接AD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得ZADB=90°,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=CD，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OD丄DF,進(jìn)而根據(jù)切線的判定證明即可；連接OE，根據(jù)三角形的外角求出ZBAE的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求出ZBOE的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求解即可.詳解：(1)連接AD、OD.TAB是直徑,???ZADB=90°.AB^AC,…BD^CD,又：OA=OB,?OD是AABC的中位線，???ODIIAC,DF丄AC,?OD丄DF?ZBOE=2ZBAE,?ZBOE=120°,"卜=：AW九點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題,考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)和判定、三角形的中位線、圓周角定理,靈活添加輔助線是解題關(guān)鍵.3.如圖，在AABC中，ZBAC二90。，AB=AC=41,AD丄BC，垂足為D，過A,D的OO分別與AB,AC交于點(diǎn)E,F，連接EF,DE,DF.求證：AADE=ACDF；當(dāng)BC與OO相切時(shí)，求OO的面積.兀2【答案】⑴見解析；(2).4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD、Z1=ZC=45°,由ZEAF=90°知EF是OO的直徑，據(jù)此知Z2+Z4=Z3+Z4=90°，得Z2=Z3,利用"ASA”證明即可得；(2)當(dāng)BC與OO相切時(shí)，AD是直徑，根據(jù)ZC=45°、AC=、込可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，?AB=AC，ZBAC=90°，?ZC=45°.1又?AD丄BC,AB=AC,?Z1=ZBAC=45°,BD=CD,ZADC=90°.又?ZBAC=90°,BD=CD,?AD=CD.

又：乙EAF=90°,???EF是OO的直徑,AZEDF=90°,二Z2+Z4=90°.又：乙3+Z4=90°,AZ2=Z3.在△ADE和厶CDF中.^Z1=ZC<AD=CD,A△ADE竺△CDF(ASA).(2)當(dāng)BC與OO相切時(shí)，AD是直徑.在RtAADC中，ZC(2)當(dāng)BC與OO相切時(shí)，AD是直徑.在RtAADC中，ZC=45°,AC=込，AsinZC=ACAAD=ACsinZC=1，aOO的半徑為2,n2AOO的面積為44)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A4)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A8C為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值.答案】(1)F(3，4)(2)8-4朽；(3)7；⑷t的值為罟或32.點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).矩形ABCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形ABCD在平面內(nèi)滑動(dòng)，如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為；當(dāng)t=4時(shí)，求OE的長及點(diǎn)B下滑的距離;求運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)O的最大距離；【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出ZABO=30°，即可得出結(jié)論;

(3)當(dāng)0、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，即可得出結(jié)論；(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．試題解析：解：(1)當(dāng)t=0時(shí).TAB=CD=8,F為CD中點(diǎn)，二DF=4,AF(3,4)；(2)當(dāng)t=4時(shí)，0A=4.在RtAAB0中，AB=8,ZA0B=90°,AZAB0=30°,1AZAB0=30°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，0E=2AB=4,B0=4/3,???點(diǎn)B下滑的距離為(4)在(4)在RtAADF中，F(xiàn)D2+AD2=AF2,aAF=FD2+AD2=5,①設(shè)A0=tr時(shí)，OF與x軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AFA丄0A,AZ0AB+ZFAB=90°.TZFAD+ZFAB=90°,AZBA0=ZFAD.TZB0A=ZD=90°,ARtAFAE-RtAAB0,A,?§二FAFE…5324A24AJ=丁，②設(shè)A0=t2時(shí),OF與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得，t2=^.綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值為￥或辛.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解(2)的關(guān)鍵是得出ZAB0=30°,解的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)0、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，解(4)的關(guān)鍵是判斷出RtAFAE-RtAABD,是一道中等難度的中考常考題.閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.??…先構(gòu)造"輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問題：如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).使ZAPB=30°的點(diǎn)P有個(gè);若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且ZAPB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)sinZAPB=m，若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范

圍．答案】(1)無數(shù)；2)圍．答案】(1)無數(shù)；2)（0,2J3-藥）或（0,2x/3+、耳）;2（3）0<m<3【解析】試題分析：(1)已知點(diǎn)人、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使ZAPB=30°，只需點(diǎn)P在過點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓上，且弧AB所對(duì)的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè).結(jié)合(1)中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P是(1)中的圓與y軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角.要/APB最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得/APB最大的點(diǎn)P,由此即可求出m的范圍.試題解析：解：(1)以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點(diǎn)P］、P2.11在優(yōu)弧AP±B上任取一點(diǎn)P,如圖1,則/APB=-ZACB=-x60°=30°,二使/APB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè).故答案為：無數(shù).(2)點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過點(diǎn)C作CG丄AB,垂足為G,如圖1.T點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(5,0),???OA=1,OB=5,二AB=4.???點(diǎn)C???點(diǎn)C為圓心,CG±AB,二AG=BG=1AB=2,2OG=OA+AG=3.△abc是等邊三角形，.AC=BC=AB=4,.CG=Qac2-AG2=p42—2-=2^3，.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2、巨）.過點(diǎn)C作CD丄y軸，垂足為D,連接CP2，如圖1.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2運(yùn)）,.CD=3,OD=2品.P］、P2是OC與y軸的交點(diǎn)，:?厶AP1B=ZAP2B=30°.cp2=CA=4,CD=3,..DP2=J42—32=、門.

???點(diǎn)C為圓心,CD±Pf2，???P1D=P2D=.J1,???P1(0,2j3+戸),P2(0,2運(yùn)-訂).(3)當(dāng)過點(diǎn)A、B的OE與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，ZAPB最大.2理由：可證：ZAPB=ZAEH,當(dāng)ZAPB最大時(shí)，ZAEH最大.由sinZAEH=得：當(dāng)AEAE最小即PE最小時(shí)，ZAEH最大.所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，ZAPB最大.VZAPB為銳角，?sinZAPB隨ZAPB增大而增大，.連接EA,作EH丄x軸，垂足為H,如圖2.VOE與y軸相切于點(diǎn)P,?PE丄0P.VEH丄AB,0P丄0H,?ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°,?四邊形OPEH是矩形，?OP=EH,22?m的取值范圍是0<m<—.PE=OH=3,?EA=3.sin2?m的取值范圍是0<m<—.2)CF122)CF12示)圖1-點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí),綜合性強(qiáng).同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維,有一定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.6.如圖，AB是OO的直徑，弦BC=OB,點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接BD分別交OC,OE于點(diǎn)F,G.(1)求ZDGE的度數(shù);BF求的值;GFCFS(3)記厶CFB,△DGO的面積分別為S],S2，若=k,求甘的值.(用含k的式子表12OFS7S【答案】(1)ZDGE=60°；(2)2;⑶S1=2解析】分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，可以求得/DGE的度數(shù)；過點(diǎn)F作FH丄AB于點(diǎn)H設(shè)CF=1，則0F=2,0C=0B=3，根據(jù)勾股定理求出BF的BF長度，再證得厶FGO-△FCB,進(jìn)而求得的值;GF(3)根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表S示出的值.2【詳解】解：(1)TBC=OB=OC，ZCOB=60°,1ZCDB=ZCOB=30°,2???OC=OD,點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，OE丄CD,ZGED=90°,ZDGE=60°；⑵過點(diǎn)F作FH丄AB于點(diǎn)H設(shè)CF=1，貝9OF=2,OC=OB=3TZCOB=60°1…0H=—OF=1,2.HF=\；30H=\‘；3,HB=OB-0H=2,在RtABHF中，BF=&HB2+HF2=?J7,由OC=OB,ZCOB=60°得：ZOCB=60°,又：ZOGB=ZDGE=60°,.ZOGB=ZOCB,TZOFG=ZCFB,△FGO~△FCB,.OF_GF~BF~~CF，2GFP，.BF7.?GF~2■⑶過點(diǎn)F作FH丄AB于點(diǎn)H,設(shè)0F=1,則CF=k,0B=0C=k+1,???ZCOB=60°,0H=0H=HF=1HB=OB-OH=k+2'在RtABHF中，BF=\'HB2+HF2=Jk2+k+1，由(2)得：△FGO-△FCB,.GO_OF卄GO=1~CB~~BF，即k+1<'k2+k+1，k+1GO=<12+k+1,過點(diǎn)C作CP丄BD于點(diǎn)PTZCDB=30°.PC=CD,2T點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，1.DE=CD,2.PC=DE，TDE丄OE,k2+k+1.二BFk2+k+1??才==k+1=—SGOk+1k2+k+1【點(diǎn)睛】圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似和勾股定理、數(shù)形結(jié)合的思想解答．7.如圖，AB是半圓0的直徑，半徑0C丄AB,0B=4,D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，DE．當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，求△ADE的面積；3若tanZAED=込，求AE的長；點(diǎn)F是半徑0C上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線0C的距離為口，當(dāng)厶DEF是等腰直角三角形時(shí)，求m的值.16【答案】（1）S=6\：2；（2）AE=5；（3）m=2t；3，m=2弋2,ADE5【解析】【分析】作EH丄AB，連接OE，EB，設(shè)DH=a，貝卩HB=2-a，OH=2+a，貝卩EH=OH=2+a,根據(jù)RtAAEB中，EH2=AH?BH，即可求出a的值，即可求出S“DE的值；AFAD作DF丄AE，垂足為F，連接BE，設(shè)EF=2x，DF=3x，根據(jù)DFIIBE故=話，EFBD得出AF=6x，再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2，即可求出X，進(jìn)而求出AE的長；根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作EH丄AB，連接OE，EB，設(shè)DH=a，貝卩HB=2-a，OH=2+a，T點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，厶COE=ZEOH=45°，EH=OH=2+a，在RtAAEB中，EH2=AH?BH，(2+a)2=(6+a)(2-a)，解得a=±2€2-2，.a=2J2-2，EH=2邁，SaSaADE(2)如圖，作DF丄AE,垂足為F,(2)如圖，作DF丄AE,垂足為F,連接BE設(shè)EF=2x,DF=3xTDFIIBE.AF_AD~EF_~BDAF6..——=32x2.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=5AE=8x=(3)當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖ODHB設(shè)DH=a由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,ZDFO=ZEDH△ODF竺△HED.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH?BH(2)2=(6+a)?(2-a)解得a=±2爲(wèi)-2m=2、［3當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖同理得△EFG竺△DEH設(shè)DH=a，貝9GE=a,EH=FG=2+a在RtAABE中，EH2=AH?BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2J2-2m=2^2當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖同理得△EFM竺△FDO設(shè)OF=a,貝9ME=a,MF=OD=2EH=a+2在RtAABE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±^7-1m=P7-1【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì).8如圖，AB為O的直徑，C、D為O上異于a、b的兩點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CE丄DB，交CD的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E，直徑AB與CE的延長線相交于點(diǎn)F.連接AC、AD，求證：ZDAC+ZACF=180.若ZABD=2ZBDC.①求證：CF是O的切線.O

②當(dāng)BD=②當(dāng)BD=6,3tanF=4時(shí)，求CF的長.答案】(1)詳見解析；20(2)①詳見解析；②CF=~3【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理證得ZADB=90°,即AD丄BD，由CE丄DB證得ADIICF,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；①連接0C.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出Z3=2Z1,由已知Z4=2Z1,得到Z4=Z3,則OCIIDB,再由CE丄DB,得到0C丄CF,根據(jù)切線的判定即可34=—，求出AD=3BD=834=—，求出AD=3BD=8，利②由BD②由CFIIAD,證出ZBAD二ZF,得出tanZBAD=tanZF=一AD用勾股定理求得AB=10，得出用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC二，5,再由tanF=OCCF即可求出CF．【詳解】解:(1)AB是O的直徑，且D為O上一點(diǎn),???ZADB=90。,CE丄DB,°:.ZDEC=90。,???CF//AD,???ZDAC+ZACF=180。.(2)①如圖，連接0C.0A=OC,:.Z1=Z2.Z3=Z1+Z2,?Z3=2Z1.?.Z4=2ZBDC,ZBDC=Z1,/.Z4=2Z1,???Z4=Z3,?OC//DB.CE丄DB,?OC丄CF.又OC為0的半徑，?/CF為O的切線.O

/.ZBAD=ZF,3/.tanZBAD=tanF二一,4.BD_3"ID—4'BD=64/.AD二一BD二8,??3/.AB=、?+82=10,OB=OC=5.OC丄CF,:.ZOCF=90。,/tanF/tanF=OCCF解得CF二罟【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果9?如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑作OO交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作FE丄AB于點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證:EF與OO相切；3(2)若AE=6,sinZCFD=-，求EB的長.J

【答案】⑴見解析（2）2【解析】【分析】（1）如圖，欲證明EF與O相切，只需證得0D丄EF?（2）通過解直角AEF可以求