§1復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義1.1復(fù)數(shù)的概念自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、復(fù)數(shù)的概念【問題思考】1.閱讀材料,回答下面的問題:在自然數(shù)集中,方程x+4=0無解,為此引進(jìn)負(fù)數(shù),自然數(shù)→整數(shù);在整數(shù)集中,方程3x-2=0無解,為此引進(jìn)分?jǐn)?shù),整數(shù)→有理數(shù);在有理數(shù)集中,方程x2-2=0無解,為此引進(jìn)無理數(shù),有理數(shù)→實(shí)數(shù).數(shù)系的每一次擴(kuò)充,對(duì)數(shù)學(xué)本身來說,解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能實(shí)施的矛盾,如分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾,負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾,無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.(1)方程x2+1=0在R上有解嗎?如何對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,使方程x2+1=0在新的數(shù)集中有解?(2)對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),它的虛部是b還是bi?(3)復(fù)數(shù)m+ni的實(shí)部、虛部一定是m,n嗎?(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在什么情況下表示實(shí)數(shù)?提示:(1)類比原來不同階段數(shù)系的每一次擴(kuò)充的特點(diǎn),在實(shí)數(shù)集中方程x2+1=0無解,需要引進(jìn)“新數(shù)”擴(kuò)充實(shí)數(shù)集.設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i,使i滿足兩個(gè)條件:①i是方程x2+1=0的根,即i2=-1;②新數(shù)i與實(shí)數(shù)之間滿足加法、乘法的交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律.(2)虛部為b.(3)不一定.只有當(dāng)m∈R,n∈R時(shí),m,n才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部.(4)b=0.2.(1)i叫作虛數(shù)單位,滿足i2=-1.(2)形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫作復(fù)數(shù),通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部;b稱為復(fù)數(shù)z的虛部.(3)復(fù)數(shù)的分類全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集,記作C.顯然R?C.二、復(fù)數(shù)的相等【問題思考】1.兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)相等定義:它們的實(shí)部相等且虛部相等,即a+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)

a=c且b=d.(2)已知i為虛數(shù)單位,ai+2=b-i(a,b∈R),則a2+b2=

.

答案:(1)A

(2)5

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

復(fù)數(shù)的概念【例1】

下列說法正確的是(

)A.復(fù)數(shù)-2i的實(shí)部為0,虛部為-2iB.若a,b∈R,且a>b,則a+i>b+iC.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±2D.實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集解析:對(duì)于A,復(fù)數(shù)-2i的實(shí)部為0,虛部為-2,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(shí)(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是純虛數(shù),故C錯(cuò)誤.顯然,D正確.答案:D反思感悟在復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)中,實(shí)數(shù)a和b分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意,復(fù)數(shù)的虛部為b,而不是bi.當(dāng)a=0時(shí),a+bi不一定是純虛數(shù).探究二

復(fù)數(shù)的分類反思感悟解決復(fù)數(shù)分類問題的步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式:解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是不是a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件:復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(3)下結(jié)論:設(shè)所給復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),①z為實(shí)數(shù)?b=0;②z為虛數(shù)?b≠0;③z為純虛數(shù)?a=0且b≠0.探究三

復(fù)數(shù)的相等及應(yīng)用【例3】