湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)雅中學(xué)2024屆八上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．一件工作,甲獨(dú)做a小時(shí)完成,乙獨(dú)做b小時(shí)完成,則甲、乙兩人合作完成需要()小時(shí).A． B． C． D．2．下列圖形中，對(duì)稱軸的條數(shù)最多的圖形是（）A． B． C． D．3．已知一次函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),,當(dāng)時(shí),有，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，進(jìn)行如下操作：①以點(diǎn)B為圓心，以小于AB長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于點(diǎn)E、F；②分別以E、F為圓心，以大于12③作射線BM交AC于點(diǎn)D，則∠BDC的度數(shù)為（）.A．100° B．65° C．75° D．105°5．以下關(guān)于直線的說(shuō)法正確的是()A．直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－4）B．坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在直線上C．直線不經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．函數(shù)的值隨x的增大而減小6．下面是甲、乙兩人10次射擊成績(jī)（環(huán)數(shù)）的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A．甲比乙的成績(jī)穩(wěn)定B．乙比甲的成績(jī)穩(wěn)定C．甲、乙兩人的成績(jī)一樣穩(wěn)定D．無(wú)法確定誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定7．下列各式中是完全平方式的是（）A． B． C． D．8．下列三角形，不一定是等邊三角形的是A．有兩個(gè)角等于60°的三角形 B．有一個(gè)外角等于120°的等腰三角形C．三個(gè)角都相等的三角形 D．邊上的高也是這邊的中線的三角形9．在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與，長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，3）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2等_________．12．如果點(diǎn)（，）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限內(nèi)，則m的取值范圍是________．13．已知直線y＝ax+b和直線y＝bx+3a的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），則a+b＝_____．14．已知多邊形的內(nèi)角和等于外角和的三倍，則邊數(shù)為_(kāi)__________．15．把“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”改為“如果……那么……”的形式________________________．16．若n邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則n=.17．下列組數(shù)：,﹣,﹣,,3.131131113…（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1），無(wú)理數(shù)有________個(gè).18．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，則MN的長(zhǎng)為．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，兩條射線BA∥CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，分別交AB，CD與點(diǎn)A，D．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）若S△ABP為a，S△CDP為b，S△BPC為c，求證：a+b＝c．20．（6分）如圖，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于點(diǎn)O．求證：OB=OC．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=110°時(shí)，∠EDC=°，∠DEC=°；點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求∠BDA的度數(shù)為多少時(shí)，△ADE是等腰三角形．22．（8分）（1）計(jì)算：（2）求x的值：23．（8分）如圖，點(diǎn)，分別在的邊上，，，．求證：24．（8分）一個(gè)四位數(shù)，記千位和百位的數(shù)字之和為a，十位和個(gè)位的數(shù)字之和為b，如果a＝b，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“心平氣和數(shù)”例如：1625，a＝1+6，b＝2+5，因?yàn)閍＝b，所以，1625是“心平氣和數(shù)”．（1）直接寫出：最小的“心平氣和數(shù)”是，最大的“心平氣和數(shù)”；（2）將一個(gè)“心平氣和數(shù)”的個(gè)位與十位的數(shù)字交換位置，同時(shí)將百位與千位的數(shù)字交換，稱交換前后的這兩個(gè)“心平氣和數(shù)”為一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”．例如：1625與6152為一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”，求證：任意的一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”之和是11的倍數(shù)．（3）求千位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的3倍，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是14的倍數(shù)的所有“心平氣和數(shù)”．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．（1）請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；（2）直接寫出的面積為；（3）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺畫出的平分線，保留作圖痕跡．26．（10分）已知，如圖，和都是等邊三角形，且點(diǎn)在上．（1）求證：（2）直接寫出和之間的關(guān)系；

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解題分析】甲、乙合作完成工程的時(shí)間=工作總量÷甲乙工效之和，沒(méi)有工作總量，可設(shè)其為1，所以甲、乙合做此項(xiàng)工程所需的時(shí)間為1÷（）=小時(shí)．【題目詳解】設(shè)工作量為1，由甲1小時(shí)完成，乙1小時(shí)完成，因此甲、乙合作此項(xiàng)工程所需的時(shí)間為1÷（）=小時(shí)，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用列代數(shù)式（分式），解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量與已知量間的關(guān)系．2、A【解題分析】依次判斷各圖像的對(duì)稱軸條數(shù)比較即可【題目詳解】解：A、圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)正確；B、此圖形有1條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、矩形有2條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、有1條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【題目點(diǎn)撥】熟練掌握對(duì)稱軸概念是解決本題的關(guān)鍵，難度較小3、D【分析】先根據(jù)時(shí),有判斷y隨x的增大而減小，所以x的比例系數(shù)小于0，那么m-1＜0，解出即可.【題目詳解】解：∵當(dāng)時(shí),有∴y隨x的增大而減小∴m-1＜0∴m＜1故選D.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟記k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小.4、D【解題分析】利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC=∠C=50°，再利用角平分線的性質(zhì)與作法得出即可．【題目詳解】∵AB=AC，∠A=80°，∴∠ABC=∠C=50°，由題意可得：BD平分∠ABC，則∠ABD=∠CBD=25°，∴∠BDC的度數(shù)為：∠A+∠ABD=105°．故選D．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)，得出BD平分∠ABC是解題關(guān)鍵．5、B【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出結(jié)論A錯(cuò)誤，把（3，3）代入函數(shù)解析式可得結(jié)論B正確；利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)論C錯(cuò)誤；利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論D錯(cuò)誤．【題目詳解】解：A、當(dāng)y=0時(shí)，2x-4=0，解得：x=2，∴直線y=2x-4與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），選項(xiàng)A不符合題意；B、當(dāng)x=3時(shí)，y=2x-4=2，∴坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在直線y=2x-4上，選項(xiàng)B符合題意；C、∵k=2＞0，b=-4＜0，∴直線y=2x-4經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，選項(xiàng)C不符合題意；D、∵k=2＞0，∴函數(shù)y=2x-4的值隨x的增大而增大，選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)，逐一判定四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．6、B【題目詳解】通過(guò)觀察條形統(tǒng)計(jì)圖可知：乙的成績(jī)更整齊，也相對(duì)更穩(wěn)定，故選B．7、A【分析】根據(jù)完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2進(jìn)行分析，即可判斷．【題目詳解】解：，是完全平方公式，A正確；其余選項(xiàng)不能配成完全平方形式，故不正確

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是正確理解完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．8、D【分析】分別利用等邊三角形的判定方法分析得出即可．【題目詳解】A．根據(jù)有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形，不合題意，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．有一個(gè)外角等于120°的等腰三角形，則內(nèi)角為60°的等腰三角形，此三角形是等邊三角形，不合題意，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．三個(gè)角都相等的三角形，內(nèi)角一定為60°是等邊三角形，不合題意，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．邊上的高也是這邊的中線的三角形，也可能是等腰三角形，符合題意，故此選項(xiàng)正確．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定，注意熟練掌握：由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．9、B【分析】首先設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得9?4＜x＜9＋4，計(jì)算出x的取值范圍，然后可確定答案．【題目詳解】設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，由題意得：9?4＜x＜9＋4，5＜x＜13，故選B．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．10、C【解題分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)解答．【題目詳解】解：∵點(diǎn)A（﹣4，3），點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)B（4，﹣3）．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記“關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解題分析】試題解析：所以故答案為12、【分析】利用關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)P在第一象限，由此根據(jù)第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)的特征列不等式組即可解答．【題目詳解】∵點(diǎn)P（，）關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限內(nèi)，∴點(diǎn)P（，）在第一象限，∴，解得：．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)以及象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確記憶各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)是解題關(guān)鍵．13、1【分析】把交點(diǎn)坐標(biāo)（2，﹣1）代入直線y＝ax+b和直線y＝bx+3a，解方程組即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：∵直線y＝ax+b和直線y＝bx+3a的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），∴，解得：，∴a+b＝1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩直線相交問(wèn)題以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，滿足解析式的點(diǎn)就在函數(shù)的圖象上，在函數(shù)圖象上的點(diǎn)，就一定滿足函數(shù)解析式．14、1【分析】首先設(shè)邊數(shù)為n，由題意得等量關(guān)系：內(nèi)角和＝360°×3，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，可解出n的值．【題目詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得：110（n﹣2）＝360×3，解得：n＝1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和與外角和定理：多邊形的內(nèi)角和（n﹣2）?110°（n≥3）且n為整數(shù)），多邊形的外角和等于360度．15、如果兩個(gè)三角形是全等三角形，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等．

【解題分析】任何一個(gè)命題都可以寫成“如果…那么…”的形式，如果是條件，那么是結(jié)論．

解：∵原命題的條件是：兩個(gè)三角形是全等三角形，

結(jié)論是：對(duì)應(yīng)角相等，

∴命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是如果兩個(gè)三角形是全等三角形，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等．

16、6【解題分析】此題涉及多邊形內(nèi)角和和外角和定理多邊形內(nèi)角和=180（n-2）,外角和=360o所以，由題意可得180(n-2)=2×360o解得：n=617、1．【解題分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【題目詳解】無(wú)理數(shù)有：－π，，1.111111111…（相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)1），共有1個(gè)．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．18、．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過(guò)證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．【題目詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=2，CN=3，∴MN2=22+32，∴MN=考點(diǎn)：2．正方形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)．三、解答題(共66分)19、（1）90°；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得∠PBC＋∠PCB的值，于是可求∠BPC；（2）利用角平分線性質(zhì)作垂直證明全等，通過(guò)割法獲得面積關(guān)系．【題目詳解】（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，∴∠PBC+∠PCB＝×（∠ABC+∠BCD）＝90°，∴∠BPC＝90°；（2）如圖，作PQ⊥BC，過(guò)P點(diǎn)作A′D′⊥CD，∵∠A′BP＝∠QBP，∠BA′P＝∠BQP，BP＝BP∴△A′BP≌△BQP（AAS）同理△PQC≌△PCD′（AAS）∴S△BCP＝S△BPQ+S△PQC＝S△ABP+S△PCD∴a+b＝c．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．20、證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：因?yàn)椤螦=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．點(diǎn)睛：此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．21、（1）30，110，?。唬?）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由見(jiàn)解析；（3）∠BDA=80°或110°．【分析】（1）由平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可求∠EDC，∠DEC的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可判斷∠BDA的變化；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，由“AAS”可證△ABD≌△DCE；（3）分AD=DE，DE=AE兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和和三角形外角的性質(zhì)可求∠BDA的度數(shù)．【題目詳解】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，且∠ADE=40°，∠BDA=110°，∴∠EDC=30°，∵∠AED=∠EDC+∠ACB=30°+40°=70°，∴∠EDC=180°-∠AED=110°，故答案為：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD=180°，∴∠BDA=140°-∠BAD，∵點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAD逐漸變大，∴∠BDA逐漸變小，故答案為：??；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE．理由如下∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=40°，∴∠BAD=∠CDE，且AB=CD=2，∠B=∠C=40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD=DE時(shí)．∵AD=DE，∠ADE=40°，∴∠DEA=∠DAE=70°∵∠DEA=∠C+∠EDC，∴∠EDC=30°，∴∠BDA=180°﹣∠ADE﹣∠EDC=180°﹣40°﹣30°=110°若AE=DE時(shí)．∵AE=DE，∠ADE=40°，∴∠ADE=∠DAE=40°，∴∠AED=100°∵∠DEA=∠C+∠EDC，∴∠EDC=60°，∴∠BDA=180°﹣∠ADE﹣∠EDC=180°﹣40°﹣60°=80°綜上所述：當(dāng)∠BDA=80°或110°時(shí)，△ADE的形狀可以是等腰三角形．【題目點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．22、（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式混合的運(yùn)算、立方根、以及零指數(shù)冪的法則計(jì)算即可（2）利用直接開(kāi)平方法解方程即可【題目詳解】解：（1）原式=；（2）【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和解一元二次方程，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵23、見(jiàn)解析【分析】首先判定△ADE是等邊三角形，從而得到∠ADE=∠AED=60°.接著根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠C=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=AC.【題目詳解】證明：∵，∴是等邊三角形∴∵∴，∴∴【題目點(diǎn)撥】本題考查到了等邊三角形的性質(zhì)與判定和平行線的性質(zhì)，難度不大.24、（1）1001，1；（2）見(jiàn)解析；（2）2681和4【分析】（1）因?yàn)槭乔笞钚〉摹靶钠綒夂蛿?shù)”和最大的“心平氣和數(shù)”，所以一個(gè)必須以1開(kāi)頭的四位數(shù)，一個(gè)是以9開(kāi)頭的四位數(shù)，不難得到1001和1這兩個(gè)答案．（2）可以設(shè)千位和百位的數(shù)字之和為m，十位和個(gè)位的數(shù)字之和為m，千位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，根據(jù)題意列出一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”之和，利用提取公因式進(jìn)行因式分解就可以了，即可證明得任意的一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”之和是11的倍數(shù)．（2）先討論出千位與個(gè)位數(shù)字分別為2，6，9和1，2，2，也可以討論出，百位數(shù)字與十位數(shù)字之和只能是3，進(jìn)而得到最后兩組符合題意的答案．【題目詳解】解：（1）最小的“心平氣和數(shù)”必須以1開(kāi)頭，而1000顯然不符合題意，所以最小的只能是1001，最大的“心平氣和數(shù)”必須以9開(kāi)頭，后面的數(shù)字要盡可能在0﹣9這九個(gè)數(shù)字中選最大的，所以最大的“心平氣和數(shù)”一定是1．故答案為：1001；1．（2）證明：設(shè)千位和百位的數(shù)字之和為m，十位和個(gè)位的數(shù)字之和為m，千位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，所以個(gè)位數(shù)字為（m﹣b），百位數(shù)字為（m﹣a）.依題意可得，這組“相關(guān)心平氣和數(shù)”之和為：（m﹣b）+10b+100（m﹣a）+1000a+b+10（m﹣b）+100a+1000（m﹣a），＝11（m﹣b）+11b+1100a+1100（m﹣a）＝11（m﹣b+b+100a+100m﹣100a）＝11×101m，因?yàn)閙為整數(shù)，所以11×101m是11的倍數(shù)，所以任意的一組“相關(guān)心平氣和數(shù)”之和是11的倍數(shù)．（2）設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則千位數(shù)字為2x，顯然1≤2x≤9，且x為正整數(shù)，故x＝1，2，2．又因?yàn)榘傥粩?shù)字與十位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，而百位數(shù)字與十位數(shù)字之和最大為18，所以百位數(shù)字與十位