第第頁2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用）專題42空間點、線、面之間的位置關系（含解析）專題42空間點、線、面之間的位置關系

知識梳理考綱要求

考點預測

常用結論

方法技巧

題型歸類題型一：平面的基本性質(zhì)

題型二：空間兩直線的位置關系

題型三：求兩條異面直線所成的角

題型四：空間幾何體的切割(截面)問題

題型五：

題型六：

題型七：

題型八：

題型九：

培優(yōu)訓練訓練一：

訓練二：

訓練三：

訓練四：

訓練五：

訓練六：

強化測試單選題：共8題

多選題：共4題

填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

【考點預測】

1.與平面有關的基本事實及推論

(1)與平面有關的三個基本事實

基本事實內(nèi)容圖形符號

基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線存在唯一的α使A，B，C∈α

基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα

基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈βα∩β＝l，且P∈l

(2)基本事實1的三個推論

推論內(nèi)容圖形作用

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

2.空間點、直線、平面之間的位置關系

直線與直線直線與平面平面與平面

平行關系圖形語言

符號語言a∥ba∥αα∥β

相交關系圖形語言

符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l

獨有關系圖形語言

符號語言a，b是異面直線aα

3.基本事實4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【常用結論】

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.

【方法技巧】

1.共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．

2.點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．

3.求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．

二證：證明作出的角是異面直線所成的角．

三求：解三角形，求出所作的角．

4.作截面應遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．

5.作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．

二、【題型歸類】

【題型一】平面的基本性質(zhì)

【典例1】如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面．

【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，

因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝A1B.

又因為A1D1平行BC且A1D1=BC，

所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，

所以EF與CD1確定一個平面α，

所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，

即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．

【典例2】(多選)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是()

A．C1，M，O三點共線

B．C1，M，O，C四點共面

C．C1，O，A1，M四點共面

D．D1，D，O，M四點共面

【解析】連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點共線，所以選項A，B，C均正確，選項D錯誤．

故選ABC.

【典例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；

(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．

【解析】(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，＝＝，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．

(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，

所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

所以P為平面ABC與平面ADC的公共點，

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．

【題型二】空間兩直線的位置關系

【典例1】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

【解析】如圖，取CD的中點F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因為△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.設CD＝2，則EF＝.因為點N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2，NF＝1，BC⊥CD.因為平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2，所以在等腰三角形BDE中，BM＝，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．

故選B．

【典例2】已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()

A．m與n異面

B．m與n相交

C．m與n平行

D．m與n異面、相交、平行均有可能

【解析】在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．

故選D．

【典例3】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：

①直線AM與CC1是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MB1是異面直線；

④直線AM與DD1是異面直線．

其中正確的結論是________(注：把你認為正確的結論的序號都填上)．

【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．

答案：③④

【題型三】求兩條異面直線所成的角

【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()

A.B.

C.D.

【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.故選D.

【典例2】在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

【解析】如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角．因為在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，

AD1＝＝2，

DM＝＝，

DB1＝＝.

所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，

于是在△DMO中，由余弦定理，

得cos∠MOD＝＝，

即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.

【典例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()

A.B.C.D.

【解析】如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.

故選D.

【題型四】空間幾何體的切割(截面)問題

【典例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()

A．三角形B．四邊形

C．五邊形D．六邊形

【解析】先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點．

如圖，設直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．

故選C.

【典例2】(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()

A．截面形狀可能為正三角形

B．截面形狀可能為正方形

C．截面形狀可能為正六邊形

D．截面面積最大值為3

【解析】易知A，C正確，B不正確，下面說明D正確，

如圖，截面為正六邊形，當六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝2，GH＝，

OE＝＝＝，

所以S＝2××(＋2)×＝3，

故D正確．

故選ACD.

【典例3】如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________．

【解析】在平面A1D1DA中尋找與平面A1BC1平行的直線時，只需要ME∥BC1，如圖所示，

因為A1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點位于靠近D1，A，C的三等分點處，故可得截面為MIHGFE，

設正方體的棱長為3a，

則ME＝2a，MI＝a，

IH＝2a，HG＝a，F(xiàn)G＝2a，EF＝a，

所以截面MIHGFE的周長為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，

又因為正方體A1C的棱長為1，即3a＝1，

故截面多邊形的周長為3．

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()

A.B.C.D.

【解析】如圖所示，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

因為α∥平面CB1D1，則m1∥m，又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

所以B1D1∥m1，

所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.

故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。?/p>

又因為B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，

所以∠CD1B1＝，

得sin∠CD1B1＝，故選A.

【訓練二】已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．

【解析】如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點P，使MP＝，連接D1P，則D1P＝＝＝，連接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M為圓心，為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的長為×2π×＝.

【訓練三】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；

(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？

(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.

【解析】(1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又CF∶FB＝CG∶GD，

所以FG∥BD.所以EH∥FG.

所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．

(2)當EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．

因為＝＝，所以EH＝BD.

同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.

故當m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形．

(3)證明：當m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，

所以EF∥AC，

又EH∥BD，

所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角)，

因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，

從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.

【訓練四】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．

(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點共面；

(2)求多面體的體積．

【解析】(1)證明因為二面角A－EF－D的大小等于90°，

所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，

所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共面．

(2)解因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC,EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，

又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，

所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝S梯形CDEF·AE＋S△BCD·DE＝.

【訓練五】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．

圖1圖2

(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點共面；

(2)求多面體的體積．

【解析】(1)證明因為二面角A－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共面．

(2)解因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，

又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，

所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝S梯形CDEF·AE＋S△BCD·DE＝．

【訓練六】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為4，E為AB的中點，PE⊥平面ABCD.

(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P－ABCD的體積；

(2)若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的正切值.

【解析】(1)∵正方形ABCD的邊長為4，且△PAB為等邊三角形，E為AB的中點，

∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin60°＝2，

又PE⊥平面ABCD，

∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝×42×2＝.

(2)∵AD∥BC，

∴∠PCB即PC與AD所成的角.

如圖，連接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC平面ABCD，

∴PE⊥EF，PE⊥BC，

又PF與平面ABCD所成角為45°，

即∠PFE＝45°，

∴PE＝EF·tan∠PFE＝4，

∴PB＝＝＝2.

又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

又PB平面PAB，∴BC⊥PB，

∴tan∠PCB＝＝，

∴PC與AD所成角的正切值為.

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()

A．相交或平行B．相交或異面

C．平行或異面D．相交、平行或異面

【解析】依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．

故選D.

2.在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點一定()

A．在直線DB上B．在直線AB上

C．在直線CB上D．都不對

【解析】直線EF和GH相交，設其交點為M.因為EF平面ABD，HG平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與HG的交點在直線BD上．

故選A.

3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，Cl，則平面ABC與平面β的交線是()

A．直線ACB．直線AB

C．直線CDD．直線BC

【解析】由題意知，D∈l，lβ，所以D∈β，

又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以點D在平面ABC與平面β的交線上．

又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.

故選C.

4.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()

A．CC1與B1E是異面直線

B．C1C與AE共面

C．AE與B1C1是異面直線

D．AE與B1C1所成的角為60°

【解析】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．

故選C.

5.已知直線l平面α，直線m平面α，給出下面四個結論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結論的個數(shù)為()

A．1B．2C．3D．4

【解析】對于①，當l與m不垂直時，假設l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故①正確；對于②，易知l與m所成的角為30°時，l與α所成的角不一定為30°，故②不正確；對于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結論的個數(shù)為1，

選A.

6.如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中，平面α垂直于對角線AC′，且平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長為l，則()

A．S為定值，l不為定值B．S不為定值，l為定值

C．S與l均為定值D．S與l均不為定值

【解析】設平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形ω，ω與正方體的棱的交點分別為I，J，N，M，L，K(如圖)．

將正方體切去兩個正三棱錐AA′BD和C′B′CD′，得到一個幾何體V，則V的上、下底面B′CD′與A′BD互相平行，每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形ω的每一條邊分別與V的底面上的每一條邊平行．設正方體的棱長為a，＝γ，則IK＝γB′D′＝aγ，KL＝(1－γ)A′B＝a(1－γ)，故IK＋KL＝aγ＋a(1－γ)＝a.同理可證LM＋MN＝NJ＋IJ＝a，故六邊形ω周長為3a，即周長為定值．

當I，J，N，M，L，K都在對應棱的中點時，ω是正六邊形．其面積S＝6×××＝a2，△A′BD的面積為×(a)2×＝a2，當ω無限趨近于△A′BD時，ω的面積無限趨近于a2，故ω的面積一定會發(fā)生變化，不為定值．故選B.

7.如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當點C運動時，點H運動的軌跡()

A．是圓B．是橢圓

C．是拋物線D．不是平面圖形

【解析】如圖，過點B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點B作BE⊥AD于點E，連接HE，因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.

又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.

又注意到過點B與直線AD垂直的直線都在同一個平面內(nèi)，于是結合點B，E位置，可知，當點C運動時，點H運動的軌跡是以BE為直徑的圓．

故選A．

8.如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

【解析】如圖，取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設正方形ABCD的邊長為2，則EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線．故選B.

【多選題】

9.四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是()

A.MN與PD是異面直線

B.MN∥平面PBC

C.MN∥AC

D.MN⊥PB

【解析】如圖所示，取PB的中點H，連接MH，HC，

由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P平面α，DMN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.

若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，

事實上AC∩CH＝C，C說法不正確；

因為PC＝BC，H為PB的中點，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.

故選ABD.

10.下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()

【解析】圖A中，直線GH∥MN；

圖B中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，NGH，因此直線GH與MN異面；

圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；

圖D中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，

因此GH與MN異面.

故選BD.

11.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確的是()

A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1共面

C.A，M，C，O共面D.B，B1，O，M共面

【解析】∵M∈A1C，A1C平面A1ACC1，

∴M∈平面A1ACC1，

又∵M∈平面AB1D1，

∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，

即A，M，O三點共線，

∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，

∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，

∴M在平面BB1D1D外，

即B，B1，O，M不共面，故選ABC.

12.如圖，已知二面角A－BD－C的大小為，G，H分別是BC，CD的中點，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，＝＝，且AC⊥平面BCD，則以下說法正確的是()

A.E，F(xiàn)，G，H四點共面

B.FG∥平面ADC

C.若直線FG，HE交于點P，則P，A，C三點共線

D.若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3

【解析】由＝＝知EF平行BD，且EF=BD

又GH平行BD，且GH=BD∴EF∥GH，

因此E，F(xiàn)，G，H共面，A項正確；

假設FG∥平面ADC成立，因為平面ABC∩平面DAC＝AC，

所以FG∥AC，又G是BC的中點，所以F是AB的中點，與＝矛盾，B項不正確；

因為FG平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，

因為平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線，因此C正確；

易知S△BCD＝cos·S△ABD＝×6＝3，D正確.

故選ACD.

【填空題】

13.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．

【解析】如圖所示，補成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，

則所求角為∠BC1D或其補角，

∵BC1＝，BD＝＝，C1D＝AB1＝，

易得C1D2＝BD2＋BC，即BC1⊥BD，

因此cos∠BC1D＝＝＝．

14.在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為________．(填序號)

①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；

②若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；

③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．

【解析】對于①，當平面α外兩點的連線與平面α垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面α垂直，所以①不正確；

對于②，若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，平面α與β可能平行，也可能相交，所以②不正確；

對于③，直線l與平面內(nèi)的任意直線垂直時，得到l⊥α，所以③正確；

對于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以④不正確．

15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則直線EF與PQ所成角的大小是________．

【解析】如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點，

又E為A1B的中點，所以EF∥BC1，連接DC1，則Q是DC1的中點，

又P為A1D的中點，所以PQ∥A1C1，

于是∠A1C1B是直線EF與PQ所成的角或其補角．

易知△A1C1B是正三角形，所以∠A1C1B＝．

16.在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是________．

【解析】如圖所示，

過Q作QM∥AP交BC于M，

由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，

則tan∠CMQ＝2，CM＝＝1，

延長MQ交B1C1的延長線于E點，連接PE，交D1C1于N點，

則多邊形AMQNP即為截面，

根據(jù)平行線性質(zhì)有C1E＝CM＝1，

＝＝，

則C1N＝，D1N＝，

因此NQ＝＝，

NP＝＝，

又AP＝＝2，AM＝＝5，

MQ＝＝，

所以多邊形AMQNP的周長為

AM＋MQ＋QN＋NP＋PA

＝5＋＋＋＋2

＝．

【解答題】

17.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．

【解析】如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，

因為BB1DD1，

所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，

又H∈B1D，

B1D平面BB1D1D，

則H∈平面BB1D1D，

因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，

所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．

18.如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱錐PABC的體積；

(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．

【解析】(1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱錐PABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.

19.如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l.

(1)畫出l的位置；

(2)設l∩A1B1＝P，求PB1的長．

【解析】(1)如圖，延長DM與D1A1交于點O，連接NO，則直線NO即為直線l.

(2)因為l∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點即為P.

所以A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點，所以A1也為D1O的中點．由圖可知＝＝，所以A1P＝，從而可知PB1＝.

20.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．

(1)求證：直線EF與BD是異面直線；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．

【解析】(1)證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．

(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．

又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.

21.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點.

(1)求四棱錐O－ABCD的體積；

(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.

【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，

所以四棱錐O－ABCD的體積

V＝×4×2＝.

(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，

∴ME∥OC，

則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，

∵()2＋()2＝()2，

即DE2＋EM2＝MD2，

∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°，

∴tan∠EMD＝＝＝.

∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.

22.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點．

(1)若D1E與CM相交于點K，求證D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；

(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝，求點D1到平面FBD的距離．

【解析】(1)證明∵D1E與CM相交于點K，

∴K∈D1E，K∈CM，

而D1E平面ADD1A1，CM平面ABCD，

且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，

∴K∈AD，

∴D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K．

(2)解∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，

∴BC＝CD＝2，

而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，

∴CC1⊥底面ABCD，

又∵F是CC1的中點，CC1＝4，∴CF＝2，

∴BF＝DF＝2，

又∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝，

∴BD＝AB＝2，

∴S△FBD＝×2×＝．

設點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，

則d＝2sin＝，

又∵，

∴×S△FBD×h＝××d，

∴××h＝××4×2×，

解得h＝．

即點D1到平面FBD的距離為．專題42空間點、線、面之間的位置關系

知識梳理考綱要求

考點預測

常用結論

方法技巧

題型歸類題型一：平面的基本性質(zhì)

題型二：空間兩直線的位置關系

題型三：求兩條異面直線所成的角

題型四：空間幾何體的切割(截面)問題

題型五：

題型六：

題型七：

題型八：

題型九：

培優(yōu)訓練訓練一：

訓練二：

訓練三：

訓練四：

訓練五：

訓練六：

強化測試單選題：共8題

多選題：共4題

填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

【考點預測】

1.與平面有關的基本事實及推論

(1)與平面有關的三個基本事實

基本事實內(nèi)容圖形符號

基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線存在唯一的α使A，B，C∈α

基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα

基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈βα∩β＝l，且P∈l

(2)基本事實1的三個推論

推論內(nèi)容圖形作用

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

2.空間點、直線、平面之間的位置關系

直線與直線直線與平面平面與平面

平行關系圖形語言

符號語言a∥ba∥αα∥β

相交關系圖形語言

符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l

獨有關系圖形語言

符號語言a，b是異面直線aα

3.基本事實4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【常用結論】

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.

【方法技巧】

1.共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．

2.點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．

3.求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．

二證：證明作出的角是異面直線所成的角．

三求：解三角形，求出所作的角．

4.作截面應遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．

5.作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．

二、【題型歸類】

【題型一】平面的基本性質(zhì)

【典例1】如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面．

【典例2】(多選)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是()

A．C1，M，O三點共線

B．C1，M，O，C四點共面

C．C1，O，A1，M四點共面

D．D1，D，O，M四點共面

【典例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；

(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．

【題型二】空間兩直線的位置關系

【典例1】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

【典例2】已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()

A．m與n異面

B．m與n相交

C．m與n平行

D．m與n異面、相交、平行均有可能

【典例3】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：

①直線AM與CC1是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MB1是異面直線；

④直線AM與DD1是異面直線．

其中正確的結論是________(注：把你認為正確的結論的序號都填上)．

【題型三】求兩條異面直線所成的角

【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()

A.B.

C.D.

【典例2】在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

【典例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()

A.B.C.D.

【題型四】空間幾何體的切割(截面)問題

【典例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()

A．三角形B．四邊形

C．五邊形D．六邊形

【典例2】(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()

A．截面形狀可能為正三角形

B．截面形狀可能為正方形

C．截面形狀可能為正六邊形

D．截面面積最大值為3

【典例3】如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________．

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()

A.B.C.D.

【訓練二】已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．

【訓練三】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；

(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？

(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.

【訓練四】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．

(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點共面；

(2)求多面體的體積．

【訓練五】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．

圖1圖2

(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點共面；

(2)求多面體的體積．

【訓練六】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為4，E為AB的中點，PE⊥平面ABCD.

(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P－ABCD的體積；

(2)若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的正切值.

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()

A．相交或平行B．相交或異面

C．平行或異面D．相交、平行或異面

2.在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點一定()

A．在直線DB上B．在直線AB上

C．在直線CB上D．都不對

3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，Cl，則平面ABC與平面β的交線是()

A．直線ACB．直線AB

C．直線CDD．直線BC

4.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()

A．CC1與B1E是異面直線

B．C1C與AE共面

C．AE與B1C1是異面直線

D．AE與B1C1所成的角