1.5.2全稱量詞命題與存在量

詞命題的否定第

1

章集合與常用邏輯用語人教A版2019必修第一冊數(shù)學(xué)A01全稱量詞命題的否定02存在量詞命題的否定

03全稱量詞命題與存在

量詞命題的綜合應(yīng)用目錄學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.通過實(shí)例總結(jié)含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.新課導(dǎo)入一般地，對一個命題進(jìn)行否定，就可以得到一個新的命題，

這

一新命題稱為原命題的否定。舉

例(1)

56是7的倍數(shù)；

否定：

56不是7的倍數(shù)；(2)

空集是集合A={1,2,3}的真子集；否定：

空集不是集合A={1,2,3}的真子集；本節(jié)課我們來學(xué)習(xí)關(guān)于命題的否定1.全稱量詞命題的否定問題1

寫出下列命題的否定：(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)Vx

∈R,x+|x|≥0.它們與原命題在形式上有什么變化?提示

上面三個命題都是全稱量詞命題，即具有“

√x∈M,p(x)”

的形式.其中命題(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”,也就是說，存在一個矩形不是平行四邊形；命題(2)的否定是“并非每一個素?cái)?shù)都是奇數(shù)”,也就是說，存在一個素?cái)?shù)不是奇數(shù)；命題(3)的否定是“并非所有的x

∈R,

x+

|x

|

≥0”,

也就是說，3x

∈R,x+|x|<0.從命題形式看，這三個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題.原詞語否定詞語原詞語否定詞語是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有n個至多有(n-1)個小于不小于至多有n個至少有(n+1)個任意的某個能不能所有的某些等于不等于常見詞語的否定形式注意點(diǎn)：總結(jié)起來八個字“改變量詞，否定結(jié)論”,從集合的角度來看，x的范圍沒有變，只是對結(jié)論進(jìn)行了否定.一個命題和它的否定

不能同時為真，也不能同時為假，只能一真一假.典例1寫出下列全稱命題的否定：1)p:

所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；2)p:

每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；(3)p:

對任意x∈Z,x2

的個位數(shù)字不等于3。解：1一p:

存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).2)—P:

存在一個四邊形，它的四個頂點(diǎn)不在同一個圓上.3)-p:3x∈Z,x2。

的個位數(shù)字等于3.練

一練

寫出下列命題的否定：(1)Vn

∈Z,n

∈Q;3n

∈Z,n#Q.(2)任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；存在一個奇數(shù)的平方不是奇數(shù).(3)每個平行四邊形都是中心對稱圖形.存在一個平行四邊形不是中心對稱圖形.2.存在量詞命題的否定問題2

寫出下列命題的否定：(1)存在一個實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)有些平行四邊形是菱形；(3)3x∈R,x2-2x+3=0.它們與原命題在形式上有什么變化?提示

這三個命題都是存在量詞命題，即具有“3x

∈M,p

(x)”的形式.其中命題(1)的否定是“不存在一個實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”,也就是說，所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；命題(2)的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”,也就是說，每一個平行四邊形都不是菱形；命題(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x+3=0”,

也就是說，

Vx

∈R,x2-2x+3≠0.從命題形式看，這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.注意點(diǎn)：總結(jié)起來八個字“改變量詞，否定結(jié)論”,從集合的角度來看，x的范圍沒有變，只是對結(jié)論進(jìn)行了否定.典例2

寫出下列存在量詞命題的否定：1)p:3x

∈R,x+2≤0;2)p:

有的三角形是等邊三角形；3)P:

有一個偶數(shù)是素?cái)?shù).解：1)該命題否定：Vx∈R,x+2>0.2)該命題的否定：所有三角形都不是等邊三角形3)

該命題的否定：任意一個偶數(shù)都不是素?cái)?shù)練一練

寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假.(1)有的素?cái)?shù)是偶數(shù)；命題的否定：所有的素?cái)?shù)都不是偶數(shù).由于2是素?cái)?shù)也是偶數(shù)，因此命題的否定為假命題.(2)3a,b∈

R,a2+b2≤0.命題的否定：

Va,b∈R,a2+b2>0.∵當(dāng)a=b=0

時

，a2+b2=0,∴命題的否定是假命題.典例3

寫出下列命題的否定，并判斷真假；(1)任意兩個等邊三角形都相似；(2)

3x

∈R,x2-x+1=0解：

(1)

該命題的否定：存在兩個對邊三角形，它們不相似。因?yàn)槿我鈨蓚€等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都相似。因此這是一個假命題。(2)該命題的否定：Vx∈R,x2-x+1≠0.

因?yàn)閷θ我?/p>

所以這是一個假命題。3.全稱量詞命題與存在

量詞命題的綜合應(yīng)用典例4命題“存在x>1,

使得2x+a<3”

是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.命題“存在x>1,

使得2x+a<3”

是假命題，所以此命題的否定“任意x>1,

使得2x+a≥3”是真命題，因?yàn)閷θ我鈞>1,

都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.延伸探究

若把本例中的“假命題”改為“真命題”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.由題意知"存在x>1,

使得

是真命題，故有

,所以a<1.求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略(1)對于全稱量詞命題

“Vx∈M,a>y

(

或a<y)”為真的問題實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大

值(或最小值),即a>ymax(

或a<ymm).(2)對于存在量詞命題“3x∈M,a>y

(或a<y)”為真的問題實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小

值(或最大值),即a>ymm(或a<ymax).課堂基礎(chǔ)練習(xí)1.

下列說法中，正確的個數(shù)是(

)①存在一個實(shí)數(shù)xo,

使

-

2x6+xo-4=0;②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除.A.

0

B.1C.

2

D.

3【答案】

B2.

設(shè)命題p:3n∈N,n2>2",

則命題p

的否定為(

)A.√n

∈N,n2>2"

B.

ヨn

∈N,n2≤2"C.√n

∈N,n2≤2"

D.3n

∈N,n2=2"【解析】

因?yàn)椤叭誼∈M,p(x)”

的否定是

“Vx∈M,-p(x)”,

所以命題“3n∈N,n2>2”"

的否定是“

√n∈N,n2≤2”",

故選C.【答案】

C3.

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定.(1)有一個奇數(shù)不能被3整除；(2)Vx∈Z,x2

與3的和不等于0;(3)有些三角形的三個內(nèi)角都為60°;(4)每個三角形至少有兩個銳角；(5)與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.【解】

(1)是存在量詞命題，否定為：每一個奇數(shù)都能被3整除

.(2)是全稱量詞命題，否定為：3xo∈Z,x6

與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：任意一個三角形的三個內(nèi)角不都為60°.(4)是全稱量詞命題，否定為：存在一個三角形至多有一個銳角.(5)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”,即“任意一條與圓只有個公共點(diǎn)的直線是圓的切線”,否定為：存在一條與圓只有一個公共點(diǎn)的直線不是圓的切線.4.

已知命題“3x

∈R

,x2+2x+a-2<0”

為假命題的充要條件是A.a<3

B.a≤3C.a>3

Da≥3因?yàn)槊}“3x∈R,x2+2x+a-2<0”

為假命題，所以命題的否定

“Vx∈R,x2+2x+a-2≥0”

為真命題，即x2+2x+a-2≥0

恒成立的充要條件?△=22-4(a-2)≤0=a

≥3.1

2

3

4

5

6

7

5

9

10

11

12

13

14

15

165.

(多選)關(guān)于命題p:“Vx∈

R,x2+1≠0”

的敘述，正確的是A.綈p:3x

∈

R,x2+1=0B.締p:

√x∈R,x2+1=0Cp

是真命題，綈p是假命題D.p是假命題，綈p是真命題命題p:“Vx∈R,x2+1≠0”

的否定是“3x∈R,x2+1=0”所以p是真命題，綈p是假命題.1

2

3

4

6

7

5

9

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11

12

13

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15

1656.

(多選)對下列命題的否定說法正確的是Ap:

能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；p

的否定：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)Bp

:

有些矩形是正方形；

p

的否定：所有的矩形都不是正方形C.p:

有的三角形為正三角形；

p的否定：所有的三角形不都是正三角形Dp

:Vn∈N,2n≤100;p

的否定：3n

∈N,2n>100“有的三角形為正三角形”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題：“所有的三角形都不是正三角形”,故選項(xiàng)C錯誤.1

2

3

4

5

7

5

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15

166課堂提升練習(xí)1.下列命題的否定是真命題的為Ap?

:

每一個合數(shù)都是偶數(shù)B.P?

:兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等C.P?

:全等三角形的周長相等D.p?

:所有的無理數(shù)都是實(shí)數(shù)1

2

3

4

5

6

7

S

9

10

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13

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15

162.

(多選)下列命題的否定是假命題的是A.等圓的面積相等，周長相等B.Vx

∈N,x2≥1C.

任意兩個等邊三角形都是相似的D.

有些梯形的對角線相等1

2

3

4

5

6

7

G

9

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15

163.已知命題p:3x>0,x+a-1=0A.a>1

B.a≥1

C.a<1因?yàn)槊}p:3x>0,x+a-1=0所以綈p:Vx>0,x+a-1≠0

即x≠1-a,所以1-a≤0,

即a≥1.所以a的取值范圍為a≥1.1

2

3

4

5

6

7

5為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.a≤1為假命題，是真命題，9

10

11

12141516命題p的否定為：“任意0≤x?

≤3,

存在-m≤x≤2

,

使

得x?

?

”為真命題，等價于(x)min≥(x?)min

,所以4.已知命題p:

“存在0≤x?

≤3,

對任意則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

使

得

<x?

”

為假，1

2

3

4

5

6

7

5

9

10

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12

13

15

16,5.命題“

√x

∈R,3n∈N*,

使得n≥2x+1”

的否定形式是A.Vx∈R,3n∈N*,

使得n<2x+1B.Vx∈R,Vn∈N*,

使得n<2x+1C.3x∈R,3n∈N*,

使得n<2x+1D白x

∈R,Vn

∈N*,

使得n<2x+1由題意可知，全稱量詞命題

“Vx∈R,3n∈N*,

使得n≥2x+1

”

的否定形式為存在量詞命題“3x∈R,Vn∈N*,