2021年浙江省高考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.(4分)設集合A={x|x..l),5={x|-l<x<2},則4口8=()

A.{x\x>-l}B.{x|x..l)C.{x|-1<x<1}D.{x\l,,x<2}

2.（4分）已知aeH,（1+5），=3+d為虛數(shù)單位），則a=（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.（4分）已知非零向量M，b,c,則“展5=＞乙”是"日=看”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

cm）,則該幾何體的體積（單位：?！κ牵?

逑

C.D.3及

F

X+1..0

5.（4分）若實數(shù)X,y滿足約束條件尤—為0,則Z=的最小值是（）

2x+3y-l?0

A.-2Bc.--D.

-4210

6.（4分）如圖，已知正方體,M,N分別是A。，。出的中點，則（）

A.直線A。與直線RB垂直，直線MN//平面98

B.直線4。與直線。出平行,直線MN_L平面8ZJD百

C.直線與直線。出相交,直線MN//平面ABCD

D.直線A,。與直線異面,直線MV_L平面以兒）4

7.（4分）已知函數(shù)/（彳）=*2+■1,g（x）=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）

g(x)

C.y=/(x)g(x)D.y=

7M

8.（4分）已知a,夕，r是互不相同的銳角，則在sinacos/7,sincos/,sinycosa三個值中，大于;的

個數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

9.（4分）已知a,bwR,ab>0>函數(shù)/（x）="+b（xeR）.若f（s-r）,.f（s）,/（s+f）成等比數(shù)列,

則平面上點（sj）的軌跡是（）

A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

10.（4分）已知數(shù)列｛〃,,｝滿足4=1,%=T=（〃eN列.記數(shù)列伍,｝的前”項和為S“，則（）

i+A

399

A3<%<4C4<<D<<5

2-B.2-2-

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分。

11.（4分）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的

一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正方形的面積

為s「小正方形的面積為$2,則3=—.

12.（4分）已知aeR,函數(shù)/"）=卜一一4，、＞2,若于（于（底））=3,則〃=_.

［|］一3|+。,%，2-

13.（6分）已知多項式（X-1）3+（x+l）“=d+〃2x2+。3%+。4，則4=；〃2+/+。4=?

14.（6分）在AABC中，NB=60。，AB=2,M是3C的中點，AM=2＞/5,則AC=;cosZMAC=___.

15.（6分）袋中有4個紅球，加個黃球，"個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為若取出的

兩個球都是紅球的概率為工，一紅一黃的概率為1，則，"-〃=—,E?=一.

63

16.（6分）已知橢圓=+4=13＞。＞0）,焦點片（-c,0）,E（c,0）（c＞0）.若過耳的直線和圓

ab~

（X-gc）2+y2=c2相切，與橢圓的第一象限交于點P,且尸［Lx軸，則該直線的斜率是—，橢圓的離

心率是.

17.（4分）已知平面向量d,b,式1*0）滿足|。|=1,|fe|=2,ab=0,（a-b）-c=0.記平面向量［在

5方向上的投影分別為X,y,d-方在不方向上的投影為Z,則V+y2+z2的最小值是.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.(14分)設函數(shù)/(x)=sinx+cosx(%￡H).

(I)求函數(shù)y="(x+])F的最小正周期；

(II)求函數(shù)y=f(x)/(x-()在嗚]上的最大值.

19.(15分)如圖，在四棱錐中，底面AB8是平行四邊形，ZABC=120°,43=1,3c=4,

PA=瓦,M,N分別為BC,PC的中點，PDLDC,PM±MD.

(I)證明：ABLPM:

(II)求直線4V與平面所成角的正弦值.

g

20.(15分)已知數(shù)列｛%｝的前w項和為S“,a,且4“=3S“-9(〃eN*).

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)設數(shù)列｛〃,｝滿足3Z?“+(n-4)an=0(neN*),記｛》"｝的前”項和為方,若〃,血對任意〃wN*恒成立,

求實數(shù)X的取值范圍.

21.(15分)如圖，已知下是拋物線丁=2px(p>0)的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，K|MF|=2.

(I)求拋物線的方程：

(II)設過點尸的直線交拋物線于A,B兩點,若斜率為2的直線/與直線M4,MB,AB,x軸依次交

于點尸，Q,R,N,且滿足|RN|2=|/W|.|QN|,求直線/在x軸上截距的取值范圍.

22.(15分)設a,6為實數(shù)，且a＞l,函數(shù),f(x)=a*-Z?x+e2(xeR).

(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(H)若對任意匕＞2/,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；

(III)當a=e時，證明：對任意人〉/,函數(shù)人幻有兩個不同的零點西，匕，滿足々＞等為+[.

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

2021年浙江省高考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.（4分）設集合A={x|x..l）,B={x\-\<x<2},則4口8=（）

A.B.{x|x..1}C.{x|-l<x<1}D.{x|1?x<2}

【解答】解：因為集合A={x|x.l},B={x|-l<x<2},所以AnB=*IL,x<2}.故選O.

【點評】本題考查了集合交集的運算，解題的關鍵是掌握集合交集的定義，屬于基礎題.

2.（4分）已知aeR,（l+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），貝Ua=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解：因為（l+*i=3+i,—a+i=3+i>

由復數(shù)相等的定義可得，-。=3,即。=-3.故選：C.

【點評】本題考查了復數(shù)相等定義的理解和應用，屬于基礎題.

3.（4分）已知非零向量1，b,c,則是"&=b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當且則々^=6^=0,但1與5不一定相等，

故箱6=5-1不能推出d=5,則“?！?九三"是"1=5"的不充分條件；

由1=6,可得@-5=0,貝!!（&-6）?（?=（）,a-b-b-c,所以@=5可以推出無5=6,

故uac=bcn是ua=bn的必要條件.

綜上所述，是"a=E”的必要不充分條件.故選：B.

【點評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運算，屬

于基礎題.

4.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：c/n）,則該幾何體的體積（單位：?！κ牵ǎ?/p>

3點

D.3及

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，

其中A8//CD,由三視圖可知，延長4）與8c后相交于一點，且A￡）J_8C,

且45=2夜，CD=y[2,A4,=1,等腰梯形的高為｛4￡＞、（任『2尸=J1_

則該幾何體的體積V」x（應+2后）x正xl=?.故選：A.

222

DA

【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

X+1..0

5.（4分）若實數(shù)x,y滿足約束條件卜-%0，則z=x-gy的最小值是（）

2x+3y—l,,0

A.-2

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

化目標函數(shù)z=九一;y為y=2x-2z,由圖可知，當直線y=2x-2z過A時,

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-1-^x1=—3.故選：B.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

6.（4分）如圖，已知正方體，M,N分別是AQ，RB的中點，則（）

A.直線與直線RB垂直，直線MN//平面/WCZ）

B.直線4。與直線08平行，直線平面

C.直線4。與直線RB相交，直線MN//平面ABCD

D.直線AQ與直線RB異面，直線平面8OR及

【解答】解：連接A。，如圖：

由正方體可知,A。_LAB,r.AO_L平面AB.,

:.A,DLD,B,由題意知MN為△RAB的中位線，.?.MV//AB,

又?.?/$<=平面4?C￡）,MNU平面438,.?.仞%//平面438.，A對;

由正方體可知A。與平面相交于點C,RBu平面BDR,D/RB,

二.直線A。與直線RB是異面直線，C錯；

-,-MN//AB,A3不與平面8?！?gt;聲垂直，；.MN不與平面垂直，二。錯.故選：A.

【點評】本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理與性質，考查了邏輯推理核心素養(yǎng)，屬于

中檔題.

7.(4分)己知函數(shù)f(x)=x2+l，g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

A.y=/(x)+g(x)-：B.y=/(x)-g(x)-：

44

c.y=/(x)g(x)D.y=

fW

【解答】解：由圖可知，圖象關于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，

因為=為偶函數(shù)，g(x)=sinx為奇函數(shù)，

4

函數(shù)y=f(x)+g(x)-1=x2+sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項A錯誤；

4

函數(shù)y=/(x)-g(x)-1=x2-sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項5錯誤；

4

函數(shù)y=/'(x)g(x)=(x2+^-)sinx,則y=2xsinx+(x2+；)cosx>0對XG(0,-^-)恒成立，

則函數(shù)y=f(x)g(x)在(0,工)上單調遞增，故選項C錯誤.故選：D.

4

【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)值

的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔

題.

8.(4分)已知a,B,r是互不相同的銳角，則在sinacos/?,sincosy,sinycosc三個值中，大于(的

個數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由基本不等式可得：sinacos以,8s%,sin/cos人,城戶廣什,

.sin2/+cos2a

sinycosa,,-----------------,

三式相加，可得：sinacos/?+sin/7cosy+sin/cosa?—,

很明顯sinacos/,sin4cosy,sin/cosa不可能均大于;.

取a=30。，p=60°,7=45。，則sincrcos/?="<；,sin/?cosy=>；,sinycosa=,

則三式中大于1的個數(shù)的最大值為2,故選：C.

2

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的性質，基本不等式求最值的方法，同角三角函數(shù)基本關系等知識，屬于

難題.

9.(4分)已知a,heR,ab>0,函數(shù)/(幻=0)?+〃(xeR).若/'(s-f),f(s),f(s+f)成等比數(shù)列，

則平面上點(s,r)的軌跡是()

A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

【解答】解：函數(shù)y(x)=加+%,因為/(s-r),f(s),y(s+f)成等比數(shù)列,

則f2(s)=f(s-1)f(s+1),即(as2+b)2=[a(j-1)2+b][a(s+1)2+b],

即a2s4+2abs2+b2=?2[(5-r)2(^+02]+ab(s-1)2+ab｛s+1)2+b2,

整理可得a￥-2a2??2+2abf=0,

因為“0,故m-2加q+2次2=0,即為°r_2g2+?)=0,

所以r=0或a--2as2+26=0,

當，=0時，點(s,f)的軌跡是直線；

2、

當i-20?+3=0,即竺-絲=1,因為而>0,故點(取)的軌跡是雙曲線.

b2b

綜上所述，平面上點(s/)的軌跡是直線或雙曲線.

故選：C.

【點評】本題考查了等比中項的應用，動點軌跡方程的求解，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定

義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題.

10.(4分)已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,j=T=(nwN*).記數(shù)列伍“｝的前〃項和為S,,則()

i+M

39

3<%<4<

2-B.2-

【解答】解：因為4=1,4+[=——，所以>0,%=—,所以S]0G>q+劣=—,

1+也22

111+/111111

忘〈忑+3'故7TE2…詞一在.

由累加法可得當兒.2時,

111/八1?H-1〃+14

——<—(n-1)=><1+------=------=>a>----

瓜222n(“+1)2

44

又因為當〃=1時，a=---------也成立，所以見…-------7alwN"),

n5+1)5+1)

〃+1

所以。向n+3a"

.?.也=”1,故2,…，生=2,

a?〃+3q_|n+2an_2M+144

由累乘法可得當”..2時，a"="='-xTx仁2x…x3x2=——-——=6(—-------—),

a}n+2n+\n54(n+2)(n+l)n+\n+2

所以Woo=1+6(3_4+^一1+1一不+.+—-------)<l+6(---—)<l+2=3

1011023102

故選：A.

【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推關系式及其應用，數(shù)列求和與放縮的技巧等知識，屬于難題.

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分。

II.（4分）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的

一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正方形的面積

為S一小正方形的面積為S2,則—=25.

$2

【解答】解：?.?直角三角形直角邊的長分別為3,4,.?.直角三角形斜邊的長為^^^=5,

即大正方形的邊長為5,.9=52=25,則小正方形的面積尾=￡-5陰影=25-4*4x3x4=1,

q

」=25.故答案為：25.

S2

【點評】本題考查了三角形中的幾何計算和勾股定理，考查運算能力，屬于基礎題.

X2—4x>2l

12.(4分)已知aeR,函數(shù)〃x)=''若/(/(6))=3,則。=2.

|X—312?

x—,x>2,所以,（向=（向2_4=2,

【解答】解：因為函數(shù)/(X)h

\x-3\+a,x,,2

則/(/(幾))=/(2)=|2-3|+a=3,解得。=2.故答案為：2.

【點評】本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，解題的關鍵是根據(jù)自變量的值確定使

用哪一段解析式求解，屬于基礎題.

13.(6分)已知多項式(X-1)、+(x+l)4=x，+4/2+%犬+4，則a=5；a2+a3+a4=.

【解答】解：q即為展開式中Y的系數(shù)，所以q=《(—1)°+C：=5；

令x=l,則有］+q+/+6+%=（1-1）3+（1+1）4=16,

所以4+4+4=16-5-1=10.故答案為：5；10.

【點評】本題考查了二項展開式的通項公式的運用以及賦值法求解系數(shù)問題，考查了運算能力，屬于基礎

題.

14.(6分)在AABC中，ZB=60°,43=2,M是的中點，AM=273.則AC=_2，i5_；

cosZMAC=.

【解答】解：在中：AM2+2BA-BMcos60°):.(2y/i)2=22+BM2-2x2-BM--,

2

:.BM2-2BM-S=0,解得：3M=4或-2(舍去).

?.?點〃是8C中點，，MC=4,BC=8,在AABC中：AC2=22+82-2x2x8cos600=52,AC=2y/\3；

（2石）2+（2萬）2—422回

在AAMC中:cosZMAC=

2x273x271313

故答案為：2萬;獨1.

13

【點評】本題考查余弦定理應用，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

15.(6分)袋中有4個紅球，“個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為若取出的

兩個球都是紅球的概率為1,一紅一黃的概率為1,則機-〃=_!_,E?)=_.

63

【解答】解：由題意，P^=2)=-^-=-=—,又一紅一黃的概率為孳】=』=乜，

Q+.+4636c二M336

所以C；+〃+4=36,C：〃=3,解得相=3，〃=2,故加一九=1；

由題意，4的可能取值為0,1,2,所以p(g=o)=

C；3618

匕八C\C\2010c、13匚G、Is、八5,10、38

P(J=1)=—————,P(5——2)=—=—,所"以Eg)=0x--F1x—-+2x—=—

G；3618'618'1818189

8

故答案為：1:9-

【點評】本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量

期望，考查了運算能力，屬于基礎題.

22

16.(6分)已知橢圓與+]=l(a>A>0),焦點片(-c,0),/^(c,0)(c>0).若過耳的直線和圓

a3

(x-1c)2+y2=c2相切，與橢圓的第一象限交于點尸，且軸，則該直線的斜率是一半橢圓

的離心率是.

【解答】解：直線斜率不存在時，直線與圓不相切，不符合題意；

由直線過片，設直線的方程為y=A(x+c),

?.?直線和圓(x-gc)2+y2=02相切，.?.圓心(gc,0)到直線的距離與半徑相等，

\k-^--Q+kc\2X/5x2v2

A2

2_c4用得笈一7°)1與x-「彳1入”+y-1可得P點坐標為

a+i5'a’廿a

b2

222

t“ckPF,~,2^5a-c2V51-c2V5出

tanZPFf；=——-=—=/:=,..------=,/.-=---,.e-——.

12FIK2c52ac52e55

55

【點評】本題考查了橢圓、圓的簡單幾何性質，以及點到直線的距離公式，需要學生熟練掌握公式，是中

檔題.

17.(4分)已知平面向量1,h,c(c工0)滿足I,|=1,|〃|=2,ah=0,(4一日)C=0.記平面向量％在M,

5方向上的投影分別為x,y,在0方向上的投影為z,則V+V+z?的最小值是_|

【解答】解：令]=(1,0),5=(0,2)1=(犯”)，

因為(。一心)?5=0,故(1,-2)?(機,孔)=0,:.m—2n=0f令^=(2%n),

平面向量2在5,5方向上的投影分別為x,y,設，=(x,y),

則：J-a=(x-l,y),(d-a)-c=2n(x-V)+ny,Ic|=>/5|n|,

從而：z="2力工=生智3,故2x+y士6z=2,

方法一：由柯西不等式可得2x+y-亞z=2,,42?+f+(-6產(chǎn)-yjx2+y2+z2,

化簡得f+V+z?…巴=2,當且僅當2=1=*,即x=2,y=_L,z=-走時取等號，

105XyZ555

故V+y2+z2的最小值為2.

方法二：則Y+V+z?表示空間中坐標原點到平面2x+y土石z-2=0上的點的距離的平方,

由平面直角坐標系中點到直線距離公式推廣得到的空間直角坐標系中點到平面距離公式可得:

,222、,2X0+1X0±\/5X0-2.24244g田2

'+/+%,,=(一萬E-)2=1r于故答案為

5

【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運算法則，平面向量的坐標運算，平面向量的投影，類比

推理的應用等知識，屬于難題.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.(14分)設函數(shù)/(x)=sinx+cosx(x￡R).

(I)求函數(shù)y="(x+])『的最小正周期；

(II)求函數(shù)y=/(xV(x-7)在[0,§上的最大值.

【解答】解：函數(shù)/(x)=sinx+cosx=>/5sin(x+工)，

4

(I)函數(shù)y="(工+$產(chǎn)=[&sin(x+5+7)]2=2COS2(X+?)

=1+cos[2(x+—)]=1+cos(2x+—)=1-sin2x,則最小正周期為T=—=兀；

(II)函數(shù)y=/(x)f(x--)=41sin(x+-)-42sin(x--+—)

4444

=(V2(sinx+cosx)sinx=\f2(sin2x+sinxcosx)=V2(--+—sin2x)=sin(2x--)d———,

2242

因為xe[0,芻，所以包"所以當2廠工=巳，即*=至時，/?_=1+—.

244442822

【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖像性質，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運算能力，屬于基

礎題.

19.(15分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CD是平行四邊形，ZABC=120°,AB^\,BC=4,

PA=屈,M,N分別為BC,PC的中點，PDA.DC,PMYMD.

(I)證明：AB±PM；

(II)求直線4V與平面所成角的正弦值.

【解答】(I)證明：在平行四邊形ABCD中，由已知可得，CD=AB=1,

CM=-BC=2,ZDCM=60°,

2

由余弦定理可得，DM2=CD1+CM2-2CDxCMxcos60°=1+4-2XIX2X」=3,

2

貝IJCO2+￡)A/2=I+3=4=CA/2,即,又PD1DC,尸￡>("|切=￡>,r.C￡)_L平面PDA/,而PWu

平面PDM,:.CDYPM,-.?CD//AB,:.AB±PM；

(II)解：由(I)知，C￡)_L平面POW,又CE>u平面498,平面4?CD_L平面PZW,

且平面ABCOn平面PDW=QM，-.-PMA.MD,且RWu平面PDW,.?./W_L平面AfiCZ),

連接A",則PMA.MA,

在中，AB=l,BM=2,ZABM=\20°,可得AM?=1+4-2x1x2x(-：)=7,

又PA=/,在RtAPMA中，求得PM=4PA2—M4?=2a,

取AD中點E,連接ME,則用E7/CD,可得ME、MD、朋尸兩兩互相垂直，

以M為坐標原點，分別以岫、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則4(-6,2,0),P(0,0,2>/2),C(G,-l,0),

又N為尸C的中點，：.N(3,-L&)，A]V=(—,--,V2),

2222

平面尸DM的一個法向量為為=(0,1,0),

設直線AN與平面PDM所成角為0,

5

則sin0=|cos<AN,ii>|=利

l^l-lnl,2725?,-6

——+——+2x1

44

故直線AN與平面PDM所成角的正弦值為叵.

6

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定與性質，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求

直線與平面所成的角，是中檔題.

Q

20.(15分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，a=--,且4SN=3S“—9(〃￡N*).

4

(I)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式;

(II)設數(shù)列｛〃,｝滿足3b“+(〃-4)a“=0(〃GN*)，記｛包｝的前〃項和為Tn,若Tn?Abn對任意nwN*恒成立,

求實數(shù)4的取值范圍.

【解答】解：(I)由4S,用=3S,-9可得4s“=3S,2),

兩式作差，可得：4a向=34,??.縱=3,很明顯，&=3,

an444

所以數(shù)列僅“｝是以-'為首項，;為公比的等比數(shù)列，

其通項公式為：4,=(一*xgyi=-3x(；)".

(n)由3b"+(n-4)an=0,得"=-一％=(〃一4)(；)",

Z=-3x1—2x(；)2—1x《)3_|—5)(1)”」+(〃-4)?(1)〃,

44444

333333

—T'n=_3x(—)2-2x(-)3-1x(—)4H—+(n-5)-(—)/z+(/?-4)-(—)n,1,

444444

兩式作差可得：

；1=-3X?+弓)2+(1)3+(，+…弓)”—-4)?(?)”“=，+—~~|~--(?-4)(1)，，+1

1----

4

=_44)"‘_5_4)?(?)1=_〃?(j"“，則(=T”?弓)向?

據(jù)此可得T〃?(?)"”,,2(”-4)弓)"恒成立，即〃“-4)+3〃..0恒成立.

〃=4時不等式成立；

n<4時，A,,—=-3—,由于〃=1時(-3—=1，故4,1;

n-4〃一4〃一4

n>4時，A...—型-=—3—巳-，而-3—竺-<—3,故：A...—3；

n-4n—4n—4

綜上可得，｛4|-3領兌1).

【點評】本題主要考查由遞推關系式求數(shù)列的通項公式的方法，錯位相減求和的方法，數(shù)列中的恒成立問

題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.

21.(15分)如圖，已知產(chǎn)是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，例是拋物線的準線與x軸的交點，S.\MF\=2.

(I)求拋物線的方程：

(II)設過點尸的直線交拋物線于A,B兩點，若斜率為2的直線/與直線M4,MB,AB,x軸依次交

于點P,Q,R,N,且滿足|RN『=|PN||QN|,求直線/在x軸上截距的取值范圍.

【解答】解：(I)依題意，P=2,故拋物線的方程為y2=4x；

(II)由題意得，直線鉆的斜率存在且不為零，設直線48:y=Mx-I),

將直線AB方程代入拋物線方程可得,kV-QH+4)x+公=0,

4

則由韋達定理有，XA+XB=2+-^,XAXB=\,則以為=7，

設直線AM:y=K(x+l),其中尢=」_,設直線=其中&,=-^-,

xA+1xB+1

則%+公=以+%=皿/+。+%4+-=k@A_1)&+kg_1)+k@B_1此+k@B_1)=0

12

XA+\XB+\(4+1)(/+1)(4+1)*8+1)(勺+1)(4+1)

kku必先_-4_--

'2區(qū)+D&+1)1+2+4+11+公，

k2

設直線/:y=2(x-f),

y—2(x—t)-_zgk—2tn.i...k—2tk—kt、

聯(lián)立，可得/=丁二，則與-fR丁二-fR丁一,

y=A(x-1)k-2k-2k-2

可得”號，則用TR笠TH笠卜

聯(lián)立

同理可得，4=與早,|々一*=|4±箸|,

NZC,乙K?

、k—ki口」k、+k、t右+kj、日n/"—Z~(l+/)~

又|HN『=|PN|“QN|,=|*,艮1」()=

k-22-JI,2-他k-23公+4

(1+r)23/+43伏-2尸+12伏-2)+161612、，43丁33,八

-——卷=-----=—------------------=-----+----+3=(-----+-)+----(?*!)>

("If(4-2)2?(&-2『(Z-2)72k-2k-2244

.\4(t2+2f+l)..3(t2-2r+l),即/+1期+1..0,解得r..4月一7或r,,-7-4后(frl)；

當直線4?的斜率不存在時，則直線AB:x=l,A(l,2),8(1,-2),M(-1,O),

直線M4的方程為y=x+l,直線MB的方程為y=-x-l,

設直線/:y=2(x7),則P(l+2f,2+2f),,R(\,2-2t),N(7,0),

又|/WF=|PN||QN|,故(1_f)2+(2_2廳=J(1++(2+2rf+(—^^了，

解得t滿足(-00,-7-473]U[4^-7,1)U(1,+<?).

直線/在X軸上截距的取值范圍為(-8,-7-46]U[4g-7,1)U(l,e).

【點評】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力，屬于難題.

22.(15分)設a,人為實數(shù)，且a>l,函數(shù)/(x)="-Av+e2(xeR).

(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(II)若對任意匕>2e?,函數(shù)/(x)有兩個不同的零點，求。的取值范圍；

hlnh/

(III)當a=e時，證明：對任意人>6工函數(shù)/(九)有兩個不同的零點不，%2,滿足方>"王+".

2e“b

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

【解答】解：(I)f'(x)=axlna-b,

①當b,,0時，由于a>l,則優(yōu)加3>0,故/。)>0,此時f(x)在R上單調遞增；

.h.b

In——In——

②當6>0時，令廣(x)>0,解得x>—令廣(1)<0,解得x<—^也，

InaIna

,b,b

in——In——

此