2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)5.1.1章前引言及相交線導(dǎo)學(xué)案引言在數(shù)學(xué)中，一個(gè)特別重要的概念就是直線和平面的相交。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中，我們都會(huì)用到這個(gè)概念。例如，在幾何學(xué)中，相交的直線和平面是構(gòu)成圖形的基礎(chǔ)；在物理學(xué)中，相交的直線和平面被用來(lái)描述力的大小和方向；在工程學(xué)中，相交的直線和平面是測(cè)量地圖和繪制建筑圖紙的基礎(chǔ)。因此，掌握相交線的概念和具體應(yīng)用非常重要。相交線的定義相交線是指兩條或兩條以上的直線在空間中的交點(diǎn)。例如，如圖1所示，線段AC和線段BD相交于點(diǎn)E，因此我們可以稱AC與BD是相交的兩條線段，點(diǎn)E是它們的交點(diǎn)。圖1注：下文將使用圖1來(lái)作為基準(zhǔn)圖形進(jìn)行講解。兩條直線的位置關(guān)系如果兩條直線不相交，我們稱它們?yōu)槠叫芯€。根據(jù)平行線的定義，可以得到以下定理：定理1：如果兩條直線是平行的，則它們沒有交點(diǎn)。如果兩條直線相交，它們之間的位置關(guān)系可以通過(guò)角度來(lái)描述。如圖2所示，如果兩條直線相交時(shí)，其夾角小于90度，則稱這兩條直線為銳角相交；如果它們的夾角等于90度，則稱這兩條直線為直角相交；如果兩條直線的夾角大于90度，則稱這兩條直線為鈍角相交。圖2定理2：如果兩條非平行的直線相交，則它們必定在相交點(diǎn)處構(gòu)成一組銳角、直角或鈍角。除了兩條直線相交以外，它們之間還可能存在其他關(guān)系。如圖3所示，如果一條直線不在另一條直線上，則稱這兩條直線為交叉線。在這種情況下，可以發(fā)現(xiàn)，直線AB和直線DE既不平行也不相交，它們是交叉線。圖3定理3：如果兩條直線不相交也不平行，則稱這兩條直線為交叉線。同位角和內(nèi)錯(cuò)角在相交線中，有兩個(gè)非常重要的角度概念，即同位角和內(nèi)錯(cuò)角。同位角的定義：在兩條直線相交的情況下，同側(cè)的兩個(gè)角即為同位角。如圖4所示，∠ABC和∠EDF是同側(cè)的兩個(gè)角，因此它們是同位角。圖4內(nèi)錯(cuò)角的定義：在兩條直線相交的情況下，一個(gè)角的內(nèi)角與另一個(gè)角的外角相等，則這兩個(gè)角即為內(nèi)錯(cuò)角。如圖5所示，∠ABC和∠ECD的度數(shù)相等，∠BAD和∠DCF的度數(shù)也相等，因此它們分別是一組內(nèi)錯(cuò)角。圖5導(dǎo)學(xué)案我們已經(jīng)講解了相交線的基本概念和常見的位置關(guān)系，接下來(lái)我們來(lái)通過(guò)思考一些問(wèn)題來(lái)鞏固和提高對(duì)這些概念的理解。問(wèn)題1：如圖6所示，如果直線m與直線n垂直，直線l與m交于點(diǎn)E，直線l與n交于點(diǎn)F，則∠BAC和∠EFC是否是一組內(nèi)錯(cuò)角？圖6問(wèn)題2：如圖7所示，ABCD是矩形，點(diǎn)E、F、G分別是線段AB、BC和CD上的點(diǎn)，若∠FED和∠GED的度數(shù)分別為20°和30°，求∠BAG和∠DAG的度數(shù)。圖7問(wèn)題3：如圖8所示，ABCD是矩形，并且∠FAD和∠FCB的度數(shù)分別為30°和15°，求∠ADE的度數(shù)。圖8解答首先，根據(jù)題目可以得到：直線m與直線n垂直，因此∠DAE是直角；直線l與m交于點(diǎn)E，直線l與n交于點(diǎn)F，因此∠EFC是直角，∠BAC是直角的補(bǔ)角。根據(jù)補(bǔ)角的定義，可以得到：∠BAC+∠DAE=90度∠EFC+∠DCE=90度將求得的兩個(gè)等式相加，可以得到：∠BAC+∠DAE+∠EFC+∠DCE=180度這說(shuō)明∠BAC和∠EFC不是一組內(nèi)錯(cuò)角。根據(jù)圖7，可以得到：∠FED+∠GED+∠BAG+∠DAG=360度又因?yàn)锳BCD是矩形，所以∠BAC和∠ACD是直角，因此∠BAG+∠DAG的度數(shù)等于180度。將上面的等式代入，可以得到：∠FED+∠GED+180度=360度化簡(jiǎn)得：∠BAG+∠DAG=160度所以∠BAG和∠DAG的度數(shù)分別為80度。根據(jù)圖8，可以得到：∠FAD+∠EAD=90度∠FCB+∠CDB=90度將上面兩個(gè)等式相加，則有：∠FAD+∠EAD+∠FCB+∠CDB=180度又因?yàn)锳BCD是矩形，所以∠BAC和∠ACD是直角，因此∠EAD和∠CDB的度