自伴矩陣代數(shù)上的192個相對論性的短期映射

1hnf上的點差異在研究算子代代相傳問題時，討論了算子世代之間保持某種性質(zhì)的映射、定義和分類。如果所涉及的映射是線性的，即所謂的線性保持問題，在線性保持問題的研究基礎(chǔ)上，人們開始其他研究，甚至使用線性保持問題。此外，在許多文獻(xiàn)中，它討論了可執(zhí)行國王的行為問題和可執(zhí)行國王的行為問題。2006年,Hou和An在文獻(xiàn)中證明了自伴算子空間上的Jordan-triple可乘雙射一定是可加的.本文給出Hn(F)上Jordan-triple可乘映射的完整刻畫和分類.用F表示實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C,記F*=F\{0}.Hn(F)為F上n×n的自伴矩陣全體.設(shè)A,B為上的兩個代數(shù),若映射Φ:A→B滿足Φ(ABA)=Φ(A)Φ(B)Φ(A),則稱Φ為A到B的Jordan半可乘映射或Jordantriple可乘映射.引理1設(shè)n≥3,F為域,令Hn(F)是n×n的實對稱矩陣集合或n×n的復(fù)埃爾米特矩陣集合.假設(shè)G?Hn(F)包含所有的秩小于等于2的埃爾米特矩陣.那么Φ:G→G滿足對任意的A,B∈G:的充分必要條件是存在酉矩陣U和數(shù)值函數(shù)α:G→R*使得以下條件之一成立:i)當(dāng)A∈G或Φ(A)∈G有不同的特征根符號時,有:ii)對所有的A∈G,有:2半可乘的矩陣定理1設(shè)Hn(F)為n(n≥3)階自伴矩陣代數(shù),則映射Φ:Hn(F)→Hn(F)為Jordan半可乘的充要條件是下列之一成立:iv)存在滿足k1+k2<n的正整數(shù)k1,k2及可逆矩陣R∈Mn(F),使得:?A∈Hn(F),RR*與v)存在滿足k1+k2<n的正整數(shù)k1,k2及可逆矩陣R∈Mn(F),使得:?A∈Hn(F),RR*與Φ(A)和其中Φi:Hn(F)→Hki(F)(i=1,2)為Jordan半可乘映射,Φi(0)=0(i=1,2);其中Φ1:Hn(F)→Hk(F)和Φ2:Hn(F)→Hn-k(F)為Jordan半可乘映射,并且Φi(0)=0(i=1,2);vii)Φ(I)=I,Φ是Jordan半可乘的且對任意的秩為1的矩陣A∈Hn(F),都有Φ(A)=0;viii)存在酉矩陣U和Jordan半可乘的數(shù)值函數(shù)α:Hn(F)→R*使得Φ(A)=α(A)UAue551U*對所有的A∈Hn(F)都成立.這里A?=A或A?=ue458.證明充分性是顯然的.下證必要性.前6種情形的證明與文獻(xiàn)的證明相似,這里不給出具體的證明.下面證明若Φ(I)=I,要么對任意的秩為1的矩陣A∈Hn(F),有Φ(A)=0,有(vii)成立,要么存在秩為1的矩陣x0?x0,使得Φ(x0?x0)≠0.將證明后一種情形下對任意的一秩矩陣x?x∈Hn(F),都有:Φ(x?x)≠0.所以Φ(λI)可逆,對任意的一秩矩陣x?x∈Hn(F),令〈x0,x〉=μ,則:當(dāng)μ≠0時,有:由于Φ(μI)可逆且Φ(x0?x0)≠0,因而Φ(x?x)≠0,當(dāng)μ=0時,有〈x0,x〉=0,取z∈Fn使得〈x0,z〉≠0且〈x,z〉≠0,如上可得Φ(x?z)≠0,從而Φ(x?x)≠0.下面證明Φ(A)=0?A=0,此情形下顯然只需證明Φ(A)=0?A=0即可.如A≠0,因而存在x∈Fn,使得:Ax≠0,那么Ax?xA=Ax?Ax≠0.而:這與?x?x∈Hn(F),都有Φ(x?x)≠0.矛盾.由上面的證明可知Φ(A)=0?A=0.又由Φ是Jordan半可乘映射,因此:也就是Φ雙邊保Jordan半零積.由引理1可知,假設(shè)Φ具有形式(ii),則Φ滿足對所有的A∈Hn(F),有:這里A?=A或A?=ue458.不妨假設(shè)對所有的A∈Hn(F),令A(yù)=x?f,則Φ(A)=x?g.因為A=A*且Φ(A)=Φ(A)*,所以存在α,β∈F,使得因此Φ(x?f)=α(x?f)x?f.由Φ是Jordan半可乘映射,因此對所有的A∈Hn(F),有:從而對所有的A∈Hn(F),有Φ