基于black-scholes期權(quán)定價方法的波動率預(yù)測

一、匯率波動率相關(guān)理論波動率是資產(chǎn)收入不確定性的衡量。它通常用于衡量資產(chǎn)的風(fēng)險。波動率越高，預(yù)期收益率越高，風(fēng)險越大。金融資產(chǎn)的波動率也在資產(chǎn)定價和投資組合等方面也起著極其重要的作用。比如在Black-Scholes期權(quán)定價的公式里面,標的資產(chǎn)價值回報波動率就是其中一個重要的變量,這樣波動率在可轉(zhuǎn)換債券、權(quán)證等金融衍生產(chǎn)品的定價中起到很重要的作用。而預(yù)測波動率有兩種方法:一種為歷史波動率方法,用歷史的波動率來預(yù)測目前的市場波動率;另一種方法是隱含標準差方法,從期權(quán)價格隱含的標準差來預(yù)測市場波動率。本文是采用第一種方法,通過ARCH/GARCH類模型對匯率波動率的進行研究。近些年來國際上的大的商業(yè)銀行在外匯交易和買賣中充當(dāng)著重要的角色,圖1、圖2給出了香港匯豐銀行1999年到2004年的外匯交易情況:(數(shù)據(jù)來自香港匯豐銀行1999年到2004年的年報)。從圖1可知香港匯豐銀行從2001年到2004年在外匯交易中的收益是逐年增加的,2004年達到最高。從圖2可知,匯豐銀行的外匯交易的收入占總收入的比重都在10%以上。故研究匯率收益率的波動,從而很好的進行外匯風(fēng)險管理,有很好的現(xiàn)實意義,也對我國的匯率改革有重要的借鑒意義。二、模型介紹1.回歸模型的建立1982年Engle開創(chuàng)性的提出自回歸條件異方差模型(Autoregressiveconditionalheteroskedasticmodel,ARCH),ARCH模型原理分析如下:假設(shè)時間序列{yt}服從如下回歸模型:yt=x′tβ+ut(1)ut|Ωt-1~N(0,ht)ht=Var(ut|Ωt-1=α0+α1u2t-12t?1+…+αqu2t-q其中Ωt-1是時間的信息集,包含了ut-1及其以前的信息。為了滿足條件方差是非負,對系數(shù)的要求α0>0,αi≥0(i=1,2,…q),滿足以上條件的模型就是ARCH(q)模型,即{ut}服從具有線性參數(shù)形式的q階自回歸條件異方差模型。而ARCH(q)模型的穩(wěn)定性要求:αi<1(i=1,2,…q)。ARCH(q)模型在金融市場中有很廣泛的應(yīng)用,尤其對波動率的束性的趨勢很好的分析,即大的價格波動一定會緊跟著一系列的較大的價格波動。2.模型假設(shè)的計算1986年Bollerslev在Engle所做工作的基礎(chǔ)上,借助ARMA模型的建模思想,建立了廣義自回歸條件異方差模型(GeneralisedAutoregressiveConditionalHeteroscedasticity,GARCH),GARCH模型分析如下:假設(shè)方程(1)中的{ut}滿足:ut=εt√htut|Ωt-1~Ν(0,ht)ht=Var(ut|Ωt-1)=α0+q∑i=1αiu2t-1+p∑i1=γiht-j其中εt~N(0,1),p≥0,q>0,α0>0,αi≥0,γj≥0,滿足以上條件的模型就是GARCH(p,q)模型,在實際應(yīng)用中,對于一個高階的ARCH模型,可以用一個比較低階的GARCH模型來表示,以減少估計參數(shù),并便于模型的識別和估計。當(dāng)GARCH過程是平穩(wěn)的,即滿足α0＞0,αi≥0,γj≥0,q∑i=1α9+p∑j=1γj＜1:就可以得到ut的無條件方差:Var(ut)=α01-q∑i=1αi-p∑j=1γj另外,可以考慮模型的擾動項是一個自回歸過程,并且有GARCH誤差,則稱之為AR(m)-GARCH(p,q)模型,其分析如下:假設(shè)方程(1)中的{ut}滿足:ut=vt-φ1ut-1-?-φmut-mvt=√htεtht=Var(vt|Ωt-1)=α0+q∑i=1αiv2t-i+p∑i=1γiht-j3.外部沖擊對條件方差Nelson(1991)提出了EGARCH模型,并且在1992年Nelson和Cao討論了GARCH模型中的參數(shù)的非負的限制太嚴格,用EGARCH模型可以放松對αi和γj的限制,可以取負數(shù),這樣EGARCH模型可以很好的彌補GARCH模型的不足:外部沖擊對條件方差的影響只取決于外部的絕對值大小,而與沖擊的符號無關(guān),比如收益的正負對波動率沒有影響。故EGARCH模型來處理正負沖擊反應(yīng)的非對稱性,比較有效,比如EGARCH模型能很好的解釋股票收益的“杠桿效應(yīng)”,EGARCH模型與ARCH模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在方差的結(jié)構(gòu)上,EGARCH(p,q)模型條件方差的形式為:ln(ht)=α0+q∑i=1αig(zt-i)+p∑j=1γjln(ht-j)g(zt)=θzt+γ[|zt|-E|zt|]zt=ut/√ht模型中參數(shù)γ刻畫了過去沖擊不同幅度對當(dāng)前條件方差的影響,參數(shù)θ刻畫了過去沖擊不同符號對當(dāng)前條件方差的影響,如果αiθ<0,那么當(dāng)外部沖擊zt-i為負時,條件方差將趨向于增加,而當(dāng)外部沖擊zt-i為正時,條件方差將趨向于減小,通過這種方式能很好的刻畫了正負沖擊影響的非對稱性。4.風(fēng)險方差影響投資者期望當(dāng)擾動項序列的條件方差的變化直接影響被解釋變量yt的條件期望的時候,以前的模型都不能很好的刻畫,故提出了GARCH-M模型,在金融市場的波動率的分析中的作用也是很大,因為當(dāng)考慮風(fēng)險和收益的關(guān)系時,風(fēng)險(條件方差)越大,其投資者要求風(fēng)險的補償也就越大,即條件方差的變化會影響收益條件期望的變化。GARCH-M模型的描述如下:yt=X′tβ+δ√ht+ut(或yt=X′tβ+δht+ut,或yt=X′tβ+δht+ut)(2)ut=εt√htut|Ωt-1~Ν(0,ht)ht=Var(ut|Ωt-1)=α0+q∑t=1αiu2t-i+p∑i=1γiht-j其中對參數(shù)的要求和穩(wěn)定性條件同GARCH模型的要求一樣。5.持續(xù)記憶原則Engle和Bollerslev(1986)提出了IGARCH模型,即就是GARCH模型中的條件方差不穩(wěn)定時,也就是q∑i=1αi+p∑j=1γj=1(或q∑i=1αi+p∑i=1γj≈1),條件方差受沖擊的影響將持續(xù)下去,從而可以刻畫ht具有“持續(xù)記憶”的特性。這樣分析金融市場的波動率有很重要的現(xiàn)實意義,從而對風(fēng)險進行有效管理。ARCH/GARCH類模型還有:TARCH(Zakonia,1990)、AARCH(Bera,1992)、QARCH(Sentana,1992)、AGARCH(Engle,Ng,1993)、APARCH(Ding,Granger,Engle)、Non-GARCH(Bera,1992)、LGARCH(Greweke,1986)、FIGARCH(Baillie,1996)、FIAPGARCH(Tse,1998)、HYGARCH(Davidson,2002)等,但本文的分析基于SAS(9.0版本),故只對上面常用的五種模型給予了詳細的分析。三、正交分析1.人民幣、人民幣、私家車、加坡元匯率數(shù)據(jù)說明本文主要研究目的是關(guān)心的是ARCH/GARCH類模型對匯率波動率的研究,其分析的案例來自香港匯豐銀行的年報,由于香港匯豐銀行的外匯倉口是美元、人民幣、澳元、新加坡元,而人民幣未采取浮動匯率制,故數(shù)據(jù)是每日美元、澳元、新加坡元3種外幣兌港元的匯率,時間跨度為1999年1月1日到2004年12月31日,除去沒有交易的日子(數(shù)據(jù)來源加拿大銀行網(wǎng)站),共1506個觀測數(shù)據(jù),本文以這些數(shù)據(jù)來擬合模型,并對其結(jié)果進行分析。匯率的對數(shù)之差定義為匯率變化所帶來的收益率:ui=lnpi-lnpi-1,其收益變化與時間的關(guān)系如圖3、圖4、圖5所示。2.arch效應(yīng)檢驗在用ARCH/GARCH類模型對匯率的波動進行預(yù)測時,必須對收益率的數(shù)據(jù)進行檢驗,是否存在ARCH效應(yīng),本文是選用的是Q和LM統(tǒng)計量進行檢驗。通過SAS軟件的檢驗結(jié)果如下表所示:從表中可知:港元對美元、澳元、新加坡元的對數(shù)差分后的數(shù)據(jù)存在ARCH效應(yīng),故可以用ARCH/GARCH類模型給予其波動率進行預(yù)測。3.沒有采用igarch1,1或2.2方法來擬合本文通過SAS軟件用ARCH、GARCH、EGARCH、GARCH—M、IGARCH模型分別對三種匯率的對數(shù)差分后的數(shù)據(jù)進行擬合。(1)港元對美元的匯率的對數(shù)差分后的數(shù)據(jù)進行擬合,用SAS軟件用GARCH(1,1)擬合的結(jié)果如下表4所示:從表4可知q∑i=1αi+p∑j=1γj=0.5542+0.5658＞1,故不滿足GARCH模型的條件,故只能用IGARCH(1,1)去擬合,其結(jié)果如表5所示,從表5可以知道用IGARCH(1,1)對其數(shù)據(jù)擬合效果的較好。(2)港元對澳元的匯率的對數(shù)差分后的數(shù)據(jù)進行擬合,用SAS軟件用GARCH(1,1)、EGACH(1,1)、GARCH-M擬合的結(jié)果如表6、表7、表8所示:從表6、表7、表8可知,GARCH(1,1)對數(shù)據(jù)的擬合較好。(3)港元對新加坡元的匯率的對數(shù)差分后的數(shù)據(jù)進行擬合,用SAS軟件用GARCH(1,1)、EGACH(1,1)、GARCH-M擬合的結(jié)果如下表9、表10、表11所示:從表10、表11、表12、表13可知,GARCH(1,1)對數(shù)據(jù)的擬合較好。4.香港聯(lián)系匯率的三對于港元對美元的匯率對數(shù)差分的擬合最好的模型是IGARCH(1,1),說明港元對美元的匯率波動不大,這與香港的匯率政策有關(guān),即香港聯(lián)系匯率制度。對于港元對澳元、港元對新加坡元的匯率對數(shù)差分的擬合最好的模型是GARCH(1,1),從而得到港元對澳元的日波動率為σ:σ=√α01-α1-γ1=√1.1736×10-61-0.0341-0.9431=0.717%港元對新加坡元