教材回扣·夯實(shí)“四基”基礎(chǔ)知識1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?_____________________________結(jié)論a∥αa∥αa∥ba?α，b?α且a∥b

【微點(diǎn)撥】輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵．為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線(面)．2．面面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?____________________________________________________________α∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α

【微點(diǎn)撥】判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循“先找后作”的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．[常用結(jié)論]1．平面與平面平行的三個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等．(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．2．判斷兩個(gè)平面平行的三個(gè)結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行．(3)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．基本技能、思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)題組一思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)1.若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(

)2．若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)3．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(

)4．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)×××√題組二教材改編5．(多選)下列命題中錯(cuò)誤的是(

)A．如果直線a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B.如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C.如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD.如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α答案：ABC

6．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，過MN作一平面分別交底面三角形ABC的邊BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列說法正確的是(

)A．MF∥NEB．四邊形MNEF為梯形C．四邊形MNEF為平行四邊形D．A1B1∥NE答案：B解析：∵在?AA1B1B中，AM＝MA1，BN＝NB1，∴AM＝BN，又AM∥BN，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB.在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠M(fèi)N，∴四邊形MNEF為梯形．故選B.7．已知直線a，b，平面α，β，a?α，b?α，則a∥β，b∥β是α∥β的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件答案：B解析：因?yàn)橹本€a，b，平面α，β，a?α，b?α，由a∥β，b∥β，得α，β平行或相交；由α∥β，得a∥β，b∥β，所以a∥β，b∥β是α∥β的必要不充分條件．故選B.8．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是________(填上所有正確的序號)．②④解析：在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．題型突破·提高“四能”題型一空間中平行關(guān)系的判定

[例1]

(1)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案：(1)D解析：(1)A項(xiàng)，由“a∥α，a∥β”可得α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；同理B，C項(xiàng)中，α與β可能相交或平行，故B、C錯(cuò)誤．故選D.(2)(多選)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是(

)答案：BCD解析：(2)A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.因?yàn)镼D∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故選BCD.類題通法直線、平面平行的判定方法[鞏固訓(xùn)練1]

(1)已知a，b，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是(

)A．若a∥b，b?α，則a∥αB．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．若α∥β，a∥α，則a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，則b∥c答案：(1)D解析：(1)若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故A不正確；若a?α，b?β，a∥b，則α∥β或α與β相交，故B不正確；若α∥β，a∥α，則a∥β或a?β，故C不正確；如圖，由a∥b可得b∥α，易證b∥c，故D正確．(2)①若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a與α的位置關(guān)系是___________．②已知直線a，b和平面α，β，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β的位置關(guān)系是___________．a(chǎn)∥α或a?α平行或相交解析：(2)①由直線與平面平行的定義和判定定理知，a可能平行于α也可能在α內(nèi)．②當(dāng)a，b相交時(shí)，α∥β；當(dāng)a，b平行時(shí)，α，β平行或相交．

題型二線面平行的判定與性質(zhì)角度1直線與平面平行的判定[例2]

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB＝2CE＝4，點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn)．

證明：AF∥平面BCE.

(方法2)如圖，在平面ABCD內(nèi)，分別延長CB，DA，交于點(diǎn)N，連接EN.因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，所以A為DN的中點(diǎn)．又F為DE的中點(diǎn)，所以AF∥EN.因?yàn)镋N?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE.

類題通法證明線面平行的兩種常用方法

角度2直線與平面平行的性質(zhì)[例3]

[2022·湖北武漢模擬]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在線段CD1上，CE＝2ED1，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.求λ的值．

類題通法應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．[鞏固訓(xùn)練3]

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC＝120°，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.求證：EF∥CD.證明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD.又∵A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD.題型三面面平行的判定與性質(zhì)

[例4]

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；

(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．證明：(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．類題通法證明面面平行的三種常用方法[鞏固訓(xùn)練4]

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；