第五節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法二、全微分形式不變性一、多元復(fù)合函數(shù)微分法三、隱函數(shù)微分法四、小結(jié)思考題一、多元復(fù)合函數(shù)微分法【證】1.【中間變量均為一元函數(shù)】上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù).上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：2.【中間變量均為多元函數(shù)】鏈?zhǔn)綀D如右所示兩者的區(qū)別區(qū)別類(lèi)似函數(shù)復(fù)合后求偏導(dǎo)外層函數(shù)求偏導(dǎo)即其中3.【中間變量既有一元又有多元函數(shù)的情形】【定理3】變量關(guān)系為：4.【多個(gè)中間變量且中間變量既有一元又有多元函數(shù)的情形】【解】自畫(huà)鏈?zhǔn)綀D【練習(xí)】【解

】【分析】鏈?zhǔn)綀D法自己做，下面介紹觀察法【解】自畫(huà)鏈?zhǔn)綀D【練習(xí)】【解】【提示】由于含抽象函數(shù),一般要先設(shè)中間變量.【注意】用觀察法可一步寫(xiě)出結(jié)果.【解】令記同理有【分析】求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，一般要先設(shè)中間變量.于是【練習(xí)】【解】二、全微分形式不變性【例如】(2)利用全微分形式不變性及全微分的四則運(yùn)算公式，求函數(shù)的全微分會(huì)更簡(jiǎn)便些.(1)利用全微分形式不變性，比較容易地得出全微分的四則運(yùn)算公式，２.【全微分形式不變性的簡(jiǎn)單應(yīng)用】１.【全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)】

無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.【解】【注意】此為隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(§5)三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導(dǎo)公式公式推導(dǎo)如下（定理中存在性的證明略）由于則代入得兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)【證完】【解】令則【方法】(1)公式法；(2)推導(dǎo)法(直接法：兩邊對(duì)x求導(dǎo))（推導(dǎo)法略）【說(shuō)明】(1)公式法：求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)各自變量地位等同(2)推導(dǎo)法（直接法）：兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求偏導(dǎo)，注意此時(shí)

y是函數(shù)，x

是自變量,此時(shí)切記y=y(x).遇到y(tǒng)

要先對(duì)y求導(dǎo)，再乘以y對(duì)x

的導(dǎo)數(shù).即對(duì)x

求偏導(dǎo)，y

要視為常數(shù).反之亦然.最后解出即可.【解】令則公式推導(dǎo)如下兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)得于是【證完】【解】令則【方法】(1)公式法；(2)推導(dǎo)法(直接法)（推導(dǎo)法略）【思路】【解Ⅰ】令則自畫(huà)鏈?zhǔn)綀D整理得整理得整理得【解Ⅱ】令則【說(shuō)明】(1)公式法：求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)各自變量地位等同.即對(duì)x求偏導(dǎo)，y、z

要視為常數(shù).反之亦然.(2)推導(dǎo)法（直接法）：兩邊同時(shí)對(duì)自變量x(或

y)求偏導(dǎo)，注意此時(shí)z

是函數(shù)，x(或y)是自變量，將y(或

x)

看作常數(shù),此時(shí)切記z=z(x,y).最后解出

(或)即可.1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）3、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實(shí)質(zhì)）三、小結(jié)