§1引言第6章解線性代數(shù)方程組的迭代法考慮線性方程組也就是AX=b.(1.1)低階稠密的線性方程組用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。大型稀疏非帶狀的線性方程組(n很大,且零元素很多.如偏微方程數(shù)值解產(chǎn)生的線性方程組,n≥104)的求解問題？零元素多，適合用迭代法。我們將介紹迭代法的一般理論及雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法、超松弛迭代法，研究它們的收斂性。例1求解線性方程組記為Ax=b,即精確解x*=(3,2,1)T.改寫(1.2)為或?qū)憺閤=B0x+f,即任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1)=(2.5,3,3)T.反復(fù)迭代即x(k+1)=B0x(k)+f，(k=0,1,2,…)證明由第5章定理18，對一切k有

ρ(B)=[ρ(Bk)]1/k≦‖Bk‖1/k.另一方面對任意ε>0,記

Bε=[ρ(B)+ε]-1B,顯然由ρ(Bε)<1.由定理3有所以存在正整數(shù)N=N(ε),使K>N時(shí)，即k>N時(shí)有由ε任意性即得定理結(jié)論證明充分性.設(shè)ρ(B)<1，易知Ax=f（其中A=I-B）有唯一解，記為x*,則x*=Bx*+f,誤差向量ε(k)=x(k)-x*=Bkε(0),ε(0)=x(0)-x*.由設(shè)ρ(B)<1，應(yīng)用定理3，有于是對于任意x(0)

有必要性.設(shè)對任意x(0)

有其中x(k+1)=Bx(k)+f.顯然，極限x*是線性方程組（1.7）的解，且對任意x(0)有ε(k)=x(k)-x*=Bkε(0)

→0（k→∞）.由定理2知再由定理3，即得ρ(B)<1.例3,考察線性方程組給出的迭代法的收斂性。解先求迭代矩陣B0的特征值。由特征方程例4，考察用迭代法解線性方程組的收斂性，其中解特征方程為這說明用迭代法解此方程組不收斂。迭代法的基本定理是在理論上是重要的，由于ρ(B)<‖B‖，下面利用矩陣B的范數(shù)建立判別迭代法收斂的充分條件定理6（迭代法收斂的充分條件）設(shè)有線性方程組

x=Bx+f,B∈Rn×n,及一階定常迭代法

x(k+1)=Bx(k)+f.如果有B的某種算子范數(shù)‖B‖=q<1,則證明（1）由基本定理知，結(jié)論（1）是顯然的。（2）顯然由關(guān)系式x*-x(k+1)=B(x*-x(k))及

x(k+1)-x(k)=B(x(k)-x(k-1)).

于是有①‖x(k+1)-x(k)‖≤q‖x(k)-x(k-1)‖;②‖x*-x(k+1)‖≤q‖x*-x(k)‖.反復(fù)利用②可得（2）.（3）考查‖x(k+1)-x(k)‖≤‖x*-x(k)-（x*-x(k+1))‖≥‖x*-x(k)‖-‖x*-x(k+1)‖≥(1-q)‖x*-x(k)‖,即有（4）反復(fù)利用①，則可得到（4）注意定理6只給出迭代法收斂的一個(gè)充分條件，即使條件||B||<1對任何常用范數(shù)均不成立，迭代序列仍肯收斂。因?yàn)?，故，由兩邊取對?shù)得即它表明迭代次數(shù)k與成反比。（1.12）可用作為迭代法（1.11）式所需的迭代次數(shù)的估計(jì)。例如在例1中迭代矩陣B的譜半。若要求，則由（1.13）式知于是有即k=12即可達(dá)到要求?！?基本迭代法考慮線性方程組也就是Ax=b.(2.1)進(jìn)行矩陣分裂A=M-N,(2.2)其中M為可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b?x=M-1Nx+M-1b.可得一階定常迭代法:一、雅可比迭代法可以得到計(jì)算公式(雅可比迭代法)：對k=0,1,…,例

用雅可比迭代法解下列方程組解將方程組寫成等價(jià)形式取初始值x(0)=0,按迭代公式表3―1二、高斯—塞德爾迭代法還可得到迭代計(jì)算公式：對k=0,1,…,稱為高斯—塞德爾迭代法.例2用高斯-賽德爾迭代法求解線性方程組取初值x(0)=(0,0,0)T,用高斯-賽德爾迭代法有高斯—塞德爾迭代法又等價(jià)于：對k=0,1,…,SOR迭代法的計(jì)算公式:對k=0,1,…,三、逐次超松馳(SOR)迭代法說明:1)ω=1,GS;2)運(yùn)算量主要是計(jì)算一次矩陣與向量的乘法;3)ω>1超松馳,ω<1低松馳;

4)控制迭代終止的條件:例3用上述迭代法解線性代數(shù)方程組解取x(0)=0,迭代公式為1.0221.1171.2121.311（最少迭代次數(shù)）1.4141.5171.6231.7331.8531.9109表6-1計(jì)算數(shù)據(jù)1)Jacobi:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)Gauss-Seidel:BG=(D-L)-1U，fG==(D-L)-1b;3)SOR:BSOR=(D-wL)-1{(1-w)D+wU}，fSOR=w(D-wL)-1b.迭代的統(tǒng)一格式：x(k+1)=Bx(k)+f例5考察用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解下列線性方程組的斂散性？定義3

（1）按行嚴(yán)格對角占優(yōu)：（2）按行弱對角占優(yōu)：上式至少有一個(gè)不等號嚴(yán)格成立。二、某些特殊方程組的迭代收斂性定理6(對角占優(yōu)定理)若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)且不可約；則矩陣A非奇異。定理7若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對角占優(yōu),或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。證明若矩陣A按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約，則GS迭代收斂。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩陣BG的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且類似地，若矩陣A按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約，則Jacobi迭代收斂。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩陣BJ的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且例證明：只要證時(shí)A正定，由A的順序主子式得，而

得，于是得到時(shí)，故A正定，故高斯-塞德爾迭代法收斂。對雅可比迭代矩陣有當(dāng)即時(shí)雅可比迭代矩陣收斂。

例如當(dāng)高斯-塞德爾法收斂，而雅可比法不收斂，此