2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：選擇性必修第一冊第一章1.1～1.3、第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知數(shù)列的一個通項公式為，且，則實數(shù)等于（

）A．1 B．3 C． D．2．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．4．直線，若，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．3 C．0或 D．0或35．在等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．26．已知直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．8．若圓上存在點，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的公比可能是（

）A．1 B． C．3 D．10．下列各直線中，與直線平行的是（

）A． B．C． D．11．下列關(guān)于直線與圓的說法正確的是（

）A．若直線與圓相切，則為定值B．若，則直線被圓截得的弦長為定值C．若，則圓上僅有兩個點到直線的距離相等D．當(dāng)時，直線與圓相交12．已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．C． D．若，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線l經(jīng)過點．直線l的傾斜角是．14．已知等比數(shù)列的前項和為，則．15．已知圓與圓只有一條公切線，則.16．已知數(shù)列中，，若對任意，則數(shù)列的前項和．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知直線經(jīng)過點．(1)求直線的一般式方程；(2)若直線與直線垂直，且在軸上的截距為2，求直線的方程．18．已知等差數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最小值及取得最小值時的值．19．已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.20．已知等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和．21．直線，圓.(1)證明：直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線被圓截得的弦最短時，求此時的方程；(3)設(shè)直線與圓交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線方程.22．已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.1．B【分析】結(jié)合通項公式，利用列方程求解即可.【詳解】因為，，所以，解得．故選：B.2．C【分析】根據(jù)直線斜率可得其方向向量.【詳解】直線的斜率，直線的一個方向向量為.故選：C.3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B4．C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，，所以，即，解得或.故選：C.5．C【分析】先求出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而可得答案.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因為，所以由，因此．故選：C.6．A【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】曲線表示圓在x軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時，，解得，當(dāng)點在直線上時，，可得,所以實數(shù)取值范圍為.故選：A7．D【分析】利用遞推關(guān)系找到通項即可.【詳解】，以此類推，．故選：D8．A【分析】易得出圓關(guān)于直線對稱的圓為，將問題轉(zhuǎn)化為與有交點即可求解.【詳解】由題知，如圖所示：

因為圓的圓心為，所以關(guān)于直線對稱的點為，所以圓關(guān)于直線對稱的圓為，若要圓上存在點，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，其中圓的圓心為，半徑為2，則只需與有交點即可，又所以在外，根據(jù)兩圓有交點，則兩圓心的距離大于半徑等于之差的絕對值，小于等于半徑之和.可得：，兩圓分別內(nèi)切與外切的時候取等號，解得：.故選：A.9．AB【分析】討論與兩種情況，求得或即可．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則，滿足題意；若，由，得，解得，綜上，或．故選：AB.10．ABC【分析】根據(jù)直線平行的充要條件一一判定即可.【詳解】兩直線，其平行的充要條件為且或，對于A項，易知且，即A正確；對于B項，易得，有且，即B正確；對于C項，易知且，即C正確；對于D項，易知，D項不符合.故選：ABC11．ABD【分析】計算圓心到直線的距離，利用幾何法可判斷AC選項的正誤，求出弦長可判斷B選項的正誤；根據(jù)直線過圓內(nèi)定點判斷D．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，對于A選項，若與圓相切，則，可得，A正確；對于B選項，若，圓心到直線的距離為，此時直線被圓截得的弦長為，B正確；對于C選項，因為，圓心到直線的距離為，此時圓上有3個點到直線的距離相等，C錯誤；對于D選項，當(dāng)時，直線的方程為，即直線過定點，又因為，可得點在圓內(nèi)，故直線與圓相交，D正確．故選：ABD．12．ABD【分析】由可得，可求出通項公式，從而可判斷AB；錯位相減法求出，從而可判斷CD.【詳解】由，得，即，所以是等差數(shù)列，公差為，首項為，A正確；所以，則，B正確；數(shù)列的前項和為：，①，②由①減②可得，即，C錯誤；由，得，因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的值最?。?，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，D正確．故選：ABD.13．##【分析】根據(jù)兩點確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.【詳解】因為過兩點的直線的斜率為：，因為，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.14．12【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，而，于是，所以．法二：因為為等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，即.故答案為：1215．16【分析】首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可知兩圓相內(nèi)切，即可得到，從而得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為圓與圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，所以.故答案為：16．【分析】由，可得，利用等比數(shù)列的通項與求和公式，結(jié)合累加法可得答案.【詳解】由，且，可知，則可化為，則有，即是等比數(shù)列，且公比為2，首項為，則，所以，即數(shù)列的前項和為．故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）兩點求斜率，再應(yīng)用點斜式寫出直線方程；（2）由直線垂直確定斜率，應(yīng)用斜截式寫出直線方程.【詳解】（1）∵直線的斜率為，∴直線的方程為，∴直線的一般式方程為．（2）∵直線與直線垂直，由（1）知：直線的斜率為2，∴直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，且，即，∴直線的方程為，即．18．(1)(2)當(dāng)時，最小，最小值為．【分析】（1）列方程求出，即可求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的最小值及取得最小值時的值．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以．（2）由（1）知，又，所以當(dāng)時，取最小，最小值為．19．(1)(2)【分析】（1）先求的垂直平分線方程，聯(lián)立直線的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)關(guān)于的對稱點為，結(jié)合反射光線原理可得其對稱點坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的兩點式方程即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題知中點為，，所以的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)關(guān)于的對稱點為，則直線與垂直，且的中點在直線上，則，解得，由題意知反射光線過圓心，故，即.

20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項求出公差即可；（2）根據(jù)裂項相消法求和即可.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，又因為成等比數(shù)列，即，即，解得，所以；（2），所以.21．(1)證明見解析，(2)(3)【分析】（1）將直線化為，令即可求解；（2）當(dāng)與垂直時，直線被圓截得的弦最短，根據(jù)即可求解；（3）方法1（幾何法）：當(dāng)時，有最大值，此時面積有最大值；方法2：根據(jù)垂徑定理與點到直線的距離公式將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于點到直線的距離的方程，利用二次函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】（1）證明：由題意知可化為，故解得直線恒過定點.（2）因為所以圓的圓心為，半徑，如圖所示：

，當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，與垂直，，，即.（3）方法1（幾何法），且為鈍角，當(dāng)時有最大值，即面積有最大值，此時同（2），即.方法2設(shè)圓心到直線的距離為，則，，當(dāng)時有最大值，此時同（2），或