第五章四邊形第一節(jié)多邊形與平行四邊形【課標(biāo)要求】☆了解多邊形的定義及相關(guān)概念；探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式．☆了解正多邊形的概念．☆理解平行四邊形的概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性．☆探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及判定定理．【教材對(duì)接】人教：八上第十一章P19～26，八下第十八章P41～51；冀教：八下第二十二章P116～129，P150～154；北師：八下第六章P134～149，P153～157.多邊形1．多邊形及其性質(zhì)n邊形(n≥3)定義平面上，由不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形，叫做多邊形性質(zhì)(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)×180°(內(nèi)角和定理)；(2)n邊形的外角和等于360°(外角和定理)；(3)過n(n＞3)邊形一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－3)條對(duì)角線，n邊形共有eq\f(n（n－3）,2)條對(duì)角線2.正多邊形及其性質(zhì)正n邊形(n≥3)定義在平面內(nèi)，各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形性質(zhì)(1)各邊相等，各內(nèi)角相等；(2)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是eq\f(（n－2）×180°,n)，每個(gè)外角的度數(shù)都是eq\f(360°,n)；(3)對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；(4)正n邊形有n條對(duì)稱軸；(5)正n邊形有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，為同心圓【方法點(diǎn)撥】多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而增加，而外角和是定值(360°)，不會(huì)隨邊數(shù)的變化而變化．已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)時(shí)，可以利用內(nèi)角和公式列方程求解．若已知一個(gè)多邊形的各個(gè)內(nèi)角均相等，且知道其中一個(gè)內(nèi)角，求邊數(shù)時(shí)，常由其一個(gè)內(nèi)角度數(shù)求出一個(gè)外角的度數(shù)，再用360°除以這個(gè)外角的度數(shù)．【基礎(chǔ)練1】(1)(2021·唐山路南區(qū)二模)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)圖形是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)(2021·連云港中考)正五邊形的內(nèi)角和是(B)A．360°B．540°C．720°D．900°(3)(2021·陜西中考)正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為140°．3．平面圖形的鑲嵌：用一種或幾種形狀、大小不同的平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間既無空隙、也不重疊地鋪成一片，叫做平面圖形的鑲嵌，也叫做平面圖形的密鋪．(1)多邊形中，任意一些形狀、大小相同的三角形和四邊形可分別鑲嵌平面．(2)正多邊形中，任意一些邊長相同的正三角形、正四邊形和正六邊形可分別鑲嵌平面．(3)多種多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，只需保證以某個(gè)頂點(diǎn)為中心的各個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于360°即可．【方法點(diǎn)撥】要使單一的正多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌，只需使eq\f(360,\f(（n－2）·180,n))的結(jié)果為整數(shù)即可，即eq\f(2n,n－2)的結(jié)果為整數(shù)．【基礎(chǔ)練2】一幅圖案在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長相等的正多邊形鑲嵌而成．其中的兩個(gè)正多邊形分別是正六邊形和正十二邊形，則第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是4．平行四邊形及其性質(zhì)與判定4．平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，如圖①所示的?ABCD.5．平行四邊形的性質(zhì)文字描述字母表示(參考圖①)(1)對(duì)邊平行且相等AB綊CD，AD綊BC(2)對(duì)角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC續(xù)表文字描述字母表示(參考圖①)(3)鄰角互補(bǔ)∠DAB＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠CDA＋∠DAB＝180°(4)對(duì)角線互相平分OA＝OC，OB＝OD(5)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(O)(6)面積＝底×高【溫馨提示】(1)每條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；(2)兩條對(duì)角線將平行四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形；(3)任意一條經(jīng)過對(duì)角線交點(diǎn)的直線均平分平行四邊形的面積．【基礎(chǔ)練3】(2021·南充中考)如圖，點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).下列結(jié)論成立的是(A)A.OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF6．平行四邊形的判定文字描述字母表示(參考圖①)(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)eq\a\vs4\al(四邊形ABCD是平行四邊形)(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形eq\a\vs4\al(四邊形ABCD是平行四邊形)(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形eq\a\vs4\al(四邊形ABCD是平行四邊形)(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形(5)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形eq\a\vs4\al(四邊形ABCD是平行四邊形)【基礎(chǔ)練4】不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(A)A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D【方法點(diǎn)撥】(1)平行四邊形中輔助線的作法：①連接對(duì)角線或平移對(duì)角線，構(gòu)造相等線段或平行線．②截取等長線段，構(gòu)造等腰三角形．③過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，構(gòu)造直角三角形(如圖1)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))④連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造中位線或平行線(如圖2)．⑤連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)或延長頂點(diǎn)與鄰邊上一點(diǎn)的連線，構(gòu)造相似三角形．⑥過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)造平行線或全等三角形或平行四邊形．(2)平行四邊形中的四個(gè)面積關(guān)系：eq\a\vs4\al(多邊形的概念及計(jì)算)【例1】用若干個(gè)全等的正方形和正三角形按如圖所示的方式進(jìn)行拼接，圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則該正多邊形的內(nèi)角和為720°．【解題思路】根據(jù)題意可求得圍成一圈后中間正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為360°－90°－60°－90°＝120°.再利用多邊形內(nèi)角和公式或外角和可求得該多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而可求得該正多邊形的內(nèi)角和．1．(2021·衡陽中考)下列命題是真命題的是(B)A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和B．正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120°C．有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形2．(2021·唐山路南區(qū)三模)如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，分別以其對(duì)角線AD，CE為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差a－b的值為(C)A.0B．2C．1D．eq\r(3)3．(2021·麗水中考)一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是6或7.eq\a\vs4\al(平行四邊形的性質(zhì)與判定)【例2】如圖，四邊形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形BDFC是平行四邊形；(2)若BD＝BC，求四邊形BDFC的面積．【解題思路】(1)證明△BEC≌△FED(AAS)，可得BE＝FE或BC＝DF，即可得出結(jié)論；(2)由全等三角形的性質(zhì)得出DF＝BC＝13，由勾股定理求出AB的長，由平行四邊形的面積公式即可得出答案．【解答】(1)證明：∵BC∥AF，∴∠CBE＝∠DFE.∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE.又∵∠BEC＝∠FED，∴△BEC≌△FED(AAS).∴BE＝FE.∴四邊形BDFC是平行四邊形；(2)解：由(1)知，△BEC≌△FED.∴DF＝BC＝13.∵BC∥AF，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∵BD＝BC＝13，AD＝5，∴AB＝eq\r(BD2－AD2)＝eq\r(132－52)＝12.∴S四邊形BDFC＝DF·AB＝13×12＝156.【方法點(diǎn)撥】判定平行四邊形的基本思路(1)若已知一組對(duì)邊平行，可以證明這一組對(duì)邊相等，或另一組對(duì)邊平行；(2)若已知一組對(duì)邊相等，可以證明這一組對(duì)邊平行，或另一組對(duì)邊相等；(3)若已知條件與對(duì)角線相關(guān)，可考慮證明對(duì)角線互相平分；(4)若已知一組對(duì)角相等，可以證明另一組對(duì)角相等．4．(2021·唐山豐潤區(qū)一模)如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)為(D)A．40°B．50°C．60°D．70°5．(2021·湘西州中考)如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD，若CD∥BE，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是40°．不能靈活、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定【例】如圖，已知四邊形ABCD和四邊形ADEF均為平行四邊形，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，AF交CD于點(diǎn)O，若BC＝10，AO＝FO，則CE的長為()A.5B．10C．15D．20【錯(cuò)解分析】本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝EF，再利用三角形中位線得出CF＝FE即可．因?qū)ζ叫兴倪呅蔚男再|(zhì)不熟練而無法解得CE的長．【正確解答】D1．在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AD∥BC，給出下列條件：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠DAB＝∠DCB；④AD＝BC；⑤∠OAD＝∠ODA.從中選1個(gè)作為條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有(B)A．2種B．3種C．4種D．5種2．(2021·天津中考)如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(C)A.(－4，1)B．(4，－2)C．(4，1)D．(2，1)多邊形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(5年5考)1．(2019·河北中考)下列圖形為正多邊形的是(D)2．(2021·河北中考)如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊形ABCDEF的值是(B)A.20B．30C．40D．隨點(diǎn)O位置而變化3．(2020·河北中考)正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是正n邊形一個(gè)外角的4倍，則n＝12．平行四邊形的判定及性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(5年3考)4．(2020·河北中考)如圖，將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的△CDA與△ABC構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：小明