邊界條件帶特征參數(shù)的dirac問題漸近跡公式

0從質(zhì)量標準角度的跡眾所周知，n級矩陣的軌跡是其特征值的總和，對應于矩陣主對角線的元素矩陣。微分算子是無界算子,其特征值的個數(shù)是不確定的,當特征值有無數(shù)多時,∞∑n=1λn∑n=1∞λn不一定收斂,若能找出αn,使∞∑n=1(λn-αn)∑n=1∞(λn?αn)收斂,則稱它為微分算子的正則跡,簡稱跡。跡對于研究微分算子的結(jié)構(gòu)、反問題都有重要應用。Dirac方程是量子力學中的基本方程之一,它的形式之一如下Bdydx+Q(x)y=λyBdydx+Q(x)y=λy其中B=(01-10),Q(X)=(-p(x)00-r(x)),Y=(y1y2),p(x),r(x)B=(0?110),Q(X)=(?p(x)00?r(x)),Y=(y1y2),p(x),r(x)為[0,π]上的實值連續(xù)函數(shù)。它的邊值問題構(gòu)成Dirac特征值問題,對于自伴邊條件下的特征值問題已在文獻中進行了詳盡的討論,文獻獲得了非自伴線性邊條件下的特征值的跡公式。本文采用留數(shù)方法獲得了下述問題的跡公式其中a≠0為實數(shù)。這個問題的特點是邊界條件中帶有特征參數(shù),是一個新問題。1特征值集合為求問題(Ⅰ)的解,首先考慮Cauchy問題:引理1(II)的解φ(x,λ)對λ的漸近式為φ1(x)=cos(η(x))+1λΚ1(x,λ)+1λ2Κ2(x,λ)+Ο(e|τ|xλ3)φ1(x)=cos(η(x))+1λK1(x,λ)+1λ2K2(x,λ)+O(e|τ|xλ3)φ2(x)=sin(η(x))+1λΤ1(x,λ)+1λ2Τ2(x,λ)+Ο(e|τ|xλ3)φ2(x)=sin(η(x))+1λT1(x,λ)+1λ2T2(x,λ)+O(e|τ|xλ3)其中η(x)=12∫x0A(s)ds+λx,A(s)=-[p(s)+r(s)],B(s)=-[p(s)-r(s)]Κ1(x,λ)=14cos(η(x))B(0)-14cos(η(x))B(x)+18sin(η(x))∫x0B2(s)dsΚ2(x,λ)=18sin(η(x))B′(x)+18sin(η(x))B′(0)+18cos(η(x))A(x)B(x)-18cos(η(x))A(0)B(0)+116cos(η(x))B2(0)-116cos(η(x))B(0)B(x)+116cos(η(x))∫x0B′(s)B(s)ds-116sin(η(x))∫x0A(s)B2(s)ds+132sin(η(x))∫x0B2(s)dsB(0)-132sin(η(x))B(x)-1128(∫x0B2(s)ds)2cos(η(x))Τ1(x,λ)=14sin(η(x))B(0)+14sin(η(x))B(x)-18cos(η(x))∫x0B2(s)ds,Τ2(x,λ)=18cos(η(x))B′(x)-18cos(η(x))B′(0)-18sin(η(x))A(x)B(x)-18sin(η(x))A(0)B(0)+116sin(η(x))B2(0)+116sin(η(x))B(0)B(x)+116sin(η(x))∫x0B′(s)B(s)ds+116cos(η(x))∫x0A(s)B2(s)ds-132cos(η(x))∫x0B2(s)dsB(0)-132cos(η(x))B(x)-1128(∫x0B2(s)ds)2sin(η(x))命題1設ω(λ)=aφ1(π,λ)+λφ2(π,λ),則(I)的特征值集合與ω(λ)的零點集合重合。計算可得ω(λ)的漸近式ω(λ)=λsin(η(π))+(a-18∫π0B2(s)ds)cos(η(π))+14sin(η(π))(B(0)+B(π))+Ο(e|τ|πλ)為簡化計算,令12∫π0A(s)ds=m0(π),且|m0|≤Ν,則η(π)=(λ+m0)π。取ω0(λ)=λsin(η(π))=λsin(λ+m0)π,則ω(λ)ω0(λ)=1+(a-18∫π0B2(s)ds)cot(η(π))λ+14λ(B(0)+B(π))+Ο(e|τ|πλ2sin(η(π)))下面根據(jù)m0的不同取值來討論問題(I)的跡公式:①m0∈Z時,ω0(λ)=±λsinλπ的零點為λn=n(n=0,±1,±2,…)。實際計算可以獲得以下引理:引理2記λ=σ+iτ,取回路CN由σ=-Ν-12?σ=Ν+12?τ=-Ν-12?τ=Ν+12(Ν=0?1?2??)圍成,在CN上,cotλπ,e|τ|πsinλπ均有界。由Roucher定理可得以下命題:命題2當N充分大時,ω(λ)與ω0(λ)在CN內(nèi)有相同個數(shù)的零點。定理1當m0∈Z時,對于問題(Ⅰ),設p(x),r(x)∈C(2)[0,π],則有如下跡公式Ν∑-Ν[λn-n]=-B(0)+B(π)4+Ο(1Ν)證明由引理2得ω(λ)ω0(λ)=1+(a-18∫π0B2(s)ds)cotλτλ+14λ(B(0)+B(π))+Ο(1λ2)從而有l(wèi)nω(λ)ω0(λ)=(a-18∫π0B2(s)ds)cotλπλ+14λ(B(0)+B(π))+Ο(1λ2)由命題2知,當N充分大時,lnω(λ)ω0(λ)沿CN為單值解析函數(shù),對下面的恒等式沿CN作回路積分,并除以2πiλ[ω′(λ)ω(λ)-ω′0(λ)ω0(λ)]=-lnω(λ)ω0(λ)+ddλ[λlnω(λ)ω0(λ)]右邊第二項的積分因單值性消失,由對數(shù)積分公式可得Ν∑-Ν[λn-n]=-12πi∮CΝlnω(λ)ω0(λ)dλ通過留數(shù)計算得:(1)12πi∮CΝ14λ(B(0)+B(π))dλ=B(0)+B(π)4(2)12πi∮CΝcotλπλdλ=0所以,Ν∑-Ν[λn-n]=-B(0)+B(π)4+Ο(1Ν)。②m0?Z時,ω0(λ)=λsin(λ+m0)π的零點為σ′0=0,σn=n-m0(n=0,±1,±2,…)。引理2′記λ=σ+iτ,取回路CN由σ=-Ν-m0-12,σ=Ν-m0+12,τ=-Ν-m0+12,τ=Ν-m0-12(Ν=0,1,2,?)圍成,在CN上,cot(λ+m0)π,e|τ|πsin(λ+m0)π均有界。命題2′當N充分大時,ω(λ)與ω0(λ)在CN內(nèi)有相同個數(shù)的零點。記ω(λ)在CN內(nèi)的零點為λ′0,λn(n=0,±1,±2,…)。定理1′當