1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時(shí)用空間向量研究距離問題A級基礎(chǔ)鞏固1.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則平面α外一點(diǎn)P(-2,1,4)到α的距離為()A.10B.3C.83 D.解析:由題意,知PA=(1,2,-4).因?yàn)槠矫姒恋囊粋€(gè)法向量為n=(-2,-2,1),所以點(diǎn)P到α的距離為(1,2,-4答案:D2.如圖,這個(gè)立體圖形是由正四棱錐P-ABCD和正方體ABCD-A1B1C1D1組成的,其中AB=2,PA=6,則點(diǎn)B1到平面PAD的距離為()A.6B.355C.65解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面PAD的法向量是n=(x,y,z).由題意,知B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),所以AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),所以AD所以2y=0,x+y+2z=0所以n=(-2,0,1)是平面PAD的一個(gè)法向量.因?yàn)锽1A=(所以點(diǎn)B1到平面PAD的距離d=|B1A答案:C3.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1C1D的距離d是()A.36 B.C.233解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,連接BD1,BD,BD交AC于點(diǎn)E,則B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E12因?yàn)镈D1⊥AC,AC⊥BD,所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.同理可證BD1⊥AB1.因?yàn)锳C∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C因?yàn)槠矫鍭B1C∥平面A1C1D,所以點(diǎn)D到平面AB1C的距離即為兩平面之間的距離.因?yàn)镈E=12,12,0,B所以d=|DE12×(-故選B.答案:B4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分別是AB,CC1的中點(diǎn),則點(diǎn)D1到直線GF的距離為423解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),所以GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以GF·GD1|GF|=2-13=33,|GD5.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點(diǎn),則直線MN到平面ACD1的距離為32解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則平面ACD1的一個(gè)法向量為(1,1,1),由題意,知M1,1,所以AM=0,所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為d=0,1,易知MN∥AD1,又因?yàn)镸N?平面ACD1,AD1?平面ACD1,所以MN∥平面ACD1,所以MN到平面ACD1的距離為326.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn)(1)求異面直線AB與MD夾角的大小;(2)求點(diǎn)B到平面OCD的距離.解:如圖,作AP⊥CD于點(diǎn)P,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AP,AO所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P0,22,0,D-2(1)設(shè)異面直線AB與MD的夾角為θ,因?yàn)锳B=(1,0,0),MD=-2所以cosθ=|AB·MD||AB|·|所以異面直線AB與MD夾角的大小為π3(2)因?yàn)镺P=0,22,-2設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z),則n·OP取z=2,則x=0,y=4,所以n=(0,4,2)是平面OCD的一個(gè)法向量.設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d.因?yàn)镺B=(1,0,-2),所以d=|OB·n所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為23B級能力提升7.在空間直角坐標(biāo)系中,定義平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時(shí)為零),點(diǎn)P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=|Ax0+By0+Cz0+A.55 B.C.2 D.5解析:如圖,作出正四棱錐P-A'B'C'D',以底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).設(shè)平面PA'B'的方程為Ax+By+Cz+D=0,將點(diǎn)A',B',P的坐標(biāo)代入計(jì)算,可得A=0,B=-D,C=-12D,所以平面PA'B'的方程為-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以點(diǎn)O到側(cè)面的距離d=|2答案:B8.如圖,P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中點(diǎn),則點(diǎn)M到平面PAC的距離d為322解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(2,1,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面PAC的法向量.因?yàn)镻A=(2,0,-3),PC=(0,2,-3),由n·PA=0,取z=2,則x=y=3.所以n=(3,3,2)為平面PAC的一個(gè)法向量.因?yàn)镸A=(0,-1,0),所以d=|n·MA||所以點(diǎn)M到平面PAC的距離d為3229.如圖,在四面體ABCD中,O為BD的中點(diǎn),AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=22,AO⊥平面BCD,則點(diǎn)D到平面ABC的距離為242解析:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,6,0),D(-2,0,0),所以AB=(2,0,-2),BC=(-2,6,0).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則AB·n=0,BC·n=0,即2x-2z=0,-2x+6y=0,令y=1,則x=3,z=3.所以n=(3,1,3)是平面ABC的一個(gè)法向量10.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,PD的中點(diǎn).問:線段CD上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離為45?若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由解:由題意,知PA,AD,AB兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件,令CQ=m(0≤m≤2),則DQ=2-m.所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-m,2,0),所以EQ=(2-m,2,-1).因?yàn)镋F=(0,1,0),設(shè)平面EFQ的法向量為n=(x,y,z),則n·EF令x=1,則y=0,z=2-m.所以n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一個(gè)法向量.因?yàn)锳E=(0,0,1),所以點(diǎn)A到平面EFQ的距離d=|AE·n||n|=|2-m|1+(2-m)2=45,即(2-m)2=169,所以m=23或C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新11.多選題已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,O分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P在正方體內(nèi)部,且滿足AP=34AB+12AD+23AA.點(diǎn)A到直線BE的距離是5B.點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為2C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為3D.點(diǎn)P到直線AB的距離為25解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-設(shè)∠ABE=θ,則cosθ=|BA·BEsinθ=1-cos故點(diǎn)A到直線BE的距離d1=|BA|sinθ=1×255=255,易知C1O=12C1A1=-12,-12則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d2=|DA1·C1O||A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d3=|A1D1·因?yàn)槠矫鍭1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為33,故C正確因?yàn)锳P=34AB+12AD+23A又AB=(1,0,0),則|AP·AB||AB|=34,所以點(diǎn)P到直線AB的距離d=|AP|2-答案:BC12.多空題如圖所示,多面體是由底面為ABCD的長方體被平行四邊形AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.則BF的長為26,點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為433解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).由題意,知四邊形AEC1F為平行四邊形,所以由AF=EC1,得(-2,0,z)=(-所以z=2,所以F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).所以|BF|=26,即BF的長為26.設(shè)n1為平面AEC1F的一個(gè)法向量,顯然n1不垂直于平面ADF.因?yàn)锳E=(0,4,1),AF=(-2,0,2),所以可設(shè)n1=(x,y,1),則由n1·AE=0所以n1=1,-因?yàn)镃C1=(0,0,3),設(shè)CC1與n1cosα=CC1·n1所以點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為d=|CC1|cosα=3×43313.多空題如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).則點(diǎn)M到直線AC1的距離為322,點(diǎn)N到平面MA1C1的距離為解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0)