結(jié)構(gòu)力學(xué)(Ⅱ)

StructuralMechanics南京工業(yè)大學(xué)第九章矩陣位移法矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m行和n列，稱為m

n

階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLé?êêêêêù?úúúúú2、轉(zhuǎn)置矩陣將一個(gè)矩陣的行和列依次互換，所得的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132é?êêêù?úúú其轉(zhuǎn)置矩陣為AT=é?êù?úaaaaaa112131122232任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI=AIA=A5、逆矩陣在矩陣運(yùn)算中，沒有矩陣的直接除法，

除法運(yùn)算由矩陣求逆來完成。例如，若AB=C則B=A-1C此處A-1稱為矩陣A的逆矩陣。一個(gè)矩陣和它的逆矩陣有關(guān)系式：AA-1=

A-1A=I矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：（1）矩陣是一個(gè)方陣。（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣。6、正交矩陣若一方陣A每一行（每一列）的各個(gè)元素平方之和等于1，則稱該矩陣為正交矩陣。A=cossinsincosaaaa-é?êù?ú正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1=AT結(jié)構(gòu)矩陣分析的目的——結(jié)構(gòu)趨向大型化、復(fù)雜化，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。矩陣位移法的理論基礎(chǔ)是位移法，與傳統(tǒng)位移法的相同之處——以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法的差異:⒈全部桿件歸入一類基本構(gòu)件——兩端固定桿件，這便于編制計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)程序化；⒉矩陣位移法的表達(dá)形式采用矩陣代數(shù)?！?-1概述一、矩陣位移法的基本思路

拆分、離散化重新集合結(jié)構(gòu)整體基本構(gòu)件形成整體矩陣位移法的三個(gè)基本環(huán)節(jié)：

①單元?jiǎng)澐郑阂桓冉孛嬷睏U作為一個(gè)單元，單元間由結(jié)點(diǎn)相聯(lián)。②單元分析：建立單元?jiǎng)偠确匠?，形成單元?jiǎng)偠染仃?。③整體分析：由單元?jiǎng)偠染仃囆纬烧w剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。

桿件標(biāo)識(shí)及符號(hào)規(guī)則：局部坐標(biāo)的坐標(biāo)與桿軸重合；121E,A,Il(a)圖示的6個(gè)桿端位移均為正方向。單元編號(hào)桿端編號(hào)局部坐標(biāo)12(b)桿端位移編號(hào)12桿端力編號(hào)(c)二、桿端位移、桿端力平面一般桿單元：指桿件有彎曲變形、軸向變形和剪切變形，桿件兩端各有三個(gè)位移分量。圖示的6個(gè)桿端力均為正方向。12（1）單元桿端位移向量（2）單元桿端力向量凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部坐標(biāo)系而言的。12§9-2單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)一、一般單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃囀怯脕肀硎緱U端力與桿端位移之間的物理關(guān)系的，不是新東西，但采用矩陣的形式表示。方程由胡克定律：Δ由轉(zhuǎn)角位移方程，12單元?jiǎng)偠确匠虒⑹?a)、(b)合在一起，并以矩陣的形式表示：可寫成分塊形式:局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚔泞脾洽娶散盛泞脾洽娶散识?、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)

①單元?jiǎng)偠染仃囀菞U端力用桿端位移來表達(dá)的聯(lián)系矩陣。

②其中每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。

③單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。

④第k列元素分別表示當(dāng)?shù)趉個(gè)桿端位移=1時(shí)引起的六個(gè)桿端力分量。

⑤從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。因此不存在逆矩陣?/p>

⑥

與單元的材料、截面、桿長有關(guān)。

如

第⑶個(gè)桿端位移分量

時(shí)引起的第⑹個(gè)桿端力。(i)(j)三、特殊單元

若單元六個(gè)桿端位移中有某一個(gè)或幾個(gè)為零，則該單元稱為特殊單元。e以連續(xù)梁為例：eee12e特殊單元的剛度矩陣，可由一般單元的剛度矩陣刪除與零位移對(duì)應(yīng)的行和列得到。12eeeeeee§9-3單元?jiǎng)偠染仃?整體座標(biāo)系)選整體坐標(biāo)系是為了按統(tǒng)一的坐標(biāo)系來建立各單元的剛度矩陣，以便進(jìn)行整體分析。單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體坐標(biāo)系中的桿端力yxyx局部坐標(biāo)系中的桿端力yx寫成矩陣形式簡(jiǎn)寫成：T——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T為正交矩陣

其中:同理可有:因此：T11整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噷⑹?a)、(b)代入式(c)設(shè)局部坐標(biāo)系中、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠谭謩e為：(9-21)單元?jiǎng)偠染仃噆e

的性質(zhì):①單元?jiǎng)偠染仃囀菞U端力和桿端位移的關(guān)系矩陣。②其中每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)。③是對(duì)稱矩陣。④一般單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。不存在逆矩陣。A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m25m5m①②解：①求局部坐標(biāo)系中的單剛②求整體坐標(biāo)系中的單剛，k①：①②因?yàn)閱卧俚谝涣性刈兎?hào)即第四列，第二列元素變符號(hào)即第五列，第六列元素與第三列相同，只是k⑶⑹=k⑶⑶/2；第一行元素變符號(hào)即第四行，第二行元素變符號(hào)即第五行，第六行元素與第三行相同，只是k⑹⑶=k⑶⑶/2、

k⑹⑹=2

k⑶⑹。例1：求圖示剛架中各單元在整體標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。設(shè)各桿的幾何尺寸相同,并且已知③求k②：?jiǎn)卧冢旱谝涣性刈兎?hào)即第四列，第二列元素變符號(hào)即第五列第六列元素與第三列相同，只是k⑶⑹=k⑶⑶/2；第一行元素變符號(hào)即第四行，第二行元素變符號(hào)即第五行第六行元素與第三行相同，只是k⑹⑶=k⑶⑶/2、

k⑹⑹=2

k⑶⑹。P-9.1寫出一般單元的單元?jiǎng)偠染仃?，并說明其性質(zhì)。①一般單元的剛度矩陣：解：②一般單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：a.

剛度系數(shù)表示單位桿端位移引起的桿端力.b.

是一個(gè)對(duì)稱矩陣.c.

是一個(gè)奇異矩陣.P-9.8寫出整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系下的單元力矩陣、位移矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囬g的轉(zhuǎn)換表達(dá)式。①整體、局部坐標(biāo)系下單元力矩陣的轉(zhuǎn)換表達(dá)式：解：②整體、局部坐標(biāo)系下單元位移矩陣的轉(zhuǎn)換表達(dá)式：③

整體、局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚨霓D(zhuǎn)換表達(dá)式：§9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣⑴建立整體剛度方程Δ1Δ2Δ3F1F2F3結(jié)點(diǎn)位移列陣：結(jié)點(diǎn)力列陣：整體剛度方程:基本未知量為結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Δ1、Δ2、Δ3總剛①連續(xù)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噀12連續(xù)梁是無線位移的單元。⑵連續(xù)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)②單元局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系一致，不需進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換i1i212①在整體中，結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。②在單元中按單元兩端結(jié)點(diǎn)單獨(dú)編碼，稱為局部碼。⑶單元定位向量(1)(2)1(1)(2)2單元結(jié)點(diǎn)總碼組成的向量稱為單元定位向量λ

Δ1Δ2Δ312312

③在單剛中元素按局部碼排列，在總剛中元素按總碼排列。①②√注意結(jié)點(diǎn)位移在整體中和在單元中編碼的不同。直接剛度法就是單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)谩皢卧ㄎ幌蛄俊边M(jìn)行“對(duì)號(hào)入座”，由單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度矩陣。單元

[k]=4i12i14i12i11單元

[k]=4i22i24i22i22

⑷單剛集成總剛(直接剛度法)i1i212123單元

[k]=4i12i14i12i111=[K]=1123000004i12i12i14i1123單元

[k]=4i22i24i22i222=[K]=20000000004i22i24i22i21231234i12i12i1002i22i24i24i1+4i2集成得整體剛度矩陣：i1i212123[例]：試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。1230123解：①編碼

(結(jié)點(diǎn)位移為零的，其總碼編為零)②單元定位向量③求單剛并集成總剛124i12i12i14i12i12i14i14i22i22i24i2234i22i22i24i2+4i32i32i34i3304i3+i1i2i31231

234i1123023在給結(jié)點(diǎn)位移編碼時(shí)，考慮了支承