解答題高分練(六)17．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2).(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C1，平移△ABC，若點A2的坐標為(0，－4)，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2；(2)若將△A1B1C1繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標．【解析】(1)如圖所示：A1(3，2)，C1(0，2)，B1(0，0)；B2(3，－2)，C2(3，－4).(2)旋轉(zhuǎn)中心P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1)).18．解不等式組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3)<1，,2x＋16>14.))【解析】解不等式eq\f(x－2,3)＜1，得：x＜5，解不等式2x＋16＞14，得：x＞－1，則不等式組的解集為－1＜x＜5.19．解方程：eq\f(x－3,x－2)＋1＝eq\f(3,2－x).【解析】eq\f(x－3,x－2)＋1＝eq\f(3,2－x)，兩邊同乘以(x－2)得，x－3＋(x－2)＝－3，解得，x＝1.經(jīng)檢驗x＝1是原分式方程的解．20．某學校為改善學校教室空氣質(zhì)量，決定引進一批空氣凈化器，已知有A，B兩種型號可供選擇，學校要求每臺空氣凈化器必須多配備一套濾芯以便及時更換．已知每套濾芯的價格為200元，若購買20臺A型和15臺B型凈化器共花費80000元；購買10臺A型凈化器比購買5臺B型凈化器多花費10000元；(1)求兩種凈化器的價格各是多少元？(2)若學校購買兩種空氣凈化器共40臺，且A型凈化器的數(shù)量不多于B型凈化器數(shù)量的3倍，請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需費用．【解析】(1)設(shè)每臺A型凈化器的價格為a元，每臺B型凈化器的價格為b元，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（a＋200）＋15（b＋200）＝80000，,10（a＋200）－5（b＋200）＝10000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2000，,b＝2200，))故每臺A型凈化器的價格為2000元，每臺B型凈化器的價格為2200元；(2)設(shè)購買A型凈化器x臺，B型凈化器(40－x)臺，總費用為y元，由題意，得x≤3(40－x)，解得x≤30，y＝(2000＋200)x＋(2200＋200)(40－x)，化簡，得y＝－200x＋96000.∵－200＜0，y隨x的增大而減小，當x＝30時，y取最小值，y＝－200×30＋96000＝90000，40－x＝10，故買A型凈化器30臺，B型凈化器10臺時，所需費用最少，最少費用為90000元．21.如圖，已知菱形ABCD，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接AE，CF.(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AB＝2，求菱形的面積．【解析】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∵E是BC的中點，∴AE⊥BC(等腰三角形三線合一)，∴∠AEC＝90°，∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴AF＝eq\f(1,2)AD，EC＝eq\f(1,2)BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∴AF∥EC且AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，又∵∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)；(2)在Rt△ABE中，AE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以，S＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3).22．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市組織該市七、八兩個年級學生參加演講比賽，演講比賽的主題為“追憶百年歷程，凝聚青春力量”．該市一中學經(jīng)過初選，在七年級選出3名同學，其中2名女生，分別記為x1、x2，1名男生，記為y1；在八年級選出3名同學，其中1名女生，記為x3，2名男生，分別記為y2、y3.現(xiàn)分別從兩個年級初選出的同學中，每個年級隨機選出一名同學組成代表隊參加比賽．(1)用列表法或樹狀圖法(樹狀圖也稱樹形圖)中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的代表隊總數(shù)；(2)求選出的代表隊中的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率P.【解析】(1)樹狀圖如圖所示：由上可得，出現(xiàn)的代表隊一共有9種可能性；(2)由(1)可知，一共9種等可能性，其中一男一女出現(xiàn)有5種，故選出的代表隊中的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率P＝eq\f(5,9).23.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠OCB的平分線交⊙O于點D，F(xiàn)在直線AB上，且DF⊥BC，垂足為E，連接AD，BD.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若tan∠A＝eq\f(1,2)，⊙O的半徑為3，求EF的長．【解析】(1)如圖，連接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥CE，∴∠CEF＝∠ODE，∵CE⊥DF，∴∠CEF＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線；(2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴tan∠A＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,2)，則AD＝2BD，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，∴BD2＋AD2＝AB2，即BD2＋(2BD)2＝62，解得BD＝eq\f(6\r(5),5)，由(1)知DF是⊙O的切線，∴∠BDF＝∠A，∵BE⊥DF，∴∠BEF＝90°，∴tan∠BDF＝eq\f(BE,DE)＝eq\f(1,2)，則DE＝2BE，在Rt△BDE中，BD＝eq\f(6\r(5),5)，由勾股定理可得，BE2＋DE2＝BD2，即BE2＋(2BE)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(5),5)))eq\s\up12(2)，解得BE＝eq\f(6,5)，則DE＝eq\f(12,5)，由(1)知BE∥OD，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(BE,OD)，即eq\f(EF,\f(12,5)＋EF)＝eq\f(\f(6,5),3)，解得EF＝eq\f(8,5).24．如圖，正比例函數(shù)y＝eq\f(1,2)x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC.(1)求k的值及線段BC的長；(2)點P為B點上方y(tǒng)軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．【解析】(1)∵點A在正比例函數(shù)y＝eq\f(1,2)x上，AB⊥y軸，OB＝4，∴點B的坐標為(0，4)，∴點A的縱坐標是4，代入y＝eq\f(1,2)x，得x＝8，∴A(8，4)，∵點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵點C在線段AB上，且AC＝OC.設(shè)點C(c，4)，∵OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\r(16＋c2)，AC＝AB－BC＝8－c，∴eq\r(16＋c2)＝8－c，解得：c＝3，∴點C(3，4)，∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3；(2)如圖，設(shè)點P(0，p)，∵點P為B點上方y(tǒng)軸上一點，∴OP＝p，BP＝p－4，∵A(8，4)，C(3，4)，∴AC＝8－3＝5，BC＝3，∵△POC與△PAC的面積相等，∴eq\f(1,2)×3p＝eq\f(1,2)×5(p－4)，解得：p＝10，∴P(0，10).25.甲、乙兩臺機器共同加工一批零件，一共用了6小時．在加工過程中乙機器因故障停止工作，排除故障后，乙機器提高了工作效率且保持不變，繼續(xù)加工．甲機器在加工過程中工作效率保持不變．甲、乙兩臺機器加工零件的總數(shù)y(個)與甲加工時間x(h)之間的函數(shù)圖象為折線OA-AB-BC，如圖所示．(1)這批零件一共有________個，甲機器每小時加工________個零件，乙機器排除故障后每小時加工________個零件．(2)當3≤x≤6時，求y與x之間的函數(shù)解析式．(3)在整個加工過程中，甲加工多長時間時，甲與乙加工的零件個數(shù)相等？【解析】(1)這批零件一共有270個，甲機器每小時加工零件：(90－50)÷(3－1)＝20(個)，乙機器排除故障后每小時加工零件：(270－90－20×3)÷3＝40(個).答案：2702040(2)設(shè)當3≤x≤6時，y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把B(3，90)，C(6，270)代入解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(