2022年高考數(shù)學(xué)考前提分題

1.如圖，在半圓柱W中，A8為上底面直徑，0c為下底面直徑，為母線，AB=AD=2,

點(diǎn)尸在腦上，點(diǎn)G在元上，BF=DG=1,P為。C的中點(diǎn).

(1)求三棱錐A-DGP的體積；

(2)求直線AP與直線所成角的余弦值；

(3)求二面角A-GC-Q的正切值.

-------------

P

【分析】(1)求出底面面積與高，然后求解辦-DGP.

(2)過尸點(diǎn)作圓柱的母線"/交元于H,說明/APG為直線AP與BF所成的角，通過

求解三角形推出結(jié)果.

(3)說明/AGO為二面角A-GC-O的平面角，通過求解三角形推出二面角4-GC-

。的正切值.

【解答】解：(1)由題意知，Z^OPG為正三角形，DP=DG=PG=\,

所以SADGP=；x1x1xsin60°=苧，

因?yàn)锳O為圓柱的母線，

所以AO_L平面DCG,

~143

所以VA-DGP=3xS?DGPxAC=胃.

(2)過尸點(diǎn)作圓柱的母線FH交優(yōu)于”

因?yàn)?/與BC均為圓柱的母線，所以尸〃〃8c且F”=BC,

所以四邊形8C”尸為平行四邊形，所以尸B〃4C且FB="C=1,所以△月可為正三角

形，

又因?yàn)椤?。尸G為正三角形，所以NHCP=/GPO=60°,CH//GP,

所以BF〃CH〃GP,所以NAPG為直線AP與BF所成的角，

在△4PG中，AG=V5,GP=1,AP=V5,

所以由余弦定理知：cosZ-APG=

所以直線AP與直線BF所成角的余弦值為座.

10

(3)因?yàn)锳OJ_平面OCG,CGu平面DCG,所以CGJ_A￡),

又因?yàn)镃G_L￡>G,ADQDG=D,

所以CGJ_平面ADG,

所以CGJ_AG,CG1.DG,因此/AG。為二面角A-GC-。的平面角,

An

在RtZXACG中，AD=2,DG=\,tan^AGD=gg=2,

所以二面角A-GC-D的正切值為2.

【點(diǎn)評】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，幾何體的體積的

求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB=2,PA=^2,PD±CD,AD=DC=BC

=PD=1.

(1)求證：PDLBC；

(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)G,使得二面角G-AB-C的大小為30°?若存在，確定點(diǎn)

G的位置；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由已知求解三角形證明結(jié)合POJ_OC,可得PD_L平面ABC。,

從而得到尸CBC；

(2)在等腰梯形ABC。中，求出。到AB的距離，過G作GO_LC￡>,垂足為。，過。

作OFLAB,垂足為F,連接GF,可得NGF。為二面角G-AB-C的平面角，再由已知

求解直角三角形可得G為PC的中點(diǎn).

【解答】(1)證明：在中，由PZ)=AD=1,PA=V2,

PD2+AD2=PA2,則PZ5_LAO,又PDLCD,ADDCD=D,

.?.P￡>_L平面ABCD,而8Cu平面ABCD,

:.PD工BC；

(2)解：由己知可得，四邊形ABC。為等腰梯形，

過。作QE_LA8,垂足為E,：AB=2,AD=BC=CD=l,

：.AE=I，求得OE=亨，過G作GO_LC￡>,垂足為。，

由(1)可得平面尸DC_L平面ABCD,則GOJ_平面ABCD,

過。作0PLA8,垂足為F,連接GF,則/GF。為二面角G-A2-C的平面角，

F5

...NGFO=30°,在RtZ^GOF中，由。尸=OE=號，ZGFO=30°,

F51

可得GO=竽tan3(T=*.

又PD=1,；.G為PC的中點(diǎn).

故在棱PC上存在點(diǎn)G,當(dāng)G為PC的中點(diǎn)時(shí)，使得二面角G-AB-C的大小為30°.

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練

了二面角的平面角的求法，是中檔題.

3.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面ABCD是平行四邊形，ZABC=120°,AB=1,BC

=4,PA=VT5,M,N分別為2C,PC的中點(diǎn)，PD±DC,PM±MD.

(1)證明：DCA.PM；

(2)求直線4V與平面PCM所成角的正弦值.

N

//I吟。

【分析】（1）由已知求解三角形可得CO_LDW,結(jié)合POJ_DC,可得CD_L平面POM,

進(jìn)一步得到A8_LPM；

（2）由（1）證明尸M_L平面ABCD,由已知求解三角形可得AM,PM,取AO中點(diǎn)E,

連接ME,以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以M。、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求出眾的坐標(biāo)及平面PCM的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得直線AN與

平面PCM所成角的正弦值.

【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，由已知可得，C￡>=A8=1,

CM=抑3=2,NQCM=60°,

二由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDXCMXcos60°=1+4-2X1X2x寺=3,

則CD^+DM2=1+3=4=CM2,BRCD^DM,

又PO_LOC,PDC\DM=D,；.OC_L平面POM,

而PMu平面PQM,.?.OC_LPM.

（2）解：由（1）知，。（:上平面/^^，

又。Cu平面ABC。，.,.平面ABC。_L平面POM,

且平面ABC￡>n平面PDM=DM,

?:PMLMD,且PMu平面PCM,平面ABC￡）,

連接AM,則PM_LMA,

在△A2M中，AB=\,BM=2,ZABM=120°,

1

可得4肥=1+4-2乂1義2義（-i）=7,

又PA=皮，在RtAPMA中，求得PM=>JPA2-MA2=2或，

取AD中點(diǎn)E,連接ME,則ME〃C。，可得ME、MD、MP兩兩互相垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以M。、ME、MP為x、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(-V3,2,0),P(0,0,2V2),C(V3,-1,0),

V31「

又N為PC的中點(diǎn)，，N(萬，一萬V2),

t3^3^q—t

：.AN=(——，一卷V2),MP=P(0,0,2V2),MC=(V3,-1,0),

22

設(shè)平面PCM的一個(gè)法向量為￡=(x,y,z),

Jn-MP=2V2Z=0,取a,則.a,V3I0),

(n-MC=V3x—y=0

設(shè)直線AN與平面PCM所成角為6,

t—r-l

>,i.八1-7l-4/V-nlV3v5

則n