§2.2矩陣的運(yùn)算下頁返回首頁四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的行列式一、矩陣的加法二、矩陣的數(shù)乘三、矩陣的乘法矩陣的乘法的定義、矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)矩陣加法與矩陣數(shù)乘的性質(zhì)矩陣的乘法的性質(zhì)結(jié)束鈴高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法下頁

1.定義2.3

設(shè)A與B為兩個(gè)m

n矩陣A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=。a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，A與B對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的m

n矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和，記為A

B。即高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

例1．設(shè)35722043012

3A=/p>

8B=，則35722043012

3A+B/p>

8+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489241910076

11。=下頁矩陣的加法：設(shè)A

(aij)m

n與B

(bij)m

n，則A+B=(aij+bij)m

n。高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

2.運(yùn)算規(guī)律注意：

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),

設(shè)A,B,C

為同型矩陣,則

(1)

A+B=B+A(加法交換律);

(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法結(jié)合律);加法運(yùn)算。二者才能進(jìn)行高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

3.負(fù)矩陣與矩陣減法

若記-A=(-aij),則稱-A

為矩陣A

的負(fù)矩陣.顯然有A+(-A)=O.定義矩陣的差為：

A-B=A+(-B).其中O

是與

A

同型的零矩陣;例如，C

的負(fù)矩陣為:高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義4.4設(shè)A

(aij)為m

n矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的m

n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA。即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=。下頁二、數(shù)與矩陣相乘（數(shù)乘）高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算矩陣的數(shù)乘：設(shè)A

(aij)m

n，則kA=(kaij)m

n。

例2．設(shè)35722043012

3A=，則3A35722043012

3=33

33

5373

23

23

0343

33

03

13

2

3

3=91521

66012

9036

9=。下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

行列式的某行（或列）有公因子即可提出,

但矩陣的每一個(gè)元素都有公因子時(shí)才可以提出.思考：數(shù)與行列式相乘和數(shù)與矩陣相乘有什么區(qū)別？答：數(shù)與行列式相乘，是將數(shù)乘到行列式中的某一行（或列）；而數(shù)與矩陣相乘，是將數(shù)乘矩陣中的每一個(gè)元素。即：高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

2.數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算律設(shè)A,B

為同型矩陣,λ

,

μ為常數(shù)，則(1)(λμ)A=λ

(μA);結(jié)合律(2)(λ+μ)A=λ

A+μA.分配律(3)

λ(A+B)=λA+λB.分配律矩陣加法與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

例3．設(shè)35722043012

3A=/p>

8B=，求3A-2B。

解：3A-2B

35722043012

3=313202157064

8-226404210140128

16-91521

66012

9036

9=。791762-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16=下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

例4．已知35722043012

3A=/p>

8B=，且A+2X=B，求X。下頁練習(xí)高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

定義2.5設(shè)A是一個(gè)m

s矩陣，B是一個(gè)s

n矩陣：構(gòu)成的m

n矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為C

AB。下頁則由元素cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)。a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=。即三、矩陣的乘法高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3；下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983，解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

例6．設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32-16168=，BA=4-2-214

2-6-30

000=，B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983。下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

例6．設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=解：-32-16168，BA=0

000，B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983?？梢?，矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

BA。兩個(gè)非零矩陣相乘，可能是零矩陣，從而AB=O推不出A=O或B=O。下頁練習(xí)高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算1110

例7．設(shè)A=，B=，求AB及BA。2110解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=，顯然AB=BA。如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換。下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算解：設(shè)可交換的一切矩陣。

例8．求與矩陣A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，，下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算解：設(shè)可交換的一切矩陣。

例8．求與矩陣A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=，BA0ab0a1b10a2b2=。令A(yù)B=BA，則有a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是與A可交換的矩陣為Babc0ab00a=，其中a，b，c為任意數(shù)。下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算顯然AC=BC，但A

B。矩陣乘法不滿足消去律。下頁高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。應(yīng)注意的問題：

(1)AB

BA；

(3)AB=OA=O或B=O。/

(2)AC=BCA=B。/

下頁

例11．證明：如果CA=AC，CB=BC，則有(A+B)C=C(A+B)，(AB)C=C(AB)。證：因?yàn)镃A=AC，CB=BC，所以有(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)，(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)。矩陣乘法的性質(zhì)：高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

四、方陣的冪

如果A

是n

階矩陣,那么AA

有意義,也有意義,(１)定義k個(gè)Ａ相乘稱為

Ａ的k

次冪，記為Ａk,

定義

設(shè)A

是n

階矩陣,k是正整數(shù),

規(guī)定

Ａ1=A,

Ａ2=A?Ａ,…,

Ａk+1=Ａk?Ａ,即因此有下述定義:高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算(2)運(yùn)算規(guī)律設(shè)A

為方陣,k,l

為正整數(shù),則對(duì)n階方陣A

與B一般來說,由于矩陣乘法一般不滿足交換律，

AkAl=注意的乘法公式不一定成立.

所以初等數(shù)學(xué)中(AB)k

AkBk

；(A+B)2

A2+2AB+B2；(A+B)(A-B)

A2-B2；(Ak)l=Ak+l,Akl.高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算

定義2.6將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則。例如，設(shè)x=(x1

x2

xn)，y=(y1

y2

yn)，則(y1

y2

yn)xTyx1x2

xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

。下頁五、矩陣的轉(zhuǎn)置高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；下頁a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則。

定義2.6將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

。即如果五、矩陣的轉(zhuǎn)置(4)(AB)T=BTAT

。高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算例設(shè)A與B是兩個(gè)n階矩陣。證明：AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換。

證:因?yàn)锳、B是對(duì)稱矩陣，所以1、若AB是對(duì)稱矩陣，則有于是有所以A與B可交換。2、若A、B是可交換，則有于是有所以AB是對(duì)稱矩陣。

證畢高中數(shù)學(xué)2.2矩陣的運(yùn)算一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|，即矩陣的行列式具有的運(yùn)算律：