二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識

11121133114641研究(a+b)n的展開式1.在n=1,2,3,4時，研究(a+b)n的展開式.

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=？2.規(guī)律:(1)展開式各項(xiàng)次數(shù)有什么特點(diǎn)？

(2)展開式各項(xiàng)系數(shù)有什么特點(diǎn)？n次齊次式

a降次，b升次(a+b)4=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4如何求(a+b)n的展開式(a＋b)2

＝(a

＋

b)(a

＋b)＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3共有四項(xiàng)a3:a2b:同理，ab2有

個；b3

有

個；每個括號都不取b的情況有一種，即

種，相當(dāng)于有一個括號中取b的情況有

種，所以a2b的系數(shù)是

所以a3的系數(shù)是共有三項(xiàng))ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+432234babbabaa（）（）（）（）（）++++=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(++++=+如何求(a+b)n的展開式4.一般地，(a+b)n=?3.二項(xiàng)式定理(1)每一項(xiàng)的系數(shù)(k=0,1,2,…,n)叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)(2)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，表示第k+1項(xiàng),記作Tk+1(a＋b)n的二項(xiàng)展開式,共有n+1項(xiàng)(3)若取a=1,b=x則得一個重要公式：1、二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）字母a

的次數(shù)由n降到0，字母b

的次數(shù)由0升到n.3、項(xiàng)數(shù)規(guī)律二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)4、通項(xiàng)公式二項(xiàng)式定理規(guī)律二項(xiàng)式定理簡單運(yùn)用1、區(qū)別“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”2、第k項(xiàng)不是Cnkan-kbk3、一般解題先研究通項(xiàng)完成課本31頁練習(xí)二項(xiàng)式定理“楊輝三角形”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)引例：從排列組合“定序”問題說起如圖某城市中P，Q兩地有整齊的矩形道路網(wǎng)，從Q地到P地共有多少種最近的走法？QP可以推出Q到每一個節(jié)點(diǎn)的步數(shù)，如圖所示，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？楊輝三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6偉大的數(shù)學(xué)家楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知，楊輝擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。與秦九韶、李治、朱世杰并趁稱宋元數(shù)學(xué)四大家。治學(xué)品質(zhì)楊輝出游，遇童阻道，使人問之，乃知其遇難而不得解，輝奇之，細(xì)問。小童乃東村破爛王之子，家境貧寒，無上學(xué)之資，雖則聰慧終未能入室聽誨，唯偷聽于墻角。師每出題，童必求當(dāng)日解決，不留問題到天明。然此日師出一題，小童深感棘手，于是忘情之處于道中演練，為防異處而忘，故堅(jiān)不讓道。輝愈奇，問其題，乃《大戴禮》書中所載之九宮圖：1-9個數(shù)字，放在3*3的表格中，要求橫豎斜之和相等。輝趣之，與童共演之，時至正午方畢。輝感其童向?qū)W之心，亦惑其師。翌日，資童拜其師，與其師共餐一頓，相談甚歡。歸，慮思良久，終想出一般方法，并推廣至16宮，并N宮圖，易數(shù)圖、衍數(shù)圖等。后楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，收于數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》中，流傳于世。在現(xiàn)代組合學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著重要應(yīng)用。由楊輝三角形研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)定義域{0,1,2,…,n}當(dāng)n=6時,其圖象是7個孤立點(diǎn)61420O63rf(r)問題：觀察楊輝三角形，你能發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的哪些性質(zhì)？二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.圖象的對稱軸：在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)，相等，且同時取得最大值。實(shí)質(zhì)：數(shù)列的單調(diào)性與數(shù)列的最大項(xiàng)問題二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和4.在奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：重要方法：賦值法更多探究……從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和有何特征？（第r+1條斜線）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21．．．,著名的斐波那契數(shù)列．二項(xiàng)式定理分類習(xí)題研究二項(xiàng)式定理的逆向使用問題二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)問題◆區(qū)分三個概念：項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題三項(xiàng)式、多項(xiàng)式問題◆多項(xiàng)式問題的方法:

①轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來展開；

②利用多項(xiàng)式的乘法法則展開；

③對多項(xiàng)式先變形化簡，再展開；

④利用加法原理和乘法原理來求指定項(xiàng)的系數(shù).探究對于一個立體網(wǎng)絡(luò)圖路徑最佳個數(shù)怎么找？如何進(jìn)行抽象？進(jìn)一步，(x+y+z)6展開式中x3y2z的系數(shù)是多少？(2x+y+3z)6展開式中x3y2z的系數(shù)是多少？展開式的系數(shù)和問題展開式的系數(shù)和問題展開式系數(shù)最大項(xiàng)的問題◆求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項(xiàng)，n為偶數(shù)時中間一項(xiàng).◆設(shè)Tk+1的系數(shù)為Ak+1，求系數(shù)最大的項(xiàng)，可通過解不等式組Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.近似計(jì)算、整除及余數(shù)問題◆利用二項(xiàng)式定理證明整除問題，關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過恒等變形為二項(xiàng)式形式，使其展開后的各項(xiàng)均含有除式(除數(shù)).◆利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度.證明與不等式放縮問題◆用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮證明不等式的常見方法：(1)保留前面若干項(xiàng)或保留前后對稱的若干項(xiàng)；(2)對通項(xiàng)進(jìn)行放縮，再利用數(shù)列求和的知識.編者語要如何做到上課認(rèn)真聽講？

我們都知道一個人的注意力集中時間是有限的，一節(jié)課45分鐘如何保持時時刻刻都能認(rèn)真聽講不走神呢？

1、往前坐坐的位置越靠后，注意力就越難集中。老師不會注意到你的事實(shí)可以讓你不再緊張，放心去做別的事情。坐在后面，視線分散，哪怕你是在看老師，如果有人移動，你的視線就會飄到那個同學(xué)的后腦勺上去，也就無法集中注意力。而且，坐在后面很難讀到老師的表情。認(rèn)真聽講不單純是指聽老師說的話，把握老師的表情和語調(diào)之類的小細(xì)節(jié)也是很有必要的。說話比平時更用力，或者表情嚴(yán)肅地強(qiáng)調(diào)的那個部分幾乎百分之百地會出現(xiàn)在考試中。但是如果坐在后面，那種重要的提示就全都錯過了。與此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比別人靠前的感覺讓你聽課時的態(tài)度變得更積極。與老師眼神交會的機(jī)會增多，感覺就好像是老師在做一對一個人輔導(dǎo)。有的學(xué)生恰恰就是因?yàn)檫@一點(diǎn)，討厭坐在前面。和老師眼神交會非常有負(fù)擔(dān)，稍微做點(diǎn)兒小動作就會被老師發(fā)現(xiàn)，非常不方便。而且坐在前面說不定還會被問到一些難以回答的問題。但是，那卻是提升成績最快的方法。學(xué)習(xí)要帶有一定程度的緊張感，坐在前面，自然而然就會緊張起來。沒有必要自己費(fèi)心思集中精神，那種環(huán)境就能幫助你做到。雖然看上去好像不太方便，但其實(shí)那才是最便于學(xué)習(xí)的位置。

2、不要看書，要看老師的眼睛只要老師不是在一味地讀教材，那老師的“話”就不可能和你低頭看著的教材上的“文字”一致。頭腦聰明的學(xué)生，也許能做到既集中精神聽老師的話，又集中精神看眼前書上的內(nèi)容?？墒菍?shí)際上大部分的學(xué)生都做不到這一點(diǎn)。認(rèn)真聽講的第一個階段就是上課時間無條件地“往前看”，上課的時候看書往往很容易開小差。摒除雜念，將視線從攤在眼前的書上移開。老師講課的時候只看前面，集中注意力聽老師嘴里說出來的話，那才是認(rèn)真聽講的態(tài)度。低著頭，心情就放松了，但那種放松對學(xué)習(xí)一點(diǎn)好處也沒有，之所以會放松，就是因?yàn)橛X得即便是自己開小差，老師也不知道。如果你往前看，不時地和老師眼神交會一下，注意力必然會集中起來。和老師眼神交匯的那種緊張感會讓你注意力集中，并充實(shí)地聽完整堂課。

3、課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)新課內(nèi)容，找出不理解的地方標(biāo)記下來。預(yù)習(xí)后嘗試做課后練習(xí)題，不要怕出錯，因?yàn)槔蠋熯€沒有講，出錯也是正常的。關(guān)鍵是，出錯了你就知道上課時應(yīng)該重點(diǎn)聽哪里，注意力自然就能集中了。

4、即便上課時不理解也不要放棄有些同學(xué)覺得老師講的聽不懂，就干脆不再聽講，按照自己的方法去學(xué)習(xí)。其實(shí)這樣做真的很傻，因?yàn)椴宦犞v就非常容易和同學(xué)們的學(xué)習(xí)進(jìn)度脫節(jié)，這就會直接導(dǎo)致考試時成績下降。原因是，老師講的內(nèi)容不一定都在教材