專題14角、相交線與平行線（10個高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】 1【考點(diǎn)2對頂角、鄰補(bǔ)角】 3【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】 3【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】 4【考點(diǎn)5角的和差】 5【考點(diǎn)6角的大小比較】 7【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】 8【考點(diǎn)8相交線與平行線】 9【考點(diǎn)9平行公理及其推論】 10【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】 12【要點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．【要點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個大寫字母表示AAA以這個點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個.用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.【要點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【要點(diǎn)4方向角】在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】【例1】（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，同時能用三個字母和一個字母表示的角是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠A和∠D D．∠A和∠C【變式1-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝_____°．【變式1-2】（2022·遼寧撫順·一模）鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕?，則當(dāng)時間為4：30時鐘面角為___________°.【變式1-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）6×6的方格圖中，按要求作格點(diǎn)三角形ABC．（1）在圖1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC=45°；（畫出一個即可）（2）在圖2中，作鈍角△ABC，使得∠BAC=45°．【考點(diǎn)2對頂角、鄰補(bǔ)角】【例2】（2022·河北·模擬預(yù)測）下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是()A． B． C． D．【變式2-1】（2022·廣東·統(tǒng)考中考模擬）∠α與∠β互為補(bǔ)角，同時又是對頂角，則它們兩邊所在的直線（）A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 D．不能確定【變式2-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）已知，∠B與∠A互為鄰補(bǔ)角，且∠B=2∠A，那么∠A為________度．【變式2-3】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)校考三模）小明把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30A．180° B．210° C．360°【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】【例3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知∠1=50°，則∠1的余角的補(bǔ)角的度數(shù)是（

）A．60° B．140° C．40° D．130°【變式3-1】（2022·廣西·中考真題）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為______【變式3-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）42°15'的余角是______．【變式3-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ) D．∠α與∠ACF互余【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】【例4】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（）A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是內(nèi)錯角C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是內(nèi)錯角【變式4-1】（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角B．同位角、內(nèi)錯角、對頂角C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【變式4-2】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）下列圖中∠1和∠2是同位角的是

（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②【變式4-3】（2022·福建三明·統(tǒng)考中考模擬）如圖，圖中的同位角的對數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【要點(diǎn)5角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【要點(diǎn)6角平分線】從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【考點(diǎn)5角的和差】【例5】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，將一幅三角板按照如圖1所示的位置放置在直線EF上，現(xiàn)將含30°角的三角板OCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)180°，在這個過程中．（1）如圖2，當(dāng)OD平分∠AOB時，試問OC是否也平分∠AOE，請說明理由．（2）當(dāng)OC所在的直線平分∠AOB時，求∠AOD的度數(shù)；（3）試探究∠BOC與∠AOD之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式5-1】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【變式5-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動平面鏡，使入射角減小10°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（

）A．減小40° B．減小10° C．減小20° D．不變【變式5-3】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來體驗(yàn)一下.【發(fā)現(xiàn)猜想】（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數(shù)為；.【探索歸納】（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示），并說明理由.【問題解決】（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點(diǎn)O以每秒20°逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒30°順時針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運(yùn)動.運(yùn)動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？【要點(diǎn)7角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【考點(diǎn)6角的大小比較】【例6】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，記∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，則（

）A．β＜α＜γ B．β≤γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ【變式6-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，則下列結(jié)論正確的是(A．∠P=∠Q B．∠P=∠RC．∠Q=∠R D．∠P=∠Q=∠R【變式6-2】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，那么∠DAC與∠ACB的大小關(guān)系為：∠DAC_____∠ACB．【變式6-3】（2022·陜西西安·?？家荒＃┚€段AB與射線AP有一公共端點(diǎn)A．(1)用直尺和圓規(guī)作出AB的中點(diǎn)M；(不寫作圖方法)(2)用直尺和圓規(guī)作出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ與AP相交于點(diǎn)C.(不寫作圖方法)(3)聯(lián)結(jié)CM，用量角器測量∠AMC和∠BMC的度數(shù)，你認(rèn)為∠AMC和∠BMC的大小關(guān)系如何？【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】【例7】（2022·北京·?？寄M預(yù)測）下列圖形中，線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC的距離的是（

）A． B．C． D．【變式7-1】（2022·吉林松原·?？家荒＃┬∶鲄⒓犹h(yuǎn)比賽，他從地面踏板P處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑的接觸點(diǎn)分別為A，B，小明未站穩(wěn)一只手撐到沙坑C點(diǎn)，則跳遠(yuǎn)成績測量正確的圖是（）A． B．C． D．【變式7-2】（2022·北京·統(tǒng)考中考模擬）點(diǎn)A在直線m外，點(diǎn)B在直線m上，A、B兩點(diǎn)的距離記作a，點(diǎn)A到直線m的距離記作b，則a與b的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)<b【變式7-3】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，若點(diǎn)P到BD的距離為32，則點(diǎn)P的個數(shù)為____【考點(diǎn)8相交線與平行線】【例8】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在同一平面內(nèi)．經(jīng)過直線l外一點(diǎn)O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式8-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）在同一平面內(nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系是（

）A．平行、相交或垂直 B．相交 C．平行或相交 D．平行【變式8-2】（2022·福建廈門·統(tǒng)考一模）兩條直線相交所成的四個角中，下列說法正確的是（）A．一定有一個銳角B．一定有一個鈍角C．一定有一個直角D．一定有一個不是鈍角【變式8-3】（2022·河北·模擬預(yù)測）下面關(guān)于平行線的說法中，正確的個數(shù)是（

）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行②在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行③在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線必相交④在同一平面內(nèi)，不平行的兩條線段必相交A．0 B．2 C．3 D．4【要點(diǎn)8平行公理及其推論】①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【考點(diǎn)9平行公理及其推論】【例9】（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┮阎本€AB∥CD．(1)如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(3)若點(diǎn)E的位置如圖3所示，BF，DF仍分別平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．【變式9-1】（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖方式擺放兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．15°【變式9-2】（2022·江蘇泰州·靖江市靖城中學(xué)校考一模）如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．【變式9-3】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度數(shù)大于90°小于120°）（1）求證：∠BED=90°；（2）若點(diǎn)F為射線BE上一點(diǎn)，∠EDF=α，∠ABF的角平分線BG與∠CDF的角平分線DG交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）延長BE交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)F為線段BH上一動點(diǎn)，∠ABF鄰補(bǔ)角的角平分線與∠CDF鄰補(bǔ)角的角平分線DG交于點(diǎn)G，探究∠BGD與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論：．（題中所有的角都是大于0°小于180°的角）【要點(diǎn)9平行線的判定與性質(zhì)】1.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.2.平行線的性質(zhì)①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】【例10】（2022秋·全國·八年級期末）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠MEB+∠NFD=180°．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD