2022年高考數(shù)學全真模擬自測試題（高頻考點版）_002

單選題（共8個，分值共：）

1、下列命題中的假命題是（）

A.VxG/?,x2+x+1>0

B.存在四邊相等的四邊形不是正方形

C."存在實數(shù)%,使％>1"的否定是"不存在實數(shù)X,使％<1"

D.若6R且x+y>2,則x,y至少有一個大于1

答案：C

解析：

【分析】

利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.

【詳解】

/+乂+1=（尤+鄉(xiāng)+：>0,故A正確；

菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；

"存在實數(shù)X,使x>1"的否定是"對任意的實數(shù)x都有X<1",故C錯誤；

假設xWl且yWl,則x+yW2,與x+y>2矛盾，故D正確；

故選：C

2、已知平面向量日,b,^滿足：|囹=3,同=2,隨|=1,K（2d+b）-c—a-b-2=0,則怔-2同的最大

值為（）

A.4B.5C.6D.7

答案：D

解析：

【分析】

根據(jù)性質(zhì)|訪?宿<|沅|同求出自力的范圍,再由性質(zhì)同2=和可得

【詳解】

???|（2a+&）c|=|a-&+2|<\2a+b\■|c|=\2a+b\（當2a+3與快線時取"="號），

2

（a-b）+4d-b+4<4d2+群+4d?E,

（a-&）<36=>—6<a-b<6,又-2b\=a2+462-4d-b=25—4d-b<49,

故選：D.

3、如圖，在△ABC中，D,E為線段BC上兩點，現(xiàn)從48,C,D,E這五個點中任取三個點，則這三個點能

構成一個三角形的概率為().

解析：

【分析】

利用古典概型概率公式即求.

【詳解】

從A,B,C,D,E這五個點中任取三個點，

共有48C,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10個基本事件，

其中可構成三角形的有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6個基本事件，

所求概率為P=^=|.

故選：B.

4、已知函數(shù)/若方程f(x)=t恰有兩個不等的實根，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(0,4]

C.[0,4-oo)D.(4,+8)

答案：B

解析：

【分析】

將方程有兩個不等的實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=t的圖象有兩個交點，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思

想即可得出結(jié)果.

【詳解】

方程/(x)=t恰有兩個不等的實根，

等價于y=f(x)與y=t的圖象有兩個交點，

/(X)的圖象如圖所示，平移水平直線y=t可得te(0,4],

故選：B.

2

5、在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.8,乙去參觀市博物館的概率為0.6,且甲乙兩人各自行

動.則在這段時間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是()

A.0.48B.0.32C.0.92D.0.84

答案：C

解析：

【分析】

根據(jù)題意求得甲乙都不去參觀博物館的概率，結(jié)合對立事件的概率計算公式，即可求解.

【詳解】

由甲去參觀市博物館的概率為0.8,乙去參觀市博物館的概率為0.6,

可得甲乙都不去參觀博物館的概率為Pi=(1-0.8)X(1-0.6)=0.08,

所以甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是P=l—Pi=1-0.08=0.92.

故選：C.

6、已知復數(shù)z=2+i(i為虛數(shù)單位)，則z-(z-l)=()

A.3+iB.3-iC.1+3iD.1-3i

答案：A

解析：

【分析】

首先求出2,再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計算可得；

【詳解】

解：因為z=2+i,所以z=2—i,所以z,(z—1)=(2—i)(l+i)=2+2i—i—/=3+i

故選：A

7、在△力BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a2+c2=13,ac=6,bsinA=V3acosB,則

b=()

A.V7B.V6C.V5D.V3

答案：A

解析：

3

【分析】

根據(jù)正弦定理及同角關系可得再用余弦定理可求解.

【詳解】

由bsin/=yj3acosB,根據(jù)正弦定理有：

sinBsinA=y/3sinAcosB,

因為在三角形中0VAV憶0VBV7T,所以sMA>0,

從而有sinB=yj3cosB=tanB=V3=>B

再由余弦定理有：cosB=史="=三4=j解得力=夕.

2ac122

故選：A

8、函數(shù)/(%)=cos(2x-1)的最小正周期是()

A.47rB.2TTC.TTD.-

2

答案：c

解析：

【分析】

利用余弦型函數(shù)的周期公式，即得解

【詳解】

由題意，函數(shù)/(%)=cos(2x-1)的最小正周期7=與=7T

故選：C

多選題(共4個，分值共：)

9、已知函數(shù)/(*)=s譏(3%+芻(3>0)的圖象與直線y=l的交點中，距離最近的兩點間的距離為兀，則

()

A.3=2B.函數(shù)/(x)在［一￡勺上單調(diào)遞增

44

c.是/(x)的一條對稱軸D./(x)在［0,兀］上存在唯一零點空

o12

答案：AC

解析：

【分析】

由題可知函數(shù)的最小正周期為兀，據(jù)此求出3,再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】

由題可知，/(X)的兩個相鄰的最大值之間的距離為〃，

則/(x)的周期為"，則生=兀=3=2,「./(x)=sin(2x+g),故A正確；

(A)6

X0—卻時，2%+昔［蘭圖，"X)在［—猊］上不單調(diào)，故B錯誤；

,=，譏管+?)=s，n5=1，?,x=「是/(x)的一條對稱軸，故C正確；

4

,.,2x4--=fc7T=>x=———,/cGZ,當/c=l時，x=—,當k=2時，x=

62121212

故/（x）在也兀］上存在零點工和巖，故D錯誤.

故選：AC.回團團回

10、奇函數(shù)y=/（%）在x€［-4,0］的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（)

年及。5

\1Z____-20團團團團

A.當-4,0］時/（切€［-2,2］

B.函數(shù)度生）福［2,4］上單調(diào)遞減

u屋）>/?

D.函數(shù)f（x）在（一2,-3,住,2）上單調(diào)遞增

答案：ABD

解析：

【分析】

結(jié)合/（x）的圖象，分析函數(shù)/（x）的值域、單調(diào)性、函數(shù)值，由此確定正確選項.

【詳解】

根據(jù)圖象可知：

xG［—4,0］時，f（x）6［—2,2］,A選項正確.

/（%）在［一4,一2］,［后,遞減，在卜2,-，上遞增，

由于/）是奇函數(shù)，所以八%）在［2,4］,［0曰遞減，在原2］上遞增，

所以B選項正確，D選項正確.

由于/Q）在售,2］上遞增,所以啕<花）,所以c選項錯誤.

故選：ABD

11、下列結(jié)論正確的是（）

171919

A.0.8>0.8>2->OB.log23>log^>log45>1

C.log02^<log036<log046<0D.sin拳>sin耳>sin（一等）

答案：AB

解析：

【分析】

根據(jù)函數(shù)y=0.8*和）/=爐。的單調(diào)性，即可判斷A是否正確；作出函數(shù)函數(shù)y=log2x,y=log3x,y=log4x

5

的函數(shù)圖象，根據(jù)圖像即可判斷B是否正確；作出函數(shù)曠=/。90.2%/=，。90.3.、=/。90.4%的函數(shù)圖象，根據(jù)

圖像即可判斷C是否正確；利用誘導公式，即可判斷D是否正確.

【詳解】

因為函數(shù)y=0.8工是單調(diào)遞減函數(shù)，所以0.8">0.819；

函數(shù)y=爐9在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以0.8】9>《)>0,即0.8”>0.819>2-19>0,故A正確；

作出函數(shù)y=log2x,y=log3x,y=Zogd的函數(shù)圖象，如下圖所示:

由圖象可知，log23>log34>log45>1；故B正確;

作出函數(shù)y=logQ2x,y=log03x,y=的函數(shù)圖象，如下圖所示:

v

sizt(----)——sin(-57rH—)———sin————,

6662

6

所以s山等〉sin(—等)〉sin詈，故D錯誤.

故選：AB.

12、下列說法正確的是()

A.%)=9與93={5短00表示同一函數(shù)

B.函數(shù)y=/(%)的圖象與直線x=1的交點最多有：!■個

C./(x)=1+靖+1恒過點(一1,2)

D./(%)=%T在定義域內(nèi)單調(diào)遞減

答案：BC

解析：

【分析】

根據(jù)相同函數(shù)、函數(shù)的定義、函數(shù)值的求法對選項進行分析，由此確定正確選項.

【詳解】

A,/(為的定義域為{x|x芋0},g(x)的定義域為R,不是相同函數(shù)，A錯誤.

B,根據(jù)函數(shù)的定義可知B選項正確.

C,因為/(一1)=2,所以C正確.

D,因為/6)=2,/(0)=1,所以D錯誤.

故選：BC

填空題(共3個，分值共：)

13、設非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=2,(b,c)=120°,則網(wǎng)的最大值為.

答案：手#雙百

解析：

【分析】

將a+b+c=0變形為a=—(b+c),則|a|2=|b+c『，展開后的看成關于|c|的一元二次方程，根據(jù)方程有

解，判別式大于或等于零即可求出網(wǎng)的最大值.

【詳解】

??,a+b+c=0,

???a=_(b+c),

-\a\2=\b\2+2\b\\c\cosl20°+|c|2,

即卜|2-|卅卜|+網(wǎng)2—4=0,

4=聞2-4(網(wǎng)2—4)》0,

解得0<|b|<竽，即聞的最大值為手.

故答案為：竽.

7

3ln2

14、252-(-3)2x(3|)-3+(yr-V3)0+log(,2+log63+IgO.OOl+e=.

答案：8

解析：

【分析】

根據(jù)指數(shù)哥和對數(shù)的運算公式，準確運算，即可求解.

【詳解】

由指數(shù)塞和對數(shù)的運算公式得：

_2

3-3

原式=5-9x償)+1+(log62+1。方3)+Z^IO+8

一4

=5-9x—+14-log56—3+8

9

=5—4+1+1—3+8=8.

故答案為：8.

15、如果函數(shù)外為滿足在集合N*上的值域仍是集合N*,則把函數(shù)/(%)稱為H函數(shù).例如：/(%)=%就是”函

數(shù).下列函數(shù)：①y=%2；(2)y=2x-1；(3)y=[Vx]；④g(x)=[/nx]+1中，是”函數(shù)(只需填

寫編號)(注："[x]"表示不超過x的最大整數(shù)).

答案：③④

解析：

【分析】

根據(jù)新定義進行判斷.

【詳解】

根據(jù)定義可以判斷①②在集合N*上的值域不是集合N*,顯然不是H函數(shù).③④是H函數(shù).

③丫二[歷]是H函數(shù)，證明如下：

顯然Vx€N*,y=[Vx]GN*

不妨設y=[Vx]=m,可得m—1<>/x<m,BP(m—I)2<x<m2

vVxG恒有?n2—(m—l)2=2m—1>1成立

Vxe/V*,滿足(m-l)2<x<m2

VmGN*,總存在VxEN*滿足[正]=m

y=[a]是H函數(shù).

④g(x)=[)x]+1是H函數(shù)，證明如下：

顯然VxeN*,g(x)=[Inx]+1€N*

不妨設g(x)=\lnx]+1=k,可得k—1<Inx<k,即1<ek-1<x<ek

VxGN*,恒有e"—efe-1=ek-1(e—1)>1成立

：.yk€N*,滿足e"TWx<ek

8

VkeN*,總存在VxeN*滿足口nx]+1=k

???g（x）=[Inx]+1是，函數(shù)?

故答案為：③④

解答題（共6個，分值共：）

16、如圖，兩條筆直的公路相交成60。角，兩輛汽車A和8同時從交點。出發(fā)，分別沿兩條公路行駛.如果

汽車A的速度是48km/h,那么汽車B應以多大的速度行駛，才能使這兩輛汽車在出發(fā)lh后相距43km（結(jié)果

精確到lkm/h）?

答案：35km/h^,13km/h

解析：

【分析】

設1小時后，汽車4在4點，汽車B在B點，問題即為，在三角形40B中，已知4。=48,AB=43,且

乙408=60。，求OB的長，利用余弦定理，列出OB的方程，解出OB即可.

【詳解】

如圖：

設1小時后，汽車4在4點，汽車B在B點，

由已知：在AAOB中，。4=48,AB=43,/-AOB=60°,

由余弦定理得AB?=OA2+0B2-20A-OBcos乙AOB,

即432=482+05-2x48xOBx芯

化簡得。依-48x06+455=0,

解得08=35或13

汽車B的速度是35km",或13km/八時，兩輛汽車在出發(fā)1九后相距43km.

17、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點，求荏?麗的值.

9

解析：

【分析】

以而、而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標系，用坐標法直接計算即可.

【詳解】

以而'而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標系.

則A(0,0),B(2,0),F(0,l),E(l,2),所以荏=(1,2),BF=(-2,1)

所以荏-BF=1x(-2)+2x1=0.

18、如圖，已知A(-2,1),B(1,3).

⑴求線段AB的中點M的坐標；

⑵若點P是線段AB的一個三等分點，求點P的坐標.

答案：⑴M(*,2)；

(2)P(—1,|)或P(04).

解析：

【分析】

(1)根據(jù)中點坐標公式進行求解即可；

(2)根據(jù)平面共線向量的性質(zhì)進行求解即可.

10

⑴

設

因為A(-2,1),B(1,3),

所以x==_：,y=等=2,即M(-：,2)；

(2)

設P(x,y),

,—.1—.,.1fx+2=ix3(x=-15

當時，有(x+2,y-l)=g(3,2)={:=v—9=P(T，》；

33(^y-l=ix2[y-33

當初=|適時，有Q+2,y-1)二|(3,2)=卜+2-|“3=[：]%P(0,1).

33|^y-l=-x2[.y-33

19、如圖，一艘船從港口0出發(fā)往南偏東75。方向航行了100km到達港口4然后往北偏東60。方向航行了

160km到達港口B.試用向量分解知識求從出發(fā)點。到港口B的直線距離(夜x1.414,7145.56?12.065,

結(jié)果精確到O.Mm).(提示：將65,荏分解為垂直的兩個向量.)

答案：241.3km

解析：

【分析】

建立直角坐標系，利用平面向量的坐標表示公式，結(jié)合平面向量加法的幾何意義和坐標表示公式進行求解即

可.

【詳解】

建立如圖所示的坐標系：

11

于是有：si幾15°=券=AC=100sml50,cos15°=需=。。=100cosl5°,

sm30°=—=>BE—160s譏30°=80,cos30°=—=>AE—160cos30°=80V

BABA

所以函=(100cosl50,—100smi50)，標=(80V3,80),

因為耐=OA+AB=(100cosl5°+80V3,-100sml5°+80),所以有：

畫____________________

=J(100cosl50+80百/+(-i00sinl50+80)2

J(100cosl50)2+(80V3)2+(-100sinl5°)2+802+16000V3cosl50-16000sinl50

=735600+32000cos45"

=20J89+40V2

*20289+40x1.414

=202145.56

?20x12.065

=241.3

20、在平面直角坐標系xOy中，向量G,b,B的方向如圖所示，且⑷=2,同=3,⑹=4,分別求它們的

坐標.

12

=（2V3,-2）

解析:

【分析】

分別設