第25章隨機事件的概率復習講義一、知識點講解：1．概率初步的有關概念:（1）必然事件是指一定能發(fā)生的事件，或者說發(fā)生的可能性是100%；（2）不可能事件是指一定不能發(fā)生的事件；（3）隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。2．計算簡單事件發(fā)生的概率：公式：概率P=.概率P的取值范圍是：0≤P≤1二、題型：（一）判斷事件的類型:1.下列事件屬必然事件的是（B）、打開電視機，正在直播NBA籃球賽、早晨太陽一定從東方升起C、擲兩次硬幣，一定有一次正面朝上、365人中一定有兩人同一天出生2.下列事件中屬于隨機事件的是（C）A.今天是星期一，明天是星期二 B.從一個裝滿紅球的袋子里摸出了一個白球C.擲一枚質地均勻的硬幣正面朝上 D.拋出的籃球會下落【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，即可解答．解：A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本選項不符合題意；

B、從一個裝滿紅球的袋子里摸出了一個白球是不可能事件，故本選項不符合題意；

C、擲一枚質地均勻的硬幣正面朝上是隨機事件，故本選項符合題意；

D、拋出的籃球會下落是必然事件，故本選項不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了隨機事件，必然事件，不可能事件，解題的關鍵是熟掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．（二）、理解概率的意義1.下列說法正確的是（D）A、“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在下雨B、“拋擲一枚均勻的硬幣正面朝上的概率是”表示每拋擲2次就有一次正面朝上C、“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票肯定會中獎D、“拋擲一枚正方體骰子，朝上的點數(shù)為2的概率是”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“朝上的點數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近分析：概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生．解：A、“明天下雨的概率為80%”指的是明天下雨的可能性是80%，錯誤；B、這是一個隨機事件，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先無法預料，錯誤；C、這是一個隨機事件，買這種彩票，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預料，錯誤．D、正確故選D．點評：正確理解概率的含義是解決本題的關鍵．2.下列說法正確的是（A）A、25人中至少有3人的出生月份相同B、任意拋擲一枚均勻的1元硬幣，若上一次正面朝上，則下一次一定反面朝上C、天氣預報說明天降雨的概率為10%，則明天一定是晴天D、任意拋擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)小于3的概率是分析：根據概率的意義對各選項分析判斷后利用排除法求解。解：A、25人中至少有3人的出生月份相同，原說法正確，故這個選項符合題意；B、任意拋擲一枚均勻的1元硬幣，若上一次正面朝上，則下一次可能正面朝上，也反面朝上，故這個選項不符合題意；C、天氣預報說明天降雨的概率為10%，則明天一定是晴天，原說法錯誤，故這個選項不符合題意；D、任意拋擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)小于3有2種可能，其概率是，原說法錯誤，故這個選項不符合題意。故選A（三）求事件的概率：（Ⅰ）求簡單隨機事件的概率：1．中國動車組二等座車廂座位編號采用3＋2座位模式，即每排都有A，B，C，D，F(xiàn)五個座位，其中A和F是靠窗的座位，C和D是靠過道位子，B是三人座中間位子．某天，李老師計劃從南充坐動車前往成都出差學習，他在鐵路12306平臺上購買二等座動車票，若購票時系統(tǒng)隨機為每位乘客分配座位，則他的座位是靠窗的概率是．【分析】直接由概率公式求解即可．解：∵動車上二等座車廂每排都有A，B，C，D，F(xiàn)五個座位，其中A和F是靠窗的座位，∴小劉的座位是靠窗的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．2.有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面點數(shù)記為x，計算，則其結果恰為2的概率是（C）A.B.C.D.試題分析：先求出絕對值方程的解，即可解決問題．∵，∴或6．∴其結果恰為2的概率考點：（1）列表法與樹狀圖法；（2）絕對值；（3）概率的意義3.有背面完全相同，正面分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，并從中隨機抽取一張，則抽中正面的圖形一定是軸對稱圖形的卡片的概率為；【答案】4.有六張分別印有等邊三角形、正方形、等腰梯形、正五邊形、矩形、正六邊形圖案的卡片（這些卡片除圖案不同外，其余均相同）?，F(xiàn)將有圖案的一面朝下任意擺放，從中任意抽取一張，抽到卡片的圖案既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的概率為；【答案】5．在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為①，②，③，④，隨機地摸出一個小球，記錄后放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球的標號相同的概率是（C）A．B．C．D．解：畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結果，兩次摸出的小球的標號相同的有4種情況，∴兩次摸出的小球的標號相同的概率是：．故選C．6．已知關于x的方程，如果從1、2、3、4、5、6六個數(shù)中任取一個數(shù)作為方程的常數(shù)項m，那么所得方程有實數(shù)根的概率是．【分析】根據一元二次方程根的判別式求出m的取值范圍，再用概率公式求出方程有實數(shù)根的概率即可．解：∵方程有實數(shù)根，∴，解得：m≤4，六個數(shù)中符合條件的有：1、2、3、4，共4個；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和概率的求法，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有實根；否則，方程無實根．7.一個不透明的口袋中有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字﹣2，0，1，4．隨機摸出一個小球記作m，然后放回，再隨機摸出一個小球記作n，則方程是關于x的一元二次方程且此方程無解的概率為___．【分析】先由一元二次方程解根的判別式求出，再列表將所有等可能的結果列舉出來，然后利用概率公式求解即可．解：∵一元二次方程無實數(shù)根，，且，即，且，，且，畫樹狀圖如下：由此知，共有16種等可能結果，其中且的有4種結果，所以方程是關于x的一元二次方程且此方程無解的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程解根的判別式，列表法或樹狀圖的知識，解題的關鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結果列舉出來，難度不大．8.有六張除數(shù)字外都相同的卡片，分別寫有，0，1，2，3，4這六個數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任意抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則使關于x的方程有解的概率是；【答案】解：，，且且使分式方程有解的的值有4個使關于x的方程有解的概率是9．在四個完全相同的小球上分別寫上1，2，3，4四個數(shù)字，然后裝入一個不透明的口袋內攪勻，從口袋內取出一個球記下數(shù)字后作為點P的橫坐標x，放回袋中攪勻，然后再從袋中取出一個球記下數(shù)字后作為點P的縱坐標y，則點落在直線上的概率是．解：列表得：12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）∵共有16種等可能的結果，數(shù)字x、y滿足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴數(shù)字x、y滿足的概率為：．10．一個袋中裝有m個紅球，n個白球，6個黃球，每個球除顏色外其余都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率為，則的值為．【分析】根據概率公式進行計算即可得．概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．解：∵一共有個球，黃球有6個，摸到黃球的概率為，∴，解得：，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了已知概率，求參數(shù)，解題的關鍵是掌握概率公式，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．11.如圖的四個轉盤中，C、D轉盤分成8等分，若讓轉盤自由轉動一次，停止后，指針落在陰影區(qū)域內的概率最大的轉盤是（A）A. B. C. D.解：A．如圖所示：指針落在陰影區(qū)域內的概率為：；B．如圖所示：指針落在陰影區(qū)域內的概率為：；C．如圖所示：指針落在陰影區(qū)域內的概率為：；D．如圖所示：指針落在陰影區(qū)域內的概率為：，∵，∴指針落在陰影區(qū)域內的概率最大的轉盤是：．故選：A．【點睛】本題考查幾何概率．12.如圖，點O為正方形的中心，點E、F分別在正方形的邊上，且∠EOF=90°，隨機地往圖中投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率是；【答案】【分析】米粒落在圖中陰影部分的概率就是陰影部分的面積同正方形總面積的比．解：設正方形為ABCD，故點O作OH⊥BC于點H，作OG⊥AB于點G，∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，∴∠EOG＝∠HOF，∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，∴△OGE≌△OHF（AAS），∴S△OGE＝S△OHF，∴S陰影＝S正方形OGBH＝S正方形ABCD，在正方形中，滿足點E、F分別在正方形的邊上（此處采用極限思想），且∠EOF＝90°的圖形如圖所示：因此EOF的面積是正方形總面積的，因此米粒落在圖中陰影部分的概率是．13.如圖，在一次游園活動中，數(shù)學小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子擊中了鑼面，他擊中陰影部分的概率是；【答案】解：∵∠ABC＝90°，AC＝5cm，AB＝3cm，∴由勾股定理得：BC＝4cm，∴S△ABC＝AB?BC＝×3×4＝6（cm2），∴S陰影＝S正方形﹣4S△ABC＝52﹣4×6＝1（cm2），∴小明蒙上眼睛用棍子擊中了鑼面，他擊中陰影部分的概率是，故答案為：．14．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是.【分析】根據圖象的對稱性求出黑色圖形的面積，結合幾何概型的概率公式進行求解即可．解：根據圖象的對稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設圓的半徑為1，則正方形的邊長為2，則黑色部分的面積S＝，則對應概率P＝＝，故答案為.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據對稱性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關鍵．（Ⅱ）用列表法或樹狀圖法求較復雜事件的概率：1.初三年級“黃金分割項目活動”展示，為了解全體初三年級同學的活動成績，抽取了部分參加活動的同學的成績進行統(tǒng)計后，分為“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“較差”四個等級，并根據成績繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合統(tǒng)計圖中的信息，回答下列問題：（1）扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應扇形的圓心角為度，并將條形統(tǒng)計圖補充完整．（2）如果學校初三年級共有340名學生，則參加“黃金分割項目活動”比賽成績良好的學生有人．（3）此次活動中有四名同學獲得滿分，分別是甲，乙，丙，丁，現(xiàn)從這四名同學中挑選網名同學參加校外舉行的“黃金分割項目活動”展示，請用列表法或畫樹狀圖法，求出選中的兩名同學恰好是甲、丁的概率．【分析】（1）由周角乘以“優(yōu)秀”所對應的扇形的百分數(shù)，得出“優(yōu)秀”所對應的扇形的圓心角度數(shù)；求出全年級總人數(shù)，得出“良好”的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可；（2）根據比賽成績良好的占比乘以340即可求解；（3）畫出樹狀圖，由概率公式即可得出答案．解：（1）；故答案為：；全年級總人數(shù)為（人），“良好”的人數(shù)為（人），將條形統(tǒng)計圖補充完整，如圖所示：（2）參加“黃金分割項目活動”比賽成績良好的學生有：（人），故答案為：；（3）畫樹狀圖，如圖所示：

共有個可能的結果，選中的兩名同學恰好是甲、丁的結果有2個，∴（選中的兩名同學恰好是甲、?。?．2.某校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內容，為學生開設五類社團活動（要求每人必須參加且只參加一類活動）：A．音樂社團；B．體育社團；C．美術社團；D．文學社團；E．電腦編程社團，該校為了解學生對這五類社團活動的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調查統(tǒng)計，并根據調查結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）此次調查一共隨機抽取了___________名學生，補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計圖中圓心角___________度；（3）現(xiàn)從“文學社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率．【分析】（1）用B類型社團的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調查的總人數(shù)；用總人數(shù)減去A、B、D、E四個類型社團的人數(shù)得到C類型社團的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用乘以C類型社團的人數(shù)占比即可求出扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到恰好選中甲和乙兩名同學的結果數(shù)，最后依據概率計算公式求解即可．解：(1)(人)，C類型社團的人數(shù)為(人)，補全條形統(tǒng)計圖如圖，故答案為：200；(2)，故答案為：54；(3)畫樹狀圖如下：∵共有12種等可能的結果，其中恰好選中甲、乙兩名同學的結果有2種，∴恰好選中甲、乙兩名同學的概率為．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計圖并畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．3.“雙減”政策實施后，某校為豐富學生的課余生活，開設了A書法，B繪畫，C舞蹈，D跆拳道四類興趣班．為了解學生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學生進行了問卷調查，并將調查結果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據統(tǒng)計圖信息回答下列問題．（1）本次抽取調查學生共有___________人，估計該校3000名學生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為___________人．（2）請將以上兩個統(tǒng)計圖補充完整．（3）甲、乙兩名學生要選擇參加興趣班，若他們每人從A，B，C，D四類興趣班中隨機選取一類，請用畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率．解：（1）本次抽取調查學生的總人數(shù)為（人），估計該校3000名學生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為（人），故答案為：60，300．（2）喜歡書法的學生人數(shù)人（人），喜歡舞蹈的學生所占百分比為，喜歡跆拳道的學生所占百分比為．則補全兩個統(tǒng)計圖如下：（3）由題意，畫樹狀圖如下：由圖可知，甲、乙兩名學生選擇參加興趣班的所有等可能的結果共有16種，其中，兩人恰好選擇同一類的結果有4種，則兩人恰好選擇同一類的概率為，答：兩人恰好選擇同一類的概率為．4．為慶祝中國共產主義青年團成立周年，某校舉行了“青年大學習，強國你我他”知識競賽活動．李老師賽后隨機抽取了部分學生的成績(單位：分，均為整數(shù))，按成績劃分為A，B，C，D四個等級，并制作了如下不完整的統(tǒng)計圖表．等級成績x/分人數(shù)A7(1)求表中的值；(2)若全校共有名學生參加了此次競賽，成績等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)榈燃壍膶W生共有多少人？(3)若等級的名學生中有人滿分，設這名學生分別為，，，從其中隨機抽取人參加市級決賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到，的概率．【分析】（1）先用A等級人數(shù)除以其所占比例得出總人數(shù)，所占比例可以用扇形統(tǒng)計圖中A對應圓心角除以來計算，再用總人數(shù)減去其他組別的人數(shù)即可；（2）用學校參賽學生數(shù)乘以被調查學生中A等級所占比例計算即可；（3）利用樹狀圖法或者列表法計算概率即可．解：（1）抽取的學生人數(shù)為：(人，，（2）(人，答：估計該校成績?yōu)榈燃壍膶W生共有人；（3）畫樹狀圖如下：共有種等可能的結果，其中恰好抽到，的結果有種，恰好抽到，的概率為，答：恰好抽到，的概率為．【點睛】本題考查統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖的相關知識，列表法或畫樹狀圖求概率，掌握審清題意讀懂統(tǒng)計圖表和會用利用樹狀圖法或者列表法求概率是解題的關鍵．5.為貫徹落實黨的二十大關于深化全民閱讀活動的重要部署，教育部印發(fā)了《全國青少年學生讀書行動實施方案》，于是某中學開展了以“書香潤校園，好書伴成長”為主題的系列讀書活動．學校為了解學生周末的閱讀情況，采用隨機抽樣的方式獲取了若干名學生的周末閱讀時間數(shù)據，整理后得到下列不完整的圖表：類別A類B類C類D類閱讀時長t（小時）頻數(shù)8mn4請根據圖表中提供的信息，解答下面的問題：（1）此次調查共抽取了_________名學生，_________，_________；（2）扇形統(tǒng)計圖中，B類所對應的扇形的圓心角是_________度；（3）已知在D類4名學生中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機抽取兩人參加閱讀分享活動，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．解：（1）(名)，，，故答案為：40，18，10；（2），故答案為：162；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中一名男生和一名女生的結果數(shù)為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．6.某校的學生除了體育課要進行體育鍛煉外，寒暑假期間還要自己抽時間進行體育鍛煉，為了了解同學們假期體育鍛煉的情況，開學時體育老師隨機抽取了部分同學進行調查，按鍛煉的時間x（分鐘）分為以下四類：A類（），B類（），C類（），D類（），對調查結果進行整理并繪制了如圖所示的不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請結合圖中的信息解答下列各題：人數(shù)折線統(tǒng)計圖人數(shù)折線統(tǒng)計圖DCAB人數(shù)（人）48362460類型40%DCAB人數(shù)占調查總人數(shù)的百分比扇形統(tǒng)計圖42（1）扇形統(tǒng)計圖中D類所對應的圓心角度數(shù)為，并補全折線統(tǒng)計圖；（2）現(xiàn)從A類中選出兩名男同學和三名女同學，從以上五名同學中隨機抽取兩名同學進行采訪，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到的學生恰好是一男一女的概率。解：（1）（2）用A表示女生，B表示男生，畫樹狀圖如下：開始開始AAABBAAABBBAAABBAAABAAABB共有20種情況，其中一男一女有12種情況。故抽到學生恰好是一男一女的概率7.在一個不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字，，0，3的四個小球，除數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別，每次試驗先攪拌均勻。（1）從中任取一球，將球上的數(shù)字記為a，求關于x的一元二次方程有實數(shù)根的概率；（2）從中任取一球，將球上的數(shù)字作為點的橫坐標記為x（不放回），再任取一球，將球上的數(shù)字作為點的縱坐標，記為y，用樹狀圖或列表法表示出點（x，y）所有可能出現(xiàn)的結果，并求點（x，y）落在第二象限內的概率。解：（1）∵一元二次方程有實數(shù)根∴，且，∴∵數(shù)字，，0，3中，小于0的有，∴關于x的一元二次方程有實數(shù)根的概率為（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果：（，），（，0），（，3），（，），（，0），（，3），（0，），（0，），（0，3），（3，），（3，），（3，0），其中落在第二象限內的有：（，3），（，3），共2種結果，∴點（x，y）落在第二象限內的概率為【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、根的判別式，熟練掌握列表法與樹狀圖法、根的判別式以及概率公式是解答本題的關鍵。8．袋中裝有大小相同的2個紅球和2個綠球．（1）先從袋中摸出1個球后放回，混合均勻后再摸出1個球．①求第一次摸到綠球，第二次摸到紅球的概率；②求兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率；（2）先從袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，則兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概