立體幾何空間向量與立體幾何學案思維導圖基礎夯實【核心知識整合】考點1：空間向量及其線性運算1.空間向量的概念（1）空間向量及空間向量的模：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.（2）空間向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作，其模記為或.（3）零向量：規(guī)定長度為0的向量叫零向量，記為0.（4）單位向量：模為1的向量叫單位向量.（5）相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為a.（6）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有.（7）相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.2.空間向量的運算律a.空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算：（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，.b.空間向量線性運算的運算律：交換律：；結合律：，；分配律：，.（其中，）3.共線向量和共面向量（1）共線向量：對任意兩個空間向量a，b（），的充要條件是存在實數(shù)，使.（2）直線的方向向量：O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得.把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.（3）共面向量：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面或在平面內，那么稱向量a平行于平面.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對，使.考點2：空間向量的數(shù)量積運算1.空間向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作，，則叫做向量a，b的夾角，記作.如果，那么向量a，b互相垂直，記作.2.空間向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數(shù)量積，記作.即.特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.由向量的數(shù)量積定義，可以得到：；.3.空間向量數(shù)量積的運算律：，；（交換律）；（分配律）.考點3：空間向量基本定理1.空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組（x，y，z）.使得.2.如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是.這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.3.單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解考點4：空間向量及其運算的坐標表示1.空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分.2.空間向量運算的坐標表示（1）空間向量運算的坐標表示：設，，則，，，，.（2）空間向量的平行、垂直、長度和夾角余弦的坐標表示：當時，，，；；；.（3）空間兩點間的距離公式：設，是空間中任意兩點，則.考點5：用空間向量研究直線、平面的位置關系1.空間直線的向量表示式取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使①，將代人①式，得②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.2.空間平面的向量表示式取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數(shù)x，使③.我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.3.空間中直線、平面的平行①直線與直線平行：設，分別是直線，的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行，所以，使得.②直線與平面平行：設u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，，則.③平面與平面平行：設，分別是平面，的法向量，則，使得.4.空間中直線、平面的垂直①直線與直線垂直：設直線，的方向向量分別為，，則.②直線與平面垂直：直線l的方向向量為u，平面的法向量為n，則，使得.③平面與平面垂直：設平面，的法向量分別為，，則.考點6：用空間向量研究距離、夾角問題1.點到直線的距離如圖，向量在直線l上的投影向量為，設，則向量在直線l上的投影向量.在中，由勾股定理，得.2.點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為n，A是平面內的定點，P是平面外一點.過點P作平面的垂線l，交平面于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面的距離就是在直線l上的投影向量的長度.因此.3.異面直線所成的角若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.4.直線與平面所成的角直線AB與平面相交于點B，設直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則.5.二面角若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面與平面的夾角為，則提升探究[典型例題]1.已知向量，，若，則實數(shù)m的值為()[答案]D[解析]易知不滿足題意，所以，則由得，解得，故選D.2.已知平面內有兩點，，若平面的一個法向量為，則()A. B.[答案]C[解析]，由題知，所以，解得.3.已知正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為4，E為的中點，則點到平面BDE的距離為()A. C. D.[答案]D[解析]如圖，以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面BDE的法向量為，則令，則，，即.所以點到平面BDE的距離.故選D.4.已知正三棱柱的棱長均為a，D是側棱的中點，則平面ABC與平面所成角的余弦值為()A. B. C.[答案]B[解析]以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的一個法向量為，則取，得.又平面ABC的一個法向量為，所以，即平面ABC與平面所成角的余弦值為.[變式訓練]1.已知正三棱柱的各棱長都是2，E，F(xiàn)分別是，的中點，則EF的長是() B. C. D.[答案]C[解析]方法一：由題意知，，，又，所以，所以.方法二：取AC的中點O，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，.方法三：設AC的中點為G，連接GE，GF.在中，.2.如圖，圓臺的高為4，上、下底面半徑分別為3，5，，分別為下底面圓和上底面圓的圓心，M，N分別在上、下底面圓的圓周上，且，則()A. B. C.[答案]A[解析]，，，.又，，，.3.（多選）如圖1，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，如圖2，若P，Q分別為直線BD，CA上的動點，則下列說法正確的是()A.平面平面BCDB.當，時，點D到直線PQ的距離為C.線段PQ的最小值為D.當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為[答案]ACD[解析]取BD的中點O，連接OA，OC，由題意可知，，因為，所以，又，，所以平面BCD，因為平面ABD，所以平面平面BCD，故A正確；以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，當，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故B錯誤；設，由，得，則，故，當，時，，故C正確；當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設PQ與AD所成的角為，則，即PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確.4.設，，若，則___________.[答案]9[解析]由，得，解得，，，.素養(yǎng)提升【規(guī)律總結】1．利用空間向量求空間角的一般步驟：(1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求出相關點的坐標，寫出相關向量的坐標．(3)結合公式進