四年級第二學(xué)期知識點(diǎn)匯總（其中“注”的部分是我自己的教學(xué)思路提示，大家可以自己補(bǔ)充。）目錄（按住ctrl并單擊鼠標(biāo)直接轉(zhuǎn)到相應(yīng)單元）TOC\o"1-9"\h\u第一單元四則運(yùn)算 ④將后面左下角（即無法被直接看到的后面、左面、下面的交點(diǎn)）的3條線段擦去（或變?yōu)樘摼€），表示后面、左面、下面被遮擋在已知正方體上下左右面添加正方體因?yàn)橐阎襟w的正面和在上、下、左、右面添加正方體的正面相鄰，因此先畫出所添加正方體的正面，再按照畫正方體的方法分別畫出其他面，最后處理遮擋情況。下面演示在已知正方體右面添加一個(gè)正方體的步驟。在已知正方體前后面添加正方體在已知正方體前后面添加正方體的方法略有不同，在前面添加，應(yīng)將前面當(dāng)做添加的新正方體的后面（反之，在后面添加，應(yīng)將后面當(dāng)做添加的新正方體的前面）。下面演示在已知正方體前面添加一個(gè)正方體的步驟（略有不同，先延長四條側(cè)棱，再確定新正方體的前面）。處理遮擋關(guān)系因?yàn)橐话闶菑挠?、前、上方觀察、繪制正方體構(gòu)成的圖形，因此遮擋關(guān)系就是“前面遮擋后面”、“右面遮擋左面”、“上面遮擋下面”，或是先確定離觀察者最近的一面，在此面范圍內(nèi)的其他面含有的線段都應(yīng)被遮擋、擦去。第三單元運(yùn)算定律注：此處只列舉基本知識點(diǎn)，應(yīng)用與拓展詳見另文“四年級下冊數(shù)學(xué)簡算規(guī)律、應(yīng)用及常見錯(cuò)誤”加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。a＋b=b＋aP17加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。（a＋b）＋c=a＋（b＋c）P18注：加法交換律和加法結(jié)合律一般合起來使用，將湊整、好算的放在一起先算。例：127＋28＋73發(fā)現(xiàn)可以湊整例：127＋28＋73發(fā)現(xiàn)可以湊整=（127＋73）＋28利用加法交換律、加法=200＋28結(jié)合律先算湊整的=228加法的驗(yàn)算：交換加數(shù)，或者用和減去其中一個(gè)加數(shù)。減法的驗(yàn)算：用被減數(shù)減去差，或者用減數(shù)加上差，推薦用加法驗(yàn)算。減法的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)減去后兩個(gè)數(shù)的和，差不變。a－b－c=a－（b＋c）或是：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以先減去后一個(gè)減數(shù)，再減去前一個(gè)減數(shù)，差不變。a－b－c=a－c－b拓展：a－b＋c=a－（b－c）口訣：小括號前面是減號，小括號增減要變號（加變減，減變加）。例：235－147－53發(fā)現(xiàn)兩個(gè)減數(shù)能夠湊整例：235－147－53發(fā)現(xiàn)兩個(gè)減數(shù)能夠湊整=235－（147＋53）先把兩個(gè)減數(shù)相加，小括號！=235－200相加的數(shù)不一定能夠湊整百哦=35等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2P22練習(xí)六第4題注：主要讓學(xué)生明白“找對子湊數(shù)”的方法即可。乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變。a×b=b×aP24乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先乘前兩個(gè)數(shù)，或者先乘后兩個(gè)數(shù)，積不變。（a×b）×c=a×（b×c）P25例：4例：4×17×25發(fā)現(xiàn)乘積可以湊整=（4×25）×17利用乘法交換律、乘法=100×17結(jié)合律先算湊整的=1700交換律的特征：數(shù)字不變，位置交換。結(jié)合律的特征：數(shù)字不變，位置不變，用小括號改變了運(yùn)算順序。乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。（a＋b）×c=a×c＋b×c或者a×（b＋c）=a×b＋a×c例：17例：17×86＋14×17發(fā)現(xiàn)兩個(gè)乘法有共同因數(shù)=（14＋86）×17提取共同因數(shù)，其他相加=100×17相加的數(shù)一般能夠湊整=1700乘法分配律的應(yīng)用要點(diǎn)：確定共同因數(shù)乘法分配律的逆用與拓展：逆用：a×c＋b×c=（a＋b）×c拓展：（a－b）×c=a×c－b×c（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c（a－b）÷c=a÷c－b÷c除法的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)除以后兩個(gè)數(shù)的積，商不變。a÷b÷c=a÷（b×c）P29或是：一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)先除以后一個(gè)除數(shù)，再除以前一個(gè)除數(shù)，商不變。a÷b÷c=a÷c÷b拓展：a÷b×c=a÷（b÷c）口訣：小括號前面是除號，小括號增減要變號（乘變除以，除以變乘）。例：560例：560÷16÷5發(fā)現(xiàn)兩個(gè)除數(shù)乘積能夠湊整=560÷（16×5）先把兩個(gè)除數(shù)相乘，小括號！=560÷80相乘的積一定能夠整除被除數(shù)=7例：280例：280÷35發(fā)現(xiàn)直接除不方便，且除數(shù)可以分解=280÷（7×5）分解成兩個(gè)因數(shù)，好算的放前面=280÷7÷5去括號，前面的一定要能夠口算=40÷5=8需要牢記的特殊的乘積：2×5=104×25=1008×125=1000第四單元小數(shù)的意義和性質(zhì)小數(shù)的產(chǎn)生：在進(jìn)行測量和計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)常用小數(shù)來表示。P32小數(shù)的意義：分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示（即小數(shù)可以表示十分之幾、百分之幾、千分之幾……的分?jǐn)?shù)）。P33例如：表示357個(gè)，357個(gè)百分之一，或者百分之三百五十七（）小數(shù)的計(jì)數(shù)單位：小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作、、……P33進(jìn)率：每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。P33小數(shù)讀寫法：小數(shù)中，整數(shù)部分讀寫法與整數(shù)相同；小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”；小數(shù)部分讀寫不帶計(jì)數(shù)單位，而是從高位到低位依次讀寫，有幾個(gè)0就讀寫幾個(gè)零。P35注：讀寫法可以互相作為驗(yàn)證方法。數(shù)軸的解讀和標(biāo)注：數(shù)軸由原點(diǎn)、正方向和單位長度組成（不要求掌握）。解讀和標(biāo)注的時(shí)候，注意每一小格所代表的大小，可以由一大格平均分成幾小格來進(jìn)行計(jì)算，數(shù)軸上的數(shù)越右邊的越大。P37、42商品標(biāo)價(jià)的一般格式：商品標(biāo)價(jià)一般用兩位小數(shù)表示。P38小數(shù)的性質(zhì)：小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。P39例如：==12=……小數(shù)的性質(zhì)的本質(zhì)：小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，不改變其它數(shù)字所在的數(shù)位，也不改變它們表示的大?。ㄎ恢担?，所以對整個(gè)小數(shù)的大小沒有影響。但是，添上“0”或者去掉“0”，小數(shù)的計(jì)數(shù)單位變了，精確度也變了，數(shù)位多的小數(shù)精確度高（注：可以結(jié)合將要學(xué)習(xí)的求近似數(shù)，確定大小相同但精度不同的小數(shù)的近似范圍，可以看出精確度高的近似數(shù)范圍要小很多）。例如：的計(jì)數(shù)單位是，表示有35個(gè)而的計(jì)數(shù)單位是，表示有350個(gè)更加精確小數(shù)的大小比較方法：與整數(shù)比較方法相同，將小數(shù)點(diǎn)對齊，也就是將數(shù)位對齊，從高位到低位，依次比較大?。ㄕ麛?shù)部分大的一定就大）。單位不一樣的要化成同一單位再進(jìn)行比較。有多個(gè)數(shù)據(jù)的，化成同一單位后，對齊小數(shù)點(diǎn)再進(jìn)行比較！10、小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)：P43小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，小數(shù)就擴(kuò)大到原數(shù)的10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，小數(shù)就擴(kuò)大到原數(shù)的100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，小數(shù)就擴(kuò)大到原數(shù)的1000倍；……小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，小數(shù)就縮小到原數(shù)的；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，小數(shù)就縮小到原數(shù)的；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，小數(shù)就縮小到原數(shù)的；……11、組數(shù)規(guī)則：最小的數(shù)：把所有數(shù)字從小到大依次排列，若0作為整數(shù)部分的開頭（除個(gè)位），則把第一個(gè)非0數(shù)字放在最前面。最大的數(shù)：把所有數(shù)字從大到小依次排列。例如：用3、6、8、0和小數(shù)點(diǎn)組成兩位小數(shù)（一定要看條件是組成幾位小數(shù)?。?，最?。合葟男〉酱笈帕?368，在合適的位置添上小數(shù)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)0不能做整數(shù)最前面的數(shù)（個(gè)位除外），調(diào)整前兩個(gè)數(shù)字的位置，得最大：先從大到小排列8630，在合適的位置添上小數(shù)點(diǎn)檢查，OK12、單位換算方法：（1）先判斷換算類型：高化低，乘以進(jìn)率；低聚高，除以進(jìn)率。（每單位代表的數(shù)值越大，它就是較高級單位。如1千克=1000克，千克相對于克就是高級單位）（2）確定進(jìn)率：（從大到小排列，數(shù)字為相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率）=1\*GB3①長度：千米1000米10分米10厘米10毫米=2\*GB3②重量：噸1000千克（公斤）1000克1000毫克=3\*GB3③面積：平方千米100公頃10000平方米100平方分米100平方厘米=4\*GB3④貨幣：元10角10分=5\*GB3⑤時(shí)間：世紀(jì)100年4季3月年12月周7日24時(shí)60分60秒=6\*GB3⑥速度：米/秒千米/時(shí)（其它單位不作要求）（3）根據(jù)進(jìn)率的乘除移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)（4）寫全單位，檢查數(shù)據(jù)的合理性。例如：噸=？千克噸化成千克，屬于高化低的類型，乘以進(jìn)率注：乘或除、擴(kuò)大或縮小常常成為“雷區(qū)”，可以用“積的變化規(guī)律”來幫助理解——數(shù)量大小不變，單位小的數(shù)字就大，單位大的數(shù)字就小。13、單名數(shù)與復(fù)名數(shù)：只有一種單位的數(shù)據(jù)叫單名數(shù)，如12米；有兩種及以上單位的數(shù)據(jù)叫復(fù)名數(shù)，如12米5分米6厘米。14、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)的轉(zhuǎn)化：相同單位的不變，將不同單位的部分利用單位換算方法改寫成相同單位。例如：14平方米3平方分米=？平方米14平方米單位相同，不用換算3平方分米換算成平方米，低聚高，除以進(jìn)率100，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，得最后把14和相加，得，再添上單位，得“平方米”，檢查，OK！求小數(shù)近似數(shù)的方法：P52確定精確度，找出尾數(shù)，對尾數(shù)的最高位“四舍五入”“四舍五入”法：0、1、2、3、4要舍去，5、6、7、8、9要入（向前一位進(jìn)一）例如，將“千米”保留一位小數(shù)，即保留十分位，舍去十分位后面的尾數(shù)，尾數(shù)是67，最高位上的數(shù)字是6，向前一位進(jìn)一，得千米（單位要記得寫?。?，檢查，OK16、精確度的不同表示方法：保留整數(shù)=精確到個(gè)位=省略個(gè)位后面的尾數(shù)保留一位小數(shù)=精確到十分位=省略十分位后面的尾數(shù)保留兩位小數(shù)=精確到百分位=省略百分位后面的尾數(shù)……17、求近似數(shù)的注意事項(xiàng)：在表示近似數(shù)時(shí)，小數(shù)末尾的0不能去掉。P52例如，保留兩位小數(shù)，尾數(shù)是75，最高位上的數(shù)字是7，向前一位進(jìn)一，得，這里小數(shù)末尾的0不能去掉，而是要作為保留的兩位小數(shù)占位。18、改寫：將以“一（個(gè)）”為單位的數(shù)改寫成以“萬”為單位的數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)四位；將以“一（個(gè)）”為單位的數(shù)改寫成以“億”為單位的數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)八位。注意改寫后一定要記得寫上單位。例如，1295336500=萬=億19、求給定近似數(shù)的小數(shù)范圍：如要求近似于的三位小數(shù)的范圍，因?yàn)槭蔷_到百分位，所以關(guān)鍵是分析尾數(shù)最高位千分位的數(shù)字。有兩種情況：如果千分位上的數(shù)字是“入”的情況，即5~9，則百分位數(shù)字原來應(yīng)該更小一些，為5，所以可以是~；如果千分位上的數(shù)字是“舍”的情況，即0~4，則百分位數(shù)字不變，為6，所以可以是~。注意到＝，所以近似數(shù)是的三位小數(shù)范圍是~，除外。第五單元三角形三角形的定義：由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫做三角形。P60三角形的特征：三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，三條邊，三個(gè)角。補(bǔ)充：余角和補(bǔ)角兩個(gè)角加起來等于90°，則這兩個(gè)角互為余角，如75°角和15°角互為余角兩個(gè)角加起來等于180°，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，如120°角和60°角互為補(bǔ)角三角形組成的表示：如右圖，這個(gè)三角形叫做“三角形ABC”，寫作“△ABC”其中有三個(gè)頂點(diǎn)：頂點(diǎn)A、頂點(diǎn)B、頂點(diǎn)C，有三條邊：邊AC、邊BC、邊AB，有三個(gè)角：角A、角B、角C，記作∠A、∠B、∠C（也可以劃弧線用數(shù)字標(biāo)在圖上）三角形的底和高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊做一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。P60一個(gè)三角形有3條高，對應(yīng)不同的3個(gè)底邊。確定底作高的說法：=1\*GB3①以BC邊為底，作高=2\*GB3②作BC邊上的高高的畫法和步驟：=1\*GB3①確定底是那條邊，如以BC邊為底=2\*GB3②找對應(yīng)的頂點(diǎn)，BC邊所對應(yīng)的頂點(diǎn)是頂點(diǎn)A=3\*GB3③從頂點(diǎn)A往邊BC作垂線段，交BC與點(diǎn)D，D點(diǎn)就是垂足，線段AD就是高三角形的特性：三角形具有不易變形的特性，三角形具有穩(wěn)定性。P61兩點(diǎn)連線性質(zhì)：兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離。P62注：此為新加概念，應(yīng)與“點(diǎn)到直線的距離（垂線）”進(jìn)行聯(lián)系、比較、區(qū)別。三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。也可以說成：三角形任意兩邊的差小于第三邊。三角形第三邊的范圍：兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和例如，有兩條線段長5厘米、8厘米，問第三條線段多長才可以構(gòu)成三角形（取整厘米數(shù)）？解答：8－5=3（厘米）8＋5=13（厘米）第三邊長度應(yīng)大于3厘米而小于13厘米，又要是整數(shù)，為4~12厘米三條線段能否構(gòu)成三角形的簡便判斷方法：較短的兩條邊之和如果大于第三邊，就一定能構(gòu)成三角形，否則不能構(gòu)成。例如，3、7、9能否構(gòu)成三角形？較小的兩邊是3、7，3＋7=10＞9，可以構(gòu)成三角形的分類：按角分（完全分類法，即三種類型覆蓋了所有三角形，且沒有重疊）：銳角三角形：三個(gè)角都是銳角的三角形。按角分（完全分類法，即三種類型覆蓋了所有三角形，且沒有重疊）：直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形。鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角的三角形。判斷方法：用三角形最大的角來判斷按邊分（不完全分類法，即三種類型覆蓋了所有三角形，但有重疊）：不等邊三角形：三條邊都不相等的三角形。按邊分（不完全分類法，即三種類型覆蓋了所有三角形，但有重疊）：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。等邊三角形；三條邊都相等的三角形。判斷方法：通過測量三邊的長度來判斷，或者根據(jù)特殊類型的角的性質(zhì)（見后）直角三角形的特征：直角三角形斜邊最長。P63等腰三角形的組成：P64等腰三角形中相等的兩條邊叫做等腰三角形的腰；第三條邊叫做等腰三角形的底；兩腰所對的角叫做底角，底邊所對的角叫做頂角。等邊三角形特征：等邊三角形也叫正三角形，它三邊相等，三個(gè)角都是60°。P64三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和是180°。P67注：可以讓學(xué)生嘗試證明“三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式：180°×（邊數(shù)－2），如六邊形內(nèi)角和=180°×（6－2）=180°×4=720°P68三角形內(nèi)角的計(jì)算：=1\*GB3①算余角，見右圖，∠1和∠A是直角三角形中的兩個(gè)銳角，所以它們互為余角，∠1=90°－35°=55°=2\*GB3②算第三個(gè)角、補(bǔ)角、外角見右圖，三角形ABC中，已經(jīng)知道兩個(gè)角的度數(shù)分別為85°、50°，∠1是第三個(gè)角，∠1=180°－85°－50°=45°∠2與∠1互為補(bǔ)角，∠2=180°－45°=135°∠2也是三角形ABC的一個(gè)外角，外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∠2=85°＋50°=135°=3\*GB3③算頂角、底角在等腰三角形這種特殊的圖形中，因?yàn)榈捉窍嗤?，所以只要知道一個(gè)角就能算出其它兩個(gè)角的度數(shù)，一般有兩種答案。例如，等腰三角形有一個(gè)角是40°，求其它兩個(gè)角的度數(shù)。解答：=1\*GB3①如果40°角是頂角，則底角度數(shù)=（180°－40°）÷2=70°=2\*GB3②如果40°角是底角，則頂角度數(shù)=180°－40°×2=100°若題目中還有附加條件，如銳角三角形，就要選擇相應(yīng)的答案=1\*GB3①進(jìn)行作答！等腰三角形中求角與邊的題目拓展。（詳見另文“等腰三角形問題的前世今生”）抓住等腰三角形的特征：兩腰相等、兩底角相等，還要記得三角形的普遍特征：任意兩邊的和大于第三邊、三個(gè)內(nèi)角的和是180°。例1：等腰三角形中，一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，求三個(gè)角各是幾度？分析：“一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍”，既有可能頂角是底角的2倍，也有可能底角是頂角的2倍，因此都要考慮到。解題：其一，假設(shè)頂角是底角的2倍，如果把底角看成1倍數(shù)，頂角是2倍，內(nèi)角和就一共有4倍。180°÷（2＋1＋1）＝45°，因此底角45°，頂角90°。檢驗(yàn)：45°＋45°＋90°＝180°，三個(gè)角分別是90°、45°、45°。其二，假設(shè)底角是頂角的2倍，因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等的底角，所以內(nèi)角和就一共有5倍。180°÷（1＋2＋2）＝36°，頂角36°，底角72°。檢驗(yàn)：36°＋72°＋72°＝180°，三個(gè)角分別是36°、72°、72°。例2：等腰三角形中，周長18，有一邊比另一邊多3，求三邊長？分析：“有一邊比另一邊多3”，既有可能底比腰多3，也有可能腰比底多3，因此都要考慮到。解題：其一，假設(shè)底比腰多3，設(shè)腰是x，底就是x＋3，因?yàn)橛袃蓷l腰，所以周長就是x＋x＋（x＋3）＝18，（18－3）÷3＝5，腰就是5，底就是8。檢驗(yàn)：5＋5＞8，滿足三角形三邊關(guān)系。其二，假設(shè)腰比底多3，設(shè)底是x，腰就是x＋3，因?yàn)橛袃蓷l腰，所以周長就是（x＋3）＋（x＋3）＋x＝18，（18－3×2）÷3＝4，底就是4，腰就是7。檢驗(yàn)：7＋4＞7，滿足三角形三邊關(guān)系。注意?。?、算角時(shí)，只要滿足內(nèi)角和是180°就能形成三角形，都有2種答案。2、算邊時(shí)，如果不能滿足三邊關(guān)系的就不能成立。（將上題中的多3改成多9，底比腰長的情況就不能滿足三邊關(guān)系，請自己嘗試做做看）3、做題前要仔細(xì)分析可能的情況，并畫圖幫助理解！圖形的拼組（以下畫法僅供參考）：最少用兩個(gè)完全相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形；最少用兩個(gè)完全相同的直角三角形可以拼成一個(gè)長方形；最少用兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形；用兩個(gè)完全相等的等腰三角形可以拼成一個(gè)菱形；最少用兩個(gè)三角形可以拼成一個(gè)梯形；最少用三個(gè)完全相同的三角形可以拼成一個(gè)梯形；最少用三個(gè)完全相同的直角三角形可以拼成一個(gè)直角梯形；最少用三個(gè)完全相同的等腰三角形可以拼成一個(gè)等腰梯形；最少用四個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)與原三角形形狀一樣的三角形。第六單元小數(shù)的加法和減法小數(shù)加、減法要注意：小數(shù)點(diǎn)要對齊，也就是把（相同）數(shù)位對齊，得數(shù)的末尾有0，一般要把0去掉（橫式結(jié)果化到最簡，省略不寫）。P73列豎式時(shí)要注意，橫線上方數(shù)位沒有數(shù)字的，要補(bǔ)0占位；橫線下方小數(shù)的末尾是0的，要用斜線劃掉，小數(shù)部分的0都劃掉后，還要再劃掉小數(shù)點(diǎn)（相當(dāng)于得數(shù)是整數(shù)）。小數(shù)加減混合運(yùn)算的要點(diǎn)：厘清數(shù)量關(guān)系，分清比大小、比多少。整數(shù)的加法運(yùn)算定律在小數(shù)運(yùn)算中同樣適用。P79注：其實(shí)整數(shù)的各項(xiàng)運(yùn)算定律在小數(shù)運(yùn)算中都同樣適用，本單元只關(guān)注加減法。小數(shù)加減法易錯(cuò)點(diǎn)：容易受整數(shù)運(yùn)算、簡算的影響，將數(shù)位不同的數(shù)字相加，如：+++都容易被算作整數(shù)，應(yīng)當(dāng)特別注意！第七單元圖形的運(yùn)動(dòng)（二）軸對稱圖形與對稱軸：如果一個(gè)平面圖形可以沿一條直線對折后兩邊完全重合，就說這個(gè)圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做它的一條對稱軸。對應(yīng)點(diǎn)：圖形中的某一點(diǎn)通過變換后形成的新的點(diǎn)，叫做這點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。如三角形ABC關(guān)于直線a的對稱圖形是三角形A’B’C’，其中A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是A’，以此類推。常見軸對稱圖形及其對稱軸的數(shù)量：常見的對稱圖形有：正方形（4條），長方形（2條），等腰三角形（1條），等邊三角形（3條），正五邊形和五角星（5條），圓形（無數(shù)條）。一般的平行四邊形不是軸對稱圖形。軸對稱圖形的特征：軸對稱圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等。也就是說，一對對應(yīng)點(diǎn)（如A和A’）到對稱軸所作的垂直線段的長度是相等的。同時(shí)也表明，對應(yīng)點(diǎn)連線一定會(huì)垂直于對稱軸。作對稱圖形的方法：我們可以利用軸對稱圖形的特征來作一個(gè)圖形的對稱圖形。如要作四邊形ABCD關(guān)于直線a的對稱圖形，步驟如下：（1）選取關(guān)鍵點(diǎn)因?yàn)椤皟牲c(diǎn)可以確定一條直線”，四邊形ABCD只需要四個(gè)頂點(diǎn)就能確定，所以選擇四個(gè)頂點(diǎn)ABCD作為作圖的關(guān)鍵點(diǎn)。一般來說，多邊形的關(guān)鍵點(diǎn)是其頂點(diǎn)，其他圖形的關(guān)鍵點(diǎn)是線段的交點(diǎn)。（2）作關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)（對應(yīng)點(diǎn)）因?yàn)閷ΨQ圖形A’B’C’D’中四對對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸（直線a）的距離都分別相等，可以分別作ABCD四點(diǎn)到直線a的垂線段，再分別延長一倍，得到的點(diǎn)就是ABCD的對應(yīng)點(diǎn)A’B’C’D’。（3）連結(jié)相應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)對照原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)，將對稱圖形中的對應(yīng)點(diǎn)分別連結(jié)，形成對稱圖形四邊形A’B’C’D’。軸對稱與剪紙剪紙技巧中常運(yùn)用對折的手法剪出軸對稱圖形，我們也可以根據(jù)折痕（對稱軸）的先后次序推導(dǎo)出裁剪前圖形與展開后圖形的聯(lián)系。答案就是第一行中間的那個(gè)。其它的怎樣剪成？自己嘗試吧！對稱軸傾斜的情況。課本P85第6*題，畫出下面圖形的另一半。解法，同“作對稱圖形的方法”，以下展示找對應(yīng)點(diǎn)的過程。生活中的對稱。（1）漢字、字母及其他常見圖形中的軸對稱圖形：除了我們所學(xué)過的規(guī)則的多邊形外，還有許多圖形也是軸對稱圖形，如某些漢字、字母和特殊的圖形（文字有字體，可能不會(huì)完全重合）。注意它們的對稱軸也可以是橫著的或是傾斜的，但只要滿足軸對稱圖形的條件，就是軸對稱圖形。建筑物對稱生活中的建筑物有很多都是“對稱”的，這里講的對稱是將建筑物的某一觀察面作為平面圖形的軸對稱，或是將建筑物物體關(guān)于中截面的“立體對稱”。但真實(shí)的物體無法完全相同，因此這種對稱不是非常嚴(yán)格。平移：一個(gè)平面圖形在所在平面內(nèi)移動(dòng)，叫做平移?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的平移一般是沿直線向四個(gè)方向（上下左右移動(dòng)），且為了便于描述移動(dòng)的距離，常用網(wǎng)格表示。平移的性質(zhì)：平移前后圖形的形狀、大小不變，圖形的朝向不變。作圖形平移的方法。（1）選取關(guān)鍵點(diǎn)因?yàn)椤皟牲c(diǎn)可以確定一條直線”，四邊形只需要四個(gè)頂點(diǎn)就能確定，所以選擇四個(gè)頂點(diǎn)作為作圖的關(guān)鍵點(diǎn)。一般來說，多邊形的關(guān)鍵點(diǎn)是其頂點(diǎn)，其他圖形的關(guān)鍵點(diǎn)是線段的交點(diǎn)。（2）將關(guān)鍵點(diǎn)平移，找到對應(yīng)點(diǎn)因?yàn)槠揭魄昂髨D形完全相同，因此圖形的每個(gè)點(diǎn)都應(yīng)平移，選取關(guān)鍵點(diǎn)作為代表，將關(guān)鍵點(diǎn)平移，找到對應(yīng)點(diǎn)。（3）連結(jié)相應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)對照原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)，將平移后圖形中的對應(yīng)點(diǎn)分別連結(jié)，形成平移后的圖形。注意檢驗(yàn)，推薦數(shù)出某個(gè)對應(yīng)點(diǎn)平移前后的格子數(shù)作為檢驗(yàn)并核對（如圖）。平移圖形求不規(guī)則圖形的面積?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的平面圖形可以求出面積的只有長方形，因此如果能將不規(guī)則圖形通過平移（割補(bǔ)）形成長方形，就可以利用“平移的性質(zhì)”求出其面積。課本P88練習(xí)二十一的題目以下是經(jīng)過平移后的，注意中間一圖要作輔助線才容易看出來。平移線段求不規(guī)則圖形的周長。注意下面圖形中相同顏色線段的位置，原圖形的周長相當(dāng)于大長方形的周長。平移方法的多樣性。將一個(gè)圖形平移到另一個(gè)位置，方法有很多種，沿直線直接平移是最“快”的，但不是唯一的方法。P89練習(xí)二十一第5題。第八單元平均數(shù)與條形統(tǒng)計(jì)圖平均數(shù)及其算法。平均數(shù)是一組樣本數(shù)據(jù)中的平均值，它的單位與樣本相同。它可以表示這組數(shù)據(jù)的平均水平。平均數(shù)=樣本總數(shù)÷樣本數(shù)量。如14、12、11、15的平均數(shù)是14。（14+12+11+15）÷4=14平均數(shù)的性質(zhì)。因?yàn)槠骄鶖?shù)是所有數(shù)據(jù)的平均值，因此它不小于這組數(shù)據(jù)中的最小值，也不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值（可能等于，這時(shí)所有數(shù)據(jù)相同）。平均數(shù)容易受極端值（偏大、偏小數(shù)據(jù)）的影響，因此不一定能表示這組數(shù)據(jù)的一般水平。“標(biāo)桿法”快速求平均數(shù)。求平均數(shù)的一般方法有時(shí)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)不容易計(jì)算而較麻煩，而因?yàn)槠骄鶖?shù)是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，因此可以設(shè)立合適的數(shù)字作為“標(biāo)桿”，快速求平均數(shù)。公式：平均數(shù)=標(biāo)桿+（樣本與標(biāo)桿的差值總和）÷樣本數(shù)量例例題：求139、140、135、138、139、137的平均數(shù)分析：6個(gè)數(shù)據(jù)都較大，計(jì)算較繁，且無法湊整，直接加和容易出錯(cuò)。解決：小標(biāo)桿法——以樣本數(shù)據(jù)的最小值（135）為標(biāo)桿135+（4+5+0+3+4+2）÷6=135+18÷6=138大標(biāo)桿法——以樣本數(shù)據(jù)的最大值（140）為標(biāo)桿140+（-1+0-5-2-1-3）÷6=140+（-12）÷6=140-2=138中標(biāo)桿法——以樣本數(shù)據(jù)最大值與最小值中的某個(gè)好算的數(shù)字為標(biāo)桿例如，以137為標(biāo)桿137+（2+3-2+1+2+0）÷6=137+6÷6=138其實(shí)，用最大值與最小值以外的數(shù)值作標(biāo)桿也可以，但為了便于計(jì)算還是選擇附近的好算的數(shù)值較為合適——普通求平均數(shù)的方法也可以看做以“0”為標(biāo)桿。平均值與生活。在生活中，平均值可以作為一組數(shù)據(jù)中重要的參考數(shù)值，但有時(shí)要根據(jù)生活實(shí)際進(jìn)行調(diào)整解決問題的策略。如P93練習(xí)二十二第2題，肖揚(yáng)平均每天上學(xué)要花16分鐘，但應(yīng)至少提前18分鐘（最大值）出發(fā)，才能保證安全和及時(shí)到校；如P94練習(xí)二十二第5題，蛋糕店平均每天賣出草莓蛋糕10個(gè)，但應(yīng)至少準(zhǔn)備12個(gè)（最大值），才能保證供應(yīng)；但，如P93練習(xí)二十二第6題，旅行酒店既不能按照旅客平均身高來訂購新床（因?yàn)楦魅松砀卟灰唬隙ㄓ腥怂幌拢?，也不能按照旅客身高最大值來訂購（如果姚明參加普通人的旅游團(tuán)的話），應(yīng)該以一般人的身高標(biāo)準(zhǔn)為參考值（一般市面上的床也有相應(yīng)的規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)，也是如此參照的）。生活中還有一種常見的情況，在計(jì)算平均值時(shí)，先去掉一個(gè)最高值和一個(gè)最低值，是為了消除極端值對平均值的影響。常用于比賽打分消除個(gè)別評委的偏見等。畫統(tǒng)計(jì)圖的原則：“圖表合一”，即統(tǒng)計(jì)表中有的項(xiàng)目、數(shù)值、單位、名稱都應(yīng)該在統(tǒng)計(jì)圖中反映出來，而且應(yīng)該一一對應(yīng)，不得私自改變。復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖。復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖是以條形表示不同項(xiàng)目（兩個(gè)或以上）數(shù)值的統(tǒng)計(jì)圖。復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖的六要素：標(biāo)題、橫軸、縱軸、條形、數(shù)值、圖例。（原點(diǎn)即0點(diǎn)，屬于數(shù)據(jù)軸，縱向條形統(tǒng)計(jì)圖為縱軸，橫向條形統(tǒng)計(jì)圖為橫軸）其中圖例是“區(qū)分不同項(xiàng)目條形的范例”，是復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖區(qū)別于單式統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)。由統(tǒng)計(jì)表畫統(tǒng)計(jì)圖的步驟和注意要點(diǎn)：觀察表中項(xiàng)目，確定數(shù)據(jù)項(xiàng)（一般為數(shù)量）和類別項(xiàng)（小組名稱、年份、時(shí)間等）。確定橫縱軸、刻度以及圖的類型（橫向或縱向），在確定刻度的過程中要觀察數(shù)據(jù)，找到數(shù)據(jù)的最小值和最大值，如果數(shù)據(jù)都在離0很遠(yuǎn)的集中區(qū)域，可以在軸上用折線代替相同的部分。如P99練習(xí)二十三第3題畫條形，標(biāo)數(shù)據(jù)，注意條形的高度要符合刻度，縱向統(tǒng)計(jì)圖的順序是從左往右，橫向統(tǒng)計(jì)圖的順序是從下往上。添上圖例，根據(jù)圖例補(bǔ)充完條形的條紋以示區(qū)別。標(biāo)上標(biāo)題。檢查六要素是否齊全。如，根據(jù)以下表格將復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。人數(shù)/人一年級二年級三年級四年級女生7101420男生9132534解答。注意：圖例中上面一項(xiàng)對應(yīng)的是下面的條形，應(yīng)為“女生”（不能是“女”）。每項(xiàng)應(yīng)有2個(gè)條形，每個(gè)條形的數(shù)據(jù)