2023北京延慶初二（上）期末

數(shù)學(xué)

一、選擇題：（共20分，每小題2分）第1-10題均有四個選項(xiàng)，符合題意的只有一個.

1.下列圖形均為正多邊形，恰有3條對稱軸的圖形是（）

2.任意擲一枚骰子，下列情況出現(xiàn)可能性最小的是（）

A.面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)B.面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

C.面朝上的點(diǎn)數(shù)小于2D.面朝上的點(diǎn)數(shù)大于2

3.若GE在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.X>2C.xv2D.xw2

4.下列各式中，最簡二次根式是（）

A.\/12B.aC.J2AD.^―

5.如圖的兩個三角形是全等三角形，其中角和邊的大小如圖所示，那么N1的度數(shù)是（）

C.55°D.47°

6.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A=3B.V18=372c.4-2丫=_2D.V4=±2

7.下列變形正確的是（）

x_x+1J+y2

A.B.—x+yD.

yy+ix+yy光

8.如果〃為整數(shù)，且〃＜而＜〃+l，那么"的值為（）

A.2B.3C.4D.5

9.工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形方法來平分一個角.如圖，在NAO8的兩邊。4、OB上分

別在取OC=。。，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C、。重合，這時過角尺頂點(diǎn)用的射線

就是/AOB的平分線.這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

10.如圖，ABC中，AB=AC,AO是NB4C的平分線，E是上一點(diǎn)，連接石氏CE.若

ZEBD=45°,3C=4,則型的長是（）

A.2V2B.4C.4V2D.2

二、填空題（共16分，每小題2分）

11.若分式二值為0,則x的值為.

x—\

12.如圖，將一副直角三角板，按如圖所示的方式擺放，則的度數(shù)是

13.請寫出一個小于4的無理數(shù)：.

14.計算：（2+@（2-@=.

15.如圖，RtZXABC和HrEC。中，AB=EC,在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件

,使得RtZXABC和&ECD全等,（寫出一個即可）

16.等腰三角形有兩條邊長分別為3cm和7cm,則這個等腰三角形的周長為cm.

17.如圖，在中，ZC=90°,A。是JSC的角平分線，如果A8=6,CD=2,那么

S4ABD

A

18.閱讀下面材料：

已知I：_ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，C4為半徑畫??；

步驟2：以B為圓心，84為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)5

步驟3：連接AD，交C8延長線于點(diǎn)E.

下列敘述正確的是.（填寫序號）

①防垂直平分線段AO；②平分/E4C；③AC=CD；?SABC=^AB-CE.

三、解答題（共64分，第19題4分，第20題10分，第21題9分，第22題5分，23題6

分，第24題6分，第25題6分，第26題5分，第27題7分，第28題6分）解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

19.計算：

20.計算：

m+l2

(1)------------

m—1m-1

l（a2+b2）2（a-b）

（2）如果。一人=2百，求代數(shù)式--------2b-----的值.

Ia）a

21.解方程：

⑴

x-2x

1x_1

(2)

2x—4x—22

22.如圖，ZB^ZD，且AC是。的平分線.

求證：AB-AD-

23.列方程解應(yīng)用題：某生產(chǎn)線用機(jī)器人搬運(yùn)產(chǎn)品.4型機(jī)器人比8型機(jī)器人每小時多搬運(yùn)20件，A型機(jī)

器人搬運(yùn)600件產(chǎn)品所用時間與B型機(jī)器人搬運(yùn)400件產(chǎn)品所用的時間相等.問B型機(jī)器人每小時搬運(yùn)

多少件產(chǎn)品？

24.如圖，點(diǎn)4,B,C,力在一條直線上，AB=DC,ZECA=NFBD,EC=FB.請判斷AE與

OE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

1x+9

25.老師留的作業(yè)中有這樣一道計算題：——一，小明完成的過程如下：

x+3X2-9

1x+9

x+3—9

_x-3x+9*

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)(第步)

=x-3+(x+9)(第二步)

=2x+6(第三步)

老師發(fā)現(xiàn)小明的解答過程有錯誤.

(1)請你幫助小明分析錯誤原因.

小明的解答從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是；正確的解題思路是

(2)請寫出正確解答過程.

1x+9

-----1—i---

x+3x-—9

26.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡.問

索長幾何？”譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在

地面的部分尚有3尺；牽著繩索(繩索與地面接觸)退行，在距木柱根部8尺處時繩索用盡.問繩索長多

少？即：如圖，在Rt/XABC中，ZABC=90°,AC-AB=3,BC=8,求AC的長.

27.在Rtz\ABC中，ZABC=90°,AB=BC,NABD=a,點(diǎn)。為AC邊上的一個動點(diǎn)，連接

8。，點(diǎn)A關(guān)于直線8。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，直線3DCE交于點(diǎn)、F.

圖1

（1）如圖1，當(dāng)。=20。時，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出的度數(shù)；

（2）如圖2,當(dāng)0。＜。＜45°時.，用等式表示線段FCEF,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.在同一平面內(nèi)的兩個圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，

如果P，。兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M,N間的“最距離”，記作：d（M,N）.

如圖，點(diǎn)8,C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為0,2,ABJ.BC于■點(diǎn)、B，且48=30.

（1）若點(diǎn)O在數(shù)軸上表示的數(shù)為5,求d（點(diǎn)力，ABC）：

（2）若點(diǎn)E,F在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是x,x+2,當(dāng)，/（線段EF，ABC）N26時，求尤的取值

范圍.

參考答案

一、選擇題：(共20分，每小題2分)第1-10題均有四個選項(xiàng)，符合題意的只有一個.

1.【答案】A

【解析】

【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)確定各圖形對稱軸的條數(shù)即可解答.

【詳解】解：A、正三角形有3條對稱軸，故此選項(xiàng)正確；

B、正方形有4條對稱軸，故此選項(xiàng)錯誤；

C、正五邊形有5條對稱軸，故此選項(xiàng)錯誤；

D、正六邊形有6條對稱軸，故此選項(xiàng)錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的對稱軸，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】

【分析】先分別求出各選項(xiàng)的事件的概率，然后再比較各個概率的大小即可.

31

【詳解】解：A.擲一枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)有2,4,6三個數(shù)，此事件的概率為：-=-；擲一枚

62

骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)是3的概率為1；

6

31

B.擲一枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)有1,3,5三個數(shù)，此事件的概率為：-=-；

62

C.擲一枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)小于2的只有1,此事件的概率為：-；

6

42

D.擲一枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)大于2數(shù)有3、4、5、6,此事件的概率為：-=-；

63

1112

6223

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式，如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出

m

現(xiàn)機(jī)種結(jié)果，那么事件A的概率尸(A)=—.

n

3.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，可得x的取值范圍.

【詳解】解：若JT”在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則廣2加，

解得這2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義：被開方數(shù)為非負(fù)

數(shù).

4.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：厄=2百，故不是最簡二次根式，A選項(xiàng)不合題意；

、后中被開方數(shù)是整數(shù)，且被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)，故遙是最簡二次根式，B選項(xiàng)符合題

--A*.

忌；

■=x岳，故不是最簡二次根式，C選項(xiàng)不合題意；

卜中，故J｝不是最簡二次根式，D選項(xiàng)不合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的識別，解題的關(guān)鍵是掌握定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：

1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，那么這個根式叫

做最簡二次根式.

5.【答案】A

【解析】

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：???兩三角形全等，對應(yīng)角相等，

，Zl=43°.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】

【分析】利用平方根和立方根的意義計算即可；注意負(fù)數(shù)沒有平方根，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)；

【詳解】A.VV=27=-3

此選項(xiàng)錯誤；

B.JIi=3夜，此選項(xiàng)正確；

C：J(—2)2=〃=2

...此選項(xiàng)錯誤；

D.V=2

.?.此選項(xiàng)錯誤

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

7.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，從左到右進(jìn)行變形分析即可.

【詳解】A、選項(xiàng)中分子分母都加1,等式不一定成立，故本選項(xiàng)錯誤.

B、選項(xiàng)中分子分母無公因式，不能約分，故本選項(xiàng)錯誤.

-x+y-(x-y)

C、——^=一~」=—1,故本選項(xiàng)正確.

x-yx-y

D、等式左邊與右邊不一定相等.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)及分式的變形，正確運(yùn)用分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】

【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案.

【詳解】解：；9<13<16,

，3<屈<4，

二〃=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可.

【詳解】解：由題意可知==

在△OCM和△ODM中

OC=0D

<0M=0M

MC=MD

，AOCM三AODM(SSS)

：.ZCOM=ZDOM

：.OM就是NAOB的平分線

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三線合一可得根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得80=-=2,根據(jù)NE5￡>=45°

2

可得NEED=NEBD=45。,則。石=80=2,即《BED為等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求解即

可.

【詳解】解：4B=AC,A。是AABC的角平分線，

:.AD工BD,BD=DC,

BC-6,

二BD=-BC=2,

2

NEBO=45。，

:.ZBED=ZEBD=45。,

二DE=BD=2

...8團(tuán)為等腰直角三角形，

BE=V22+22=2V2?

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共16分，每小題2分）

11.【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)分式的值為零的條件列式求出x的值即可.

【詳解】解：?.?分式二的值為0，

X-1

x=0,x—1。0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為零的條件，解題關(guān)鍵在于掌握若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）

分子為0;（2）分母不為0.這兩個條件缺一不可.

12.【答案】75。

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角板的已知角度以及三角形外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，Za=ZDCB+ZABC=30°+45°=75°

al

BC

故答案為：75°

【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中角度的計算，三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】答案不唯一如拒，》等

【解析】

【分析】開放性的命題，答案不唯一，寫出一個小于4的無理數(shù)即可.

【詳解】開放性的命題，答案不唯一，如血等.

故答案為不唯一，如&等.

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大?。豪猛耆椒綌?shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)行估算.也考查

了算術(shù)平方根.

14.【答案】1

【解析】

【分析】按照平方差公式直接計算即可得到答案.

【詳解】解：原式=22-

=4-3

=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，掌握利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算是解

題的關(guān)鍵.

15.【答案】BC=CD（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)三角形全等判定條件即可解答.

【詳解】解：當(dāng)=時滿足條件；

在RtAABC和RSECD中，

AB^EC

BC=CD'

RtVABC=RtVECD.

故答案是：BC=CD（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定條件，掌握全等三角形的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】17

【解析】

【分析】由等腰三角形兩腰長相等的性質(zhì)，分7為腰長或3為腰長兩種情況，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求

解.

【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)腰長為7cm時，7、7、3能組成三角形，周長為：7+7+3=17(cm)；

當(dāng)腰長為3cm時，3+3<7,7、3、3不能構(gòu)成三角形，

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形兩邊之和大于

第三邊，兩邊之差小于第三邊”.

17.【答案】6

【解析】

【分析】作。于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=DC，再根據(jù)三角形得面積公式計算即可.

【詳解】解：作。石SAB于E，

AD是.ABC的角平分線，DEJ.AB，ZC=90°,

：.DE=DC=2,

S=—xABxDE=—x6x2=6,

ABRDn22

故答案：6

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì).掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】①③##③①

【解析】

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問題即可.

【詳解】解：由作圖可知，CA=CD,BA=BD,

???BE垂直平分線段AO,

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識解決問題.

三、解答題(共64分，第19題4分，第20題10分，第21題9分，第22題5分，23題6

分,第24題6分，第25題6分，第26題5分，第27題7分，第28題6分)解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

19.【答案】V2+1

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)累，二次根式的混合運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】解：V18-4ji=（372-272）+1=72+1

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)幕，正確計算是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】（1）1（2）V3

【解析】

【分析】（D利用同分母分式的計算方法解題；

（2）先把分式化簡，代入數(shù)值計算解題.

【小問1詳解】

…m+12m+l—2m—\.

解：------------=--------=-----=1

m-1m-\m-\m—\

【小問2詳解】

（a1+/?2/l2（6Z-/?）（a1+h2—2ahya_（a-bja_a-b

用牛：T—,r=，r-

、aJayaJ2[a-h]a2（a-〃）2

ya-b=2y/3

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡，能利用法則計算是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】(1)x=-l

(2)x=l

【解析】

【分析】（1）先將分式方程化為整式方程，求出解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

（2）先將分式方程化為整式方程，求出解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【小問1詳解】

解：二-」

x-lX

2x=x-l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-l時、x（x-l）^0,

原分式方程的解為x=—1.

【小問2詳解】

解：----------------------------二一,

2x-4x—22

1x_1

2（x-2）~x-2~2）

1—2x=x-2,

—2x—x=-2-1，

—3x-—3,

x=l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時，2（x—2）00,

，原分式方程的解為x=L

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是求出解后要進(jìn)行檢驗(yàn).

22.【答案】見解析

【解析】

【分析】由角平分線的定義可得NB4C=ND4C，然后再證明△ABC三△">（?,最后根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可解答.

【詳解】證明：是/班。的平分線，

:.ABACADAC.

在.ABC和△AOC中，

'/B=ZD

<ZBAC=NDAC

AC^AC

：.AABC=AADC.

,AB=AD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意證得△45。三△ADC是解答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】40件

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)B型機(jī)器人每小時搬運(yùn)x件產(chǎn)品，那么A型機(jī)器人每小時搬運(yùn)（X+20）件產(chǎn)品，然后

列出分式方程，解分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)8型機(jī)器人每小時搬運(yùn)x件產(chǎn)品，那么4型機(jī)器人每小時搬運(yùn)（X+20）件產(chǎn)品.

m600400

根據(jù)題思列方程，得-=

x+20x

解得：x=4（）

經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義.

答：3型機(jī)器人每小時搬運(yùn)40件產(chǎn)品.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根

據(jù)題意找出等量關(guān)系，②列出方程，③解出分式方程，④檢驗(yàn)，⑤作答.注意：分式方程的解必須檢驗(yàn).

24.【答案】AE=DF,AE//DF，證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可證AEC=.DFB,由全等三角形的性質(zhì)可得：AE=DF,NEAC=NFDB.,

進(jìn)而得到AE〃。尸.

【詳解】解：AE=DF,AE//DF，證明如下：

；AB=DC，

:*AB+BC^DC+CB.

，AC=DB.

△AEC和△DEB中，

AC=DB

<ZECA=ZFBD

EC=FB

：.AEC^DFB.

，AE=DF,AEAC=/FDB.

:.AE//DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)已知條件證得

AECmDEB是解答本題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)第二步，去分母，利用同分母分?jǐn)?shù)相加減法則，分母不變，分子相加減

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)小明的解答從第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去分母；

(2)根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡可得.

【小問1詳解】

請你幫助小明分析錯誤原因，并加以改正.

小明的解答從第三步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去分母;

正確的解題思路是利用同分母分?jǐn)?shù)相加減法則，分母不變，分子相加減.

故答案為：第二步，去分母，利用同分母分?jǐn)?shù)相加減法則，分母不變，分子相加減；

【小問2詳解】

1x+9_1x+9_尤-3+x+9

解.x+3x2-9x+3(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

_2x+6_2(x+3)_2

(x+3)(x-3)(x+3)(x—3)x—3

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

26.【答案】—

6

【解析】

【分析】設(shè)繩子AC=x,則AB=x—3,然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)繩子AC=x,則AB=x—3.

由勾股定理，得"―3『+82=》2.

73

解得：x.

6

73

答：繩子AC的長為”.

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解答本題的關(guān)鍵.

27.【答案】（1）圖見解析，45°

（2）EF2+FC2=2BC2>證明見解析

【解析】

【分析】（1）畫出圖形后連接8E,根據(jù)對稱性可得A5=BE=3C,分別求出NFCB、NEBC利用三

角形內(nèi)角和求解即可.

（2）連接AF,BE,證出//腿=90°,在RtZ\ABC中，利用由勾股定理得，AC=6BC，在

RtaAFC中，利用由勾股定理得，AF2+FC2^AC\進(jìn)行代換即可得出線段FC,EF,BC之間的數(shù)

量關(guān)系是：EF2+FC2=25C2.

【小問1詳解】

解：延長80,關(guān)于8。作A點(diǎn)的對稱點(diǎn)E,連接CE和8。延長線交于尸點(diǎn)，如下圖，

連接BE,

點(diǎn)、E點(diǎn)關(guān)于6。對稱，

二所是AE的中垂線，

,AB=BE，

XABD=a,a-20°，

:.ZABD=