汽車振動(dòng)分析與測試固有特性近似計(jì)算方法【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握矩陣迭代法，掌握基頻和振型、二階頻率和振型，以及高級頻率和振型的矩陣迭代法；★了解子空間迭代法的基本思想和迭代求解過程；★熟悉瑞利能量法和鄧克萊法求解系統(tǒng)固有特性，了解它們各自的特點(diǎn)；★掌握傳遞矩陣法計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)固有特性，了解傳遞矩陣法的特點(diǎn)，了解分支傳動(dòng)系統(tǒng)的傳遞矩陣方法；★了解特征方程有零根和重根的系統(tǒng)振型的計(jì)算方法。【本章學(xué)習(xí)方法】本章振動(dòng)系統(tǒng)固有特性的各種計(jì)算方法。因此，應(yīng)該在掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的前提下，把握振動(dòng)系統(tǒng)固有特性各種近似計(jì)算方法的特點(diǎn)、過程、應(yīng)用場合和條件，同時(shí)，還必須注重結(jié)合實(shí)例利用計(jì)算機(jī)對實(shí)際振動(dòng)問題進(jìn)行計(jì)算練習(xí)，進(jìn)一步鞏固并掌握各種計(jì)算方法，為實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)特性的工程計(jì)算打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】

前面已經(jīng)介紹了振動(dòng)系統(tǒng)固有特性的精確計(jì)算方法，但在工程上，有時(shí)需要利用比較近似的方法快速估算系統(tǒng)的固有特性，本章對此進(jìn)行闡述，主要介紹比較常用的矩陣迭代法、子空間迭代法、瑞利法、能量法以及傳遞矩陣方法。第1節(jié)矩陣迭代法

矩陣迭代法是一種最常用和有效的方法，其特點(diǎn)是：

(1)可以求振動(dòng)系統(tǒng)的各階固有頻率和振型向量；

(2)對預(yù)估振型向量的無精度要求；

(3)能夠控制計(jì)算精度；

(4)容錯(cuò)性好，中問的計(jì)算錯(cuò)誤只影響計(jì)算收斂的速度，而不影響最終的計(jì)算結(jié)果；

(5)方法簡單，便于微機(jī)實(shí)現(xiàn)；

(6)有時(shí)收斂較慢，計(jì)算效率較低。一、基頻和振型的求法

無阻尼多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程振型方程變形為或

如果將隨意假定的振型向量代入上式，等式不成立，但是通過不斷的迭代卻可以逐步逼近所要求的固有頻率和振型向量。迭代過程如下：（1）假設(shè)初次嘗試的歸一化(假設(shè)按照第一個(gè)元素歸一化)向量為X0，計(jì)算DX0，并將計(jì)算值DX0也按照第一個(gè)元素歸一化，得到歸一化因子和第一次迭代的向量X1，即（2）將得到的X1與X0相比較，如果X1≠

X0則繼續(xù)將X1代入上式的右端進(jìn)行計(jì)算，并作歸一化處理，得到歸一化因子和向量X2，即下面對此進(jìn)行證明。下面對此進(jìn)行證明。由于振動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)振型向量X(i)(i=1,2,…,n)是線性無關(guān)的，因此，任意假設(shè)的嘗試向量可以表示為各階振型向量的線性組合，即第二次迭代重復(fù)上述過程，第k次迭代后，得(因?yàn)?二、二階固有頻率和振型的求法

上面利用迭代方法求基頻和第一階振型向量，主要是基于通過迭代逐漸使第一主振型起主導(dǎo)作用的原理。同樣的，為了求得第二階的頻率和振型，必須設(shè)法使第二階在迭代過程中逐漸起主導(dǎo)作用，為此必須引入適當(dāng)?shù)募s束抑制第一階主振型。如果指定第一主坐標(biāo)的位移等于零，則可以達(dá)到上述目的。下面闡述約束矩陣的確定方法。

假設(shè)初始振型向量X0乘以約束第一階振型的動(dòng)力矩陣D后，迭代結(jié)果后收斂于第二階固有頻率和主振型。同樣，將初始嘗試向量表示為各階振型向量的線性組合，即則從中清除第一階振型成分

所以因此式中，稱為清除一階振型后的清型矩陣。利用清型矩陣按照以下的步驟進(jìn)行迭代計(jì)算，即三、高階固有頻率和振型的求法

依次類推，在順序求出前k階的固有頻率和主振型之后，可以利用以下清型矩陣進(jìn)行迭代求解：可見，這樣非常便于編程計(jì)算。第2節(jié)子空間迭代法

子空間迭代法適合于求解系統(tǒng)的前面幾階特征值和特征向量。這種方法假設(shè)前面r個(gè)初始向量同時(shí)進(jìn)行迭代，以求得前s(s<r)個(gè)特征值和特征向量。子空間迭代法基本上可以任意假設(shè)初始向量，而且，其迭代收斂性優(yōu)于矩陣迭代法。因此，它成為求解大型矩陣特征值問題的有效方法之一，一般利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。本節(jié)簡單介紹子空間迭代方法的基本思想，以及求解的基本過程。假設(shè)n自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為M和K。再假設(shè)系統(tǒng)的各個(gè)特征向量為Ai(i＝1，2,…,n)，相應(yīng)的特征值為=1/p2，則如果把Ai擴(kuò)展成為截?cái)嘈螒B(tài)的振型矩陣，即n×r階的矩陣B，上述關(guān)系仍然成立

但是，下面一步不將ψ1重復(fù)迭代，而是需要作一定的處理。由于系統(tǒng)的各階主振型向量的正交性，任意向量可以通過振型向量的線性組合來表示，這對于截?cái)嘈驼裥途仃囃瑯舆m用。同理，可以將系統(tǒng)前r階主振型矩陣的一次近似表示為式中，YI為r階系數(shù)矩陣。由上式可知，如果B

I為真實(shí)的截?cái)嘀髡裥途仃?，而試用矩陣非常接近它時(shí)，系數(shù)矩陣YI必定趨于r階的單位矩陣。為此，進(jìn)行正交化處理，亦即對原坐標(biāo)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣構(gòu)成相應(yīng)的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣，即同時(shí)，以Y為廣義坐標(biāo)，求解YI和[λI]，并令YI主對角元素為1。則有求得YI后，可以確定B

I：然后，再對BI左乘算子K-1M，得到再次對原坐標(biāo)進(jìn)行正交處理，則有相似的求解YII和[λII]，得到主振型矩陣的二次近似BII第3節(jié)瑞利能量法和鄧克萊法

一、瑞利能量法

瑞利能量法是估算多自由度系統(tǒng)基頻的一種方法。該方法的特點(diǎn)是：①需要假定一個(gè)比較合理的振型；②估算的結(jié)果總是大于實(shí)際值。由于要估算振型，因此，該方法的精度取決于所估計(jì)振型的精度。（1）多自由度系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能的計(jì)算公式為（2）對于諧波振動(dòng)在保守系統(tǒng)中所以

顯然，如果已知某階振型，就可以利用式(5-25)得到該階的固有頻率。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于估計(jì)高階振型非常困難，因此，常常只估計(jì)第一階主振型，求系統(tǒng)基頻。這種計(jì)算方法稱為第一瑞利商。（3）如果系統(tǒng)的柔度矩陣存在，可化為同樣，可以上式求系統(tǒng)的基頻，稱為第二瑞利商。（4）下面進(jìn)一步討論瑞利能量法計(jì)算基頻的精度。所估計(jì)的振型向量總是可以寫作各階振型向量的線性組合，即根據(jù)振型向量的正交性所以可得可以證明，第二瑞利商的計(jì)算結(jié)果要小于第一瑞利商的計(jì)算結(jié)果，即第二瑞利商的計(jì)算結(jié)果精度稍高一些。二、鄧克萊法

鄧克萊法也稱為跡法，用于初步估算系統(tǒng)的基頻。（1）利用柔度法可以得到多自由度系統(tǒng)的特征方程，即將其展開為根據(jù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系，可知由于故基頻遠(yuǎn)低于高階固有頻率時(shí)，可近似認(rèn)為顯然，按照鄧克萊法進(jìn)行計(jì)算得到的基頻量值偏小。第4節(jié)傳遞矩陣法實(shí)際工程結(jié)構(gòu)常常簡化為由質(zhì)量元件和彈性元件組成的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，例如，轉(zhuǎn)軸、連續(xù)梁等。系統(tǒng)利用傳遞矩陣法求解固有特性比較方便有效傳遞矩陣的方法的特點(diǎn)是：（1）將整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)分解為多個(gè)簡單的單元元件，各單元在界面上利用位移協(xié)調(diào)和力平衡條件相互聯(lián)系；（2）各單元兩端的力和位移的關(guān)系利用單元傳遞矩陣聯(lián)系起來；（3）利用邊界條件確定系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型。一、單元傳遞矩陣

將由質(zhì)量元件和彈性元件組成的振動(dòng)系統(tǒng)分解為多個(gè)單元，首先確定各個(gè)單元的傳遞矩陣，即質(zhì)量元件傳遞矩陣和彈性元件傳遞矩陣。1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量mi有在諧振狀態(tài)因此，質(zhì)量右端界面上的作用力為另外，質(zhì)點(diǎn)兩端的位移相同，即則質(zhì)量右端界面上的狀態(tài)向量為令為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量mi的傳遞矩陣。2.圓盤質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對于圓盤質(zhì)量Ji有在諧振狀態(tài)因此，作用于質(zhì)量的右端界面上的轉(zhuǎn)矩為另外，圓盤質(zhì)量兩端的角位移相同質(zhì)量右端面上的狀態(tài)向量為令為圓盤質(zhì)量Ji的傳遞矩陣3.線彈簧元件的傳動(dòng)矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，則有則彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為線彈簧k的傳動(dòng)矩陣4.扭桿彈簧元件的傳遞矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，有扭桿彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為扭桿彈簧k的傳遞矩陣由此可得基本質(zhì)量元件和彈性元件的傳遞矩陣，同時(shí)建立子系統(tǒng)(基本元件)兩端的狀態(tài)向量之間的關(guān)系為式中，Ci為第i個(gè)子系統(tǒng)的傳遞矩陣。二、系統(tǒng)傳遞矩陣

前面已經(jīng)得到了質(zhì)量元件和彈簧元件的傳遞矩陣，現(xiàn)在可以繼續(xù)討論系統(tǒng)的傳遞矩陣。假設(shè)系統(tǒng)的第i個(gè)和第i+1個(gè)子系統(tǒng)(子系統(tǒng)排序總是從左至右的)的傳遞矩陣分別為Ci和Ci+1，則在第i個(gè)和第i+1個(gè)子系統(tǒng)(基本單元)連接的界面上位移和作用力都相同，即所以由此建立了第i個(gè)子系統(tǒng)左端，到第i+1個(gè)子系統(tǒng)右端的傳遞關(guān)系。類推，可得到整個(gè)系統(tǒng)最右端與最左端之間的傳遞關(guān)系為式中,[Cs]為系統(tǒng)的傳遞矩陣，為系統(tǒng)從右到左各子系統(tǒng)傳遞矩陣的連乘；N為系統(tǒng)中的子系統(tǒng)數(shù)目；為端點(diǎn)廣義狀態(tài)向量；這里以非常簡單的彈簧串聯(lián)的例子對系統(tǒng)傳遞矩陣進(jìn)行說明。彈簧k1和彈簧k2的傳遞矩陣分別為和串聯(lián)后的傳遞矩陣為可知，彈簧k1和彈簧k2的串聯(lián)的系統(tǒng)與具有串聯(lián)等效剛度的彈簧傳遞矩陣相同，也證明了彈簧串聯(lián)等效剛度計(jì)算的公式。另外，系統(tǒng)的傳遞矩陣的行列式總是等于1的，因?yàn)榛締卧膫鬟f矩陣的行列式都等于1。這一點(diǎn)可以用來檢驗(yàn)計(jì)算的正確性。三、傳遞矩陣方法求固有頻率和振型

（1）系統(tǒng)邊界條件前面已經(jīng)建了系統(tǒng)的首端和末端的狀態(tài)向量關(guān)系，如果能夠確定端部的邊界條件，就可以建立方程計(jì)算固有頻率和主振型。系統(tǒng)的邊界條件是指鏈?zhǔn)较到y(tǒng)兩端的位移或作用力情況。 如果為自由端，則；如果為固定端，則。（2）固有頻率和振型

根據(jù)系統(tǒng)總的傳遞關(guān)系，結(jié)合邊界條件，總是可以得到關(guān)于頻率的多項(xiàng)式方程，從而求得固有頻率，進(jìn)一步得到振型。下面結(jié)合例題進(jìn)行說明解：振動(dòng)系統(tǒng)中包括兩個(gè)質(zhì)量元件和一個(gè)彈性元件。系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：兩端自由，即M1=M2=0，則得到振動(dòng)系統(tǒng)的振型為例題利用傳遞矩陣法，求如圖所示系統(tǒng)的固有頻率和振型。傳遞矩陣法求固有頻率

解：振動(dòng)系統(tǒng)中包括兩個(gè)質(zhì)量元件和兩個(gè)彈性元件。則系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：右端自由，M2=0；左端固定，θ0=0，則即可得振動(dòng)系統(tǒng)的振型為第5節(jié)具有零特征根和重特征根的系統(tǒng)振型解法

系統(tǒng)的固有頻率有時(shí)會(huì)出現(xiàn)零根或重根的情況，其主振型的求解需要采取特殊的方法。（1）特征方程具有零根時(shí)半正定系統(tǒng)一定會(huì)出現(xiàn)零根的情形，零根對應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為剛體振型。對于剛體振型可以根據(jù)與前面講述的主振型的伴隨矩陣方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果是各個(gè)主坐標(biāo)的位移相同。（2）特征方程具有重根時(shí)

如果特征方程存在兩個(gè)重根，即，則對應(yīng)的兩階主振型向量{X(1)}和{X(2)}就不是唯一的，因?yàn)槿我饩€性組合都是滿足振動(dòng)方程的。假設(shè)，則有顯然{X(1)}和{X(2)}的線性組合，也能夠滿足振動(dòng)方程，即振型向量的正交