3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

第一課時(雙曲線的簡單幾何性質(zhì))一、探究新知

類比對橢圓幾何性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線

的哪些幾何性質(zhì)?如何研究這些性質(zhì)?

觀察右下圖,類比研究橢圓范圍的方法，發(fā)現(xiàn)雙曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的范圍是多少？

你能利用方程(代數(shù)方法)解釋它的范圍嗎？1.范圍:x≤-a或x≥a，y∈R

雙曲線位于直線x=-a及其左側(cè)和直線x=a及其右側(cè)的區(qū)域.所以x≤-a或x≥a，y∈R.二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)yF1OF2xx=ax=-a

類比研究橢圓對稱性的方法，你能得到雙曲線的對稱性嗎?2.對稱性雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸原點是雙曲線的對稱中心yXOP(x,y)P2(-x,-y)P1(-x,y)二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)Oxy3.頂點

類比研究橢圓頂點的方法，你能得到雙曲線的頂點嗎?B2(0,-b)B1(0,b)A1(-a,0)A2(a,0)ab

雙曲線的頂點有兩個：

即A1(-a,0)、A2(a,0).

線段A1A2、B1B2分別叫做雙曲線的實軸和虛軸，它們的長分別為2a、2b；a、b分別叫雙曲線的實半軸長和虛半軸長.二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

利用信息技術(shù)畫出雙曲線

和兩條直線

.在雙曲線

的右支上取一點M，測量點M的橫坐標(biāo)xM以及它到直線

的距離d.沿曲線向右上方拖動點M,觀察xM與d的大小關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么?

可以發(fā)現(xiàn)，點M的橫坐標(biāo)xM越來越大，d越來越小，但是d始終不等于0.二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

實際上，經(jīng)過兩點A1、A2作y軸的平行線x=±3，經(jīng)過兩點B1、B2作x軸的平行線y=±2，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線的方程是

.可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線

的兩支向外延伸時，與兩條直線

逐漸接近，但永遠(yuǎn)不相交.二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)4.漸近線

雙曲線

的漸近線是.

在雙曲線方程

中，如果a=b,那么方程變?yōu)閤2-y2=a2，此時雙曲線的實軸和虛軸的長都等于2a.這時，四條直線x=±a,y=±a圍成正方形，漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角.

實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，張口越大.5.離心率:

雙曲線的焦距與長軸長的比

就稱為雙曲線的離心率，用e

表示，即.

離心率的取值范圍：e>1

橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征?

用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的“張口”大小嗎?它與用離心率刻畫“張口”大小有什么聯(lián)系和區(qū)別?二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)三、典型例題例1

求雙曲線9y2-16x2=144的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標(biāo)、

離心率、漸近線方程.三、典型例題方法歸納1.將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程

的形式.2.確定焦點的位置.三、典型例題解：(1)例2

求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，.(2)過點P(1,-3)且離心率為.

(3)過點(4,)，且漸近線為.三、典型例題解：(2)例2

求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，.(2)過點P(1,-3)且離心率為.

(3)過點(4,)，且漸近線為.三、典型例題解：(3)例2

求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，.(2)過點P(1,-3)且離心率為.

(3)過點(4,)，且漸近線為.三、典型例題方法歸納1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,應(yīng):先定位(焦點),再定量(a、b)2.當(dāng)焦點位置不確定時，要討論！四、課堂小結(jié)1.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點坐標(biāo)漸近線半軸長離心率

a、b、c關(guān)系(a,0)、(-a,0)(0,a)、(0,-a)關(guān)于x、y軸成軸對稱;關(guān)于原點成中心對稱實半軸長為a,虛半軸長為bx≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈Rc2=a2+b2四、課堂小結(jié)2.方法歸納：

(1)將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.(2)確定焦點的位置.當(dāng)焦點位置