第09講二次函數(shù)與一元二次方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會(huì)求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）注意：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根.

2．拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．注意：

求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．知識(shí)點(diǎn)02利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解1．用圖象法解一元二次方程的步驟

(1)作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)；

(2)確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

(3)在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索。即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

(4)確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對(duì)應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

2．求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。知識(shí)點(diǎn)03拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，?！嗉矗ā鳎?）知識(shí)點(diǎn)04拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解注意：

拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號(hào)，其解集也相應(yīng)帶有等號(hào)。能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，另一交點(diǎn)為，則的長為（

）A．2 B．3 C．6 D．8【典例2】二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例3】拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【典例4】下列拋物線經(jīng)過原點(diǎn)的是（

）．A． B．C． D．考法02利用圖象法求一元二次方程的近似解【典例5】根據(jù)表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解x的范圍是（

）x00.511.52y＝ax2+bx+c13.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【即學(xué)即練】如表，是二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的幾組對(duì)應(yīng)值．那么方程的一個(gè)近似解是（）x0.911.11.21.31.4y-1.49-1-0.490.040.591.16A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【典例6】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（

）A．的解集是B．的解集是C．的解集是D．的解是或【即學(xué)即練】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a）．有下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4考法03判斷二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的情況【典例7】從-1、0、3、5、7五個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)，記為m，則使二次函數(shù)y=mx2+6x+2與x軸有交點(diǎn)時(shí)的m的值有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練】拋物線y=x2+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為（

）A． B． C． D．4【典例8】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，若拋物線與線段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．或【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y=ax2?4ax?5a+1(a>0)下列結(jié)論正確的是（

）①已知點(diǎn)M(4，y1)，點(diǎn)N(?2，y2)在二次函數(shù)的圖象上，則y1>y2；②該圖象一定過定點(diǎn)（5，1）和（－1，1）；③直線y=x?1與拋物線y=ax2?4ax?5a+1一定存在兩個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，y的最小值是a，則a=A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④考法04求x軸與拋物線的截線長【典例9】拋物線y＝﹣x2＋2x＋6在直線y＝﹣9上截得的線段長度為（）A．6 B．7 C．8 D．9【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，則線段AB的長為()A．1 B．2 C．3 D．4【典例10】拋物線在軸上截得的線段長度是（

）A． B．2 C． D．【典例11】將二次函數(shù)y＝ax2的圖象先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，截x軸所得的線段長為4，則a＝（

）A．1 B． C． D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，可知方程的所有解的積為（

）A．－4 B．4 C．5 D．－52．拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．3．二次函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況描述正確的是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)無法確定符號(hào)的實(shí)數(shù)根4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下結(jié)論：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；丙：3a+c＞0；丁：當(dāng)x≥0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．則以上正確的是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁5．已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別是-1和3，若拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過A作軸，交拋物線于另一交點(diǎn)B，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．1 D．1.56．下表是一組二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值：x…11.11.21.31.4…y…-1-0.490.040.591.16…那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）是（

）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.37．已知拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，則_______．8．已知拋物線的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________9．已知二次函數(shù)．（1）求拋物線開口方向及對(duì)稱軸．（2）寫出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）寫出方程的根；（2）寫出不等式的解集；（3）若方程無實(shí)數(shù)根，寫出的取值范圍．題組B能力提升練1．拋物線y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(x1，0)．下列式子中正確的是（

）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n2．已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(m，n)，B(4﹣m，n)，且拋物線與x軸有交點(diǎn)，則c的最大值為（

）A．0 B．2 C．4 D．83．如圖，拋物線的對(duì)稱軸是，關(guān)于x的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為（

）A． B． C． D．04．已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+1的值為(

)A．0 B．1 C． D．25．已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．6．已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，另一個(gè)交點(diǎn)是B，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．67．根據(jù)表格確定一元二次方程x2+2x-9=0的一個(gè)解的范圍是____x01234x2+2x-919-6-16158．已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為，與x軸交于點(diǎn)，根據(jù)圖像回答下列問題：當(dāng)x_______時(shí)，y隨x的增大而減?。悍匠痰膬蓚€(gè)根是___________．9．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．10．已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的對(duì)稱軸為．(1)填空：b=________；（用含a的代數(shù)式表示）(2)若拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求的值；(3)若拋物線過點(diǎn)（?2，?2），當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最值是?2，求k的取值范圍；(4)當(dāng)a=?1時(shí)，若關(guān)于x的方程式在的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱軸為，則拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．拋物線的對(duì)稱軸為，若關(guān)于的二次方程在范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下列結(jié)論正確的是（）x…﹣1013…y…﹣1353…A．該函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2）B．無論x取何值，y恒小于0C．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨著x的增大而增大D．該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)4．關(guān)于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解為x1，x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．﹣2＜x1＜1＜x2 C．x1＜﹣2＜x2＜1 D．x1＜﹣2＜1＜x25．已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如上表，以下結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大C．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是 D．方程的根為0和26．如圖，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．若點(diǎn)都在拋物線上，則C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根7．已知二次函數(shù)，當(dāng)＝______時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)＝_________時(shí)，圖象過原點(diǎn)．8．已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，m，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則下列結(jié)論正確的有______．（填序號(hào)即可）．①②③存在實(shí)數(shù)x，使