專題09相似三角形的判定（6個知識點8種題型1個易錯點1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：相似三角形及其表示方法知識點2：利用平行線判定三角形相似（重點）知識點3：判定兩個三角形相似的定理1（重點）知識點4：判定兩個三角形相似的定理2（重點）知識點5：判定兩個三角形相似的定理3（重點）知識點6：判定兩個直角三角形相似的定理（重點）【方法二】實例探索法題型1：添加條件來說明三角形相似題型2：尋找圖形中三角形的對數(shù)題型3：相似三角形的判定定理的運用題型4：利用相似三角形證明等積式題型5：相似三角形的應(yīng)用題型6：與相似三角形有關(guān)的實踐操作題題型7：相似三角形與函數(shù)綜合題題型8：與相似三角形有關(guān)的探究性問題【方法三】差異對比法易錯點：對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法：相似三角形的判定【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。2.能靈活地運用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點詮釋：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為1時，兩個三角形全等.【例1】下列能夠相似的一組三角形為().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形知識點2：利用平行線判定三角形相似（重點）平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．【例2】（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．知識點3：判定兩個三角形相似的定理1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．AABCA1B1C1要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.【例3】（2021秋·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．知識點4：判定兩個三角形相似的定理2（重點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．AABCA1B1C1要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.【例4】如圖，在與中，，．求證：．AABCDE知識點5：判定兩個三角形相似的定理3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例5】如圖，正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1，網(wǎng)格中有和（三角形中的每個頂點都在格點上）．這兩個三角形相似嗎？請說明你的理由．知識點6：判定兩個直角三角形相似的定理（重點）如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．AABCA1B1C1【例6】如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．AABCDA1B1DC1【方法二】實例探索法題型1：添加條件來說明三角形相似1．（2023春·安徽蚌埠·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，要使與相似，還需要添加一個條件，這個條件是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）如圖，D是ΔABC邊AB延長線上一點，請?zhí)砑右粋€條件_______，使ΔACD∽ΔABC．3．（2022秋·安徽安慶·九年級安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，，交于點O，且，，，當_____時，．4．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，要使和相似，已具備條件________，還需補充的條件是______，或______，或______．

題型2：尋找圖形中三角形的對數(shù)5．（2022秋·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等邊，點分別是邊上的動點，，則圖中相似的三角形的對數(shù)是()A．3對 B．4對 C．5對 D．6對6．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是斜邊上的高，，垂足為，則圖中與相似的三角形（不包括）共有（）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個題型3：相似三角形的判定定理的運用7．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）已知在中，，，，下列陰影部分三角形與原三角形不一定相似的是（

）A． B． C． D．8．（2020秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個三角形，與如圖的三角形相似的是（）A． B． C． D．9.（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，在中，于D，E為直角邊的中點，過D，E作直線交的延長線于F．求證：．10．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中?？计谥校┤鐖D，在中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且，．求證：11．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且．求證：．12．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，將矩形紙片沿著過點D的直線折疊，使點A落在邊上，落點為F，折痕交邊于點E，(1)求證：；(2)若，求的長；13．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，則相似嗎？說明理由．14．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在正方形的邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點．另一條直角邊與交于點．求證：．15．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在和中，，．求證：．16．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：；（2）請你再寫出兩對相似三角形．17．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖所示，在的正方形方格中，和的頂點都在邊長為的小正方形的頂點上．(1)填空：______，______；(2)判斷與是否相似？并證明你的結(jié)論．題型4：利用相似三角形證明等積式18.如圖，、分別是的邊、上的點，且．求證：．AABCDE19.如圖，是等邊三角形，，求證．AABCDE20.如圖，在中，，//，點在邊上，與相交于點，且．（1）求證：；（2）．AABCDEFG21.如圖，在中，于D，于F，于G．求證：．AABCDFG題型5：相似三角形的應(yīng)用22．周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB．題型6：與相似三角形有關(guān)的實踐操作題23．（2021秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，過上一點D作直線交于點E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可作多少條？24．（2021春·九年級課時練習(xí)）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為，和，另一個三角形框架的一邊長為，它的另外兩條邊長應(yīng)當是多少？你有幾種制作方案？25．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似；由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：________________的兩個三角形相似．26．（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，將沿著圖示中的虛線剪開，使剪下的小三角形與相似，下面有四種不同的剪法．(1)請選擇其中一種正確的剪法______（填序號）；(2)寫出所選剪法中兩個三角形相似的證明過程．題型7：相似三角形與函數(shù)綜合題27．如圖，雙曲線y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（，4），直線y＝x與雙曲線交于B點，過A，B分別作y軸、x軸的垂線，兩線交于P點，垂足分別為C，D．（1）求雙曲線的解析式；（2）求證：△ABP∽△BOD．28.（2022·安徽·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸只有一個公共點．（1）若拋物線過點，求的最小值；（2）已知點中恰有兩點在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點，點A在直線上，且，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和直線l于點B，C．求證：與的面積相等．題型8：與相似三角形有關(guān)的探究性問題29．如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動．若點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過______秒鐘，與相似．30．如圖，中，，，，D是的中點，動點P從點A出發(fā)，沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)當t為多少秒時，以點A、D、P為頂點的三角形與相似？(2)若為鈍角三角形，請直接寫出t的取值的范圍．31．如圖，在中，C、D為邊上的兩個動點，．(1)若，則與相似嗎?為什么?(2)若（即C、D重合），則_______°時，；(3)當和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，?請說明理由．【方法三】差異對比法易錯點：對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹32.在和中，．依據(jù)下列各組條件判定這兩個三角形是否相似，并說明理由．（1），；（2），，，；（3），，，；（4），，，．【方法四】仿真實戰(zhàn)法一．選擇題（共1小題）1．（2021?無錫）如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點，AE、BC的延長線交于點F，AE的垂直平分線分別交AE、BC于點H、G，連接EG，則與△FEC相似的三角形個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共3小題）2．（2021?湘潭）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）3．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．4．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應(yīng)的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．三．解答題（共1小題）5．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【方法五】成功評定法一、單選題1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，點D在的邊上，添加一個條件，使得，下列不正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·安徽滁州·九年級校考期末）如圖，為線段上的一點，與交于點，，與交于點，交于點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B．C． D．4．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）已知正方形，E是的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中不能推出與相似的是（）A． B．C．P是BC的中點 D．5．（2022秋·安徽亳州·九年級?？计谥校┤鐖D，在下列4×4的正方形（每個小正方形的邊長都為1）網(wǎng)格中均有一個三角形，能相似的兩個三角形是(

)A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④6．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習(xí)）下列命題中：①任意兩個等腰三角形都相似；②任意兩個等邊三角形都相似；③任意兩個直角三角形都相似；④任意兩個等腰直角三角形都相似；正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．③④7．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，下列條件中不能判斷和相似的是（

）A． B．平分 C． D．8．（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖是一張矩形紙片，點E是中點，點F在上，把該紙片沿折疊，點A、B的對應(yīng)點分別為、，與BC相交于點G，的延長線經(jīng)過點C．若，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中有5個格點三角形，分別是：①，②，③，④，⑤，其中與⑤相似的三角形是（

）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④10．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，點D，E分別是，上的點，與交于點F，下列條件中不能使和相似的是（

）A． B．C． D．二、填空題11．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，點為邊上的一點，選擇下列條件：①；②；③；④中的一個，不能得出和相似的是：（填序號）．12．（2022秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中有三個三角形，分別是，，，其中與相似的是．13．（2018秋·安徽安慶·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC上的點．=，點F為BC邊上一點，添加一個條件：，可以使得△FDB與△ADE相似．（只需寫出一個）14．（2013秋·安徽六安·九年級階段練習(xí)）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A，B），過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線．如圖，∠A=36°，AB=AC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有條．三、解答題15．（2022秋·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．16．（2021秋·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中校考期中）如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．17．（2021秋·安