2023-2024學年北京市朝陽區(qū)高三上學期期中數(shù)學質(zhì)量監(jiān)測模擬試題一、選擇題（每題4分，共40分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是（

）A．的虛部是2 B．C．的共軛復數(shù)是 D．在復平面內(nèi)對應的點在第二象限3．已知點是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．4．已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C．1 D．7．在數(shù)列中，已知，則“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值（

）A． B． C． D．9．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.如圖3中每個正方體的棱長為1，則點到平面的距離為（

）圖1

圖2

圖3A． B． C．1 D．10．設(shè)函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當時，函數(shù)有三個極值點；②當時，函數(shù)有三個極值點；③是函數(shù)的極小值點；④不是函數(shù)的極大值點.其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．②④二、填空題（每題5分，共25分）11．首項為1的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則公比.12．若函數(shù)為偶函數(shù)，則，的最小值為.13．已知正四棱錐，底面邊長為2，體積為，則這個四棱錐的側(cè)棱長為.14．已知數(shù)列滿足，，，.則集合中元素的個數(shù)為.15．已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意，，，則，.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．在中，．(1)求的大??；(2)以下三組條件中恰有一組條件使得三角形存在且唯一確定，請選出該組條件并求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：條件選擇錯誤，第（2）問得0分．17．如圖，已知平面平面，四邊形是矩形，，點，分別是，的中點.

(1)若點為線段中點，求證：平面；(2)求證：平面.18．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.19．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱上一點.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.20．已知函數(shù).(1)求證：函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)的值.21．已知數(shù)列：，，…，.如果數(shù)列：，，滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.(1)若數(shù)列：，，，的“衍生數(shù)列”是：5，，7，2，求；(2)若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；(3)若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，…依次將數(shù)列，，，…第（）項取出，構(gòu)成數(shù)列：，，….求證：是等差數(shù)列.1．B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解集合A，結(jié)合交集的定義和運算即可求解.【詳解】由題意知，，，所以.故選：B.2．B【分析】根據(jù)復數(shù)的概念，共軛復數(shù)的定義，復數(shù)在直角坐標系的表示方法即可求解.【詳解】解：A選項：的虛部是，故A錯誤；B選項：，故B正確；C選項：的共軛復數(shù)是，故C錯誤；D選項：在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，故D錯誤.故選：B3．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再根據(jù)誘導公式計算得到答案.【詳解】點是角終邊上一點，故，.故選：D4．A根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】選項：由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；選項：由線面垂直判定定理知，需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明，錯誤；選項：若，則平行關(guān)系不成立，錯誤；選項：的位置關(guān)系可能是平行或異面，錯誤.故選：本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.5．B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．6．C【分析】確定，，得到最值.【詳解】，，故，故函數(shù)的最大值為.故選：C7．C【分析】分別求出當、“是單調(diào)遞增數(shù)列”時實數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】已知，若，即，解得.若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件.故選：C.8．B【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)的圖像距離原點最近的點的坐標，即可確定的值【詳解】解：如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點為，由圖可知，所以，所以點與點關(guān)于點對稱，設(shè)，則，解得，因為將函數(shù)函數(shù)的圖像向左平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖像，且圖像關(guān)于原點對稱，所以平移后的函數(shù)為奇函數(shù)，即相當于把的圖像與軸最近的交點平移到坐標原點即，由圖可知此點為，所以，故選：B9．A【分析】由題意建立如圖空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，再由點到平面的距離公式計算即可求解.【詳解】建立如圖空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，得，所以點A到平面的距離是.故選：A.10．D【分析】取特殊值，結(jié)合函數(shù)圖象可判斷①③；作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷②；討論a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象，可判斷④.【詳解】對于①，不妨取，此時，作出函數(shù)圖像如圖：

此時函數(shù)有2個極值點，故①錯誤；對于②，當時，，作出函數(shù)的大致圖象如圖：

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時函數(shù)有3個極值點：，②正確；對于③，由①的分析可知，時，是函數(shù)的極大值點，③錯誤；對于④，由以上分析可知當時，，且為的對稱軸，此時為函數(shù)的極小值點，當時，，此時在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極大值點，

故不是函數(shù)的極大值點，④正確，故選：D方法點睛：題目中分段函數(shù)涉及的函數(shù)是比較常見的函數(shù)，故可作出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合函數(shù)極值點的概念進行判斷，即可解決問題.11．2【分析】根據(jù)等差中項可得，利用等比數(shù)列通項公式代入即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，因為首項為1，所以，所以，故.故212．2【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義即可求，據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以；故，當時，，所以，當且僅當，即時，等號成立；由偶函數(shù)圖象的對稱性，所以當時，，綜上，所以，即的最小值為2.故；213．【分析】由棱錐的體積公式計算出高，然后由勾股定理求解即可.【詳解】因為正四棱錐，底面邊長為2，所以底面積為.設(shè)正四棱錐的高為，由，所以.所以側(cè)棱長為.故14．24【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】由題意得，，所以，又，所以，，當為偶數(shù)時，令，解得，當為奇數(shù)時，令，因為函數(shù)的對稱軸為，當時，，當時，，所以，綜上可得集合中元素的個數(shù)為.故2415．3【分析】依題意可根據(jù)單位向量設(shè)出，使其滿足條件，可得，再利用即可得，解得，即可求得.【詳解】根據(jù)題意可令，由可設(shè)，設(shè)，則由可得，所以,同理可得,所以當，即時，有最小值，解得；所以可得，，即，.故；.方法點睛：在求解空間向量模長以及數(shù)量積問題時，將一般向量坐標化使計算和問題得到簡化.16．(1)(2)選擇條件②，三角形面積為【分析】（1）由余弦定理與已知條件結(jié)合可得，再由，所以得；（2）由，再結(jié)合，，可判斷出條件②能使三角形存在且唯一確定，然后由正弦定理計算，，再代入三角形面積公式計算.【詳解】（1）由余弦定理，又，可得，所以，又因為，所以（2）由（1）知，，根據(jù)條件②中，，所以也是唯一確定的，從而可得也是唯一確定的，再由，代入正弦定理計算可得邊也是唯一確定的，故選擇條件②.因為，，所以．由正弦定理，可得，所以所以三角形面積關(guān)于解三角形的問題，需要判斷清楚選用合適的公式求解，一般涉及二次方以及三邊一角的關(guān)系時都用余弦定理，涉及兩邊兩角的關(guān)系一般用正弦定理.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連結(jié)交于，連結(jié)，，，證明四邊形是平行四邊形，則為的中點，進而有，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得面，則，再證明，即可得證.【詳解】（1）連結(jié)交于，連結(jié)，，，因為四邊形是矩形，所以，且，又，分別為的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；

（2）在矩形中，，因為平面平面，平面平面，平面，所以面，因為平面，所以，因為，點是的中點，所以，又因為平面，所以平面.18．（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是（3）.（1）先求得導函數(shù)，由導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再求得切點坐標，即可由點斜式得切線方程；（2）求得導函數(shù)，并令求得極值點，結(jié)合導函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）將不等式變形，并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得并令求得極值點，結(jié)合極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性和端點求得最值，即可確定的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以，.又因為，則切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為.（2）函數(shù)定義域為，由（1）可知，.令解得.與在區(qū)間上的情況如下：－0＋↘極小值↗所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）當時，“”等價于“”.令，，，.令解得，當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.而，.所以在區(qū)間上的最大值為.所以當時，對于任意，都有.本題考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，由導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分離參數(shù)法并構(gòu)造函數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，由導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.19．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）首先以點為原點，建立空間直角坐標系，并求平面的法向量，利用向量法求線面角；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，再根據(jù)向量法求二面角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為正弦值，即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，并設(shè)點的坐標為，若假設(shè)存在，則，即可求解.【詳解】（1）以為原點，，，分別為，，軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，不妨設(shè)，則，，，所以平面的一個法向量為設(shè)直線與平面所成角為，則.（2）由正方體可得，，，且，且平面，所以平面的一個法向量為，則.因為二面角為銳二面角，所以二面角的正弦值為.（3）存在，設(shè)點的坐標為，所以平面的一個法向量為，因為，所以，因為平面，所以平面.此時20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導，對導函數(shù)因式分解，進而得到導函數(shù)大于等于0，得到函數(shù)單調(diào)遞增；（2）求導，結(jié)合隱零點得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求出的最大值，進而構(gòu)造函數(shù)，得到，得到整數(shù)的值.【詳解】（1），當時，，，，∴單調(diào)遞增；（2），令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使得，即，即，故當時，，當時，，又當時，（等號僅在時成立），所以當時，，當時，（等號僅在時成立），所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以，所以.隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.21．(1)2，1，4，5(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，列出關(guān)于的方程，解之即可；（2）由題意得，進而，，將上