湖南省長沙市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試題一?單選題（共8小題）1．已知集合.若A?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知，且，則（

）A． B．C． D．3．已知,則的值是（

）A．0 B．–1 C．1 D．24．已知x?log32＝1，則＝（）A．4 B．6 C． D．95．下面四個命題中可能成立的一個是（

）A．且B．且C．且D．在第二象限時，6．設(shè)，均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．在中，點(diǎn)分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，則點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．8．在三棱錐中，底面，，，，，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．二?多選題（共4小題）9．如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是A．異面直線AC與所成的角為60°B．直線與平面成角為45°C．二面角的正切值為D．四面體的外接球的體積為10．如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象．為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn)（

）．A．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的，縱坐標(biāo)不變C．把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度D．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變11．已知圓和直線，則（

）A．直線l與圓C的位置關(guān)系無法判定B．當(dāng)時，圓C上的點(diǎn)到直線l的最遠(yuǎn)距離為C．當(dāng)圓C上有且僅有3個點(diǎn)到直線l的距離等于1時，D．如果直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)的軌跡是一個圓12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”，如圖，已知橢圓C：，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A． B．C．軸，且 D．四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)三?填空題（共4小題）13．已知正四棱柱中，=，為中點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為．14．已知：過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離是．15．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，且，為上不同兩點(diǎn)（，位于軸右側(cè)），，關(guān)于的對稱點(diǎn)分別為為，，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，則的最小值為．16．已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是．四?解答題（共8小題）17．已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.（1）求cosB的值；（2）若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值.18．已知的三內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，向量與向量的夾角的余弦值為.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．19．如圖1，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖2.

(1)求證：平面.(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.20．如圖，在三棱柱中，，設(shè).(1)試用向量表示，并求.(2)在平行四邊形內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.21．已知圓.(1)求過點(diǎn)M（2，1）的圓的切線方程；(2)直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；(3)已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．已知的三個頂點(diǎn)分別為，，.(1)求邊和所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.23．已知橢圓方程為，過點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)斜率大于零的直線過與橢圓分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，求直線EF的方程；(3)對于，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．24．已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)m的值．1．A【分析】利用集合間的基本關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋諥?，所以.故選：A2．A【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，且，可得，將不等式的兩邊同時乘以，可得，將不等式的兩邊同時乘以，可得，從而可得.故選：A本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時乘以正數(shù)，不等號的方向不變，此題屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分別求得的值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，，所以.故選：D.4．D【分析】根據(jù)換底公式及對數(shù)的性質(zhì)化簡求值即可.【詳解】，，∴4x＝＝9，故選：D5．B【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，且，則，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，且，，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，則，即，，與選項(xiàng)矛盾；對于D選項(xiàng)，當(dāng)在第二象限時，，D選項(xiàng)錯誤.故選：B.本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的判斷，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【分析】利用定義法，分充分性和必要性分別討論.【詳解】充分性：因?yàn)?，所以，即，展開得：.因?yàn)?，均為單位向量，所以，所以，?所以充分性滿足.必要性：因?yàn)椋?，均為單位向量，所?同理可求：，所以.故必要性滿足.故選：C7．B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，設(shè)的對角線的交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以點(diǎn)，即點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故其共軛復(fù)數(shù).故選：B8．B【分析】將三棱錐補(bǔ)形成長方體，再采用等體積法即可求解【詳解】如圖，結(jié)合題干已知條件，可將三棱錐還原成長方體，證明如下：底面，，又，，平面，通過補(bǔ)形，即可得到長方體，由可得，，又，故，平面，所以，則，由，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則可得到，求得故選：B本題主要考查等體積法求解點(diǎn)面距離，屬于中檔題9．ACD【分析】對A，平移直線到直線；對B，作出線面所成的角，再利用三角函數(shù)求解；對C，作出二面角的平面角，再求正切值；對D，利用補(bǔ)形法即三棱錐的外接球?yàn)檎襟w的外接球.【詳解】如圖所示，連接，對A，平移直線到直線，則異面直線AC與所成的角，顯然為正三角形，，故A正確；對B，，，，平面，為線面角，，，，故B錯誤；對C，在三角形中，，為二面角的平面角，，故C正確；對D，利用補(bǔ)形法即三棱錐的外接球?yàn)檎襟w的外接球，，，故D正確.故選：ACD.本題考查空間中角的概念與計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．AC【分析】先根據(jù)圖象求函數(shù)解析式，應(yīng)先觀察圖象，確定“振幅”“周期”，再通過計(jì)算求，再借助圖象變換規(guī)則即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），將（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得．然后各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得．故A正確．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得．然后向左平移個單位，得．故C正確．故選：AC本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)性質(zhì)，圖象的伸縮變換的規(guī)律：（1）把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則所得圖像對應(yīng)的解析式為，遵循“左加右減”；（2）把函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮ǎ敲此脠D像對應(yīng)的解析式為，屬于中檔題.11．BCD【分析】對于A，由于直線恒過定點(diǎn)，所以判斷此定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可，對于B，求出圓心到直線的距離再加上圓的半徑即可，對于C，由題意可得只要圓心到直線l距離為1即可，對于D，設(shè)MN的中點(diǎn)為P，由垂徑定理知，從而可得結(jié)論【詳解】由，得，所以圓心，半徑為2，選項(xiàng)A：由直線l的方程可得，，則直線l恒過定點(diǎn)，此點(diǎn)在圓C內(nèi)，故直線l與圓C相交．故A錯誤．選項(xiàng)B：時，直線l的方程為，即．設(shè)圓心到直線l距離為d，則，所以圓C上的點(diǎn)到直線l的最遠(yuǎn)距離為．故B正確．選項(xiàng)C：當(dāng)圓C上有且僅有3個點(diǎn)到直線l的距離等于1時，圓心到直線l距離為1，由，得．故C正確．選項(xiàng)D：直線l恒過定點(diǎn)，設(shè)MN的中點(diǎn)為P，由垂徑定理知，故點(diǎn)P的軌跡是以為直徑的圓，故D正確．故選：BCD12．BD【分析】結(jié)合橢圓的定義、幾何性質(zhì)等知識對選項(xiàng)的條件逐一分析，結(jié)合橢圓的離心率為確定正確答案.【詳解】由橢圓，可得，，對于A，，即，化簡得，即，不符合題意，故A錯誤；對于B，，則，即，化簡得，即有，解得（舍去），符合題意，故B正確；對于C，軸，且，由，解得，不妨設(shè)，由，可得，解得，又，所以，不符合題意，故C錯誤；對于D，四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為c，則，結(jié)合，即，解得（舍去）或即，符合題意，故D正確；故選：BD本題的難點(diǎn)是在各種情況下求橢圓的離心率，主要的思路是求得的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為.也即是找到的一個等量關(guān)系式（齊次式），通過轉(zhuǎn)為后解方程來求得離心率.13．【詳解】如圖：連結(jié)，則，所以即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，，，由余弦定理得14．【分析】把直線的方程變形，得關(guān)于、的方程組，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【詳解】由直線方程變形為：，令，，求得，，可得直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線：的距離是，故．15．.【分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)，的軌跡為雙曲線的右支，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，則，又，則，點(diǎn)的軌跡方程為，即，同理可得點(diǎn)也在軌跡上，注意到點(diǎn)恰為雙曲線的左焦點(diǎn)，如圖：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則由雙曲線的定義可得，的最小值為．故．本題考查橢圓與雙曲線的綜合運(yùn)用，考查化簡求解能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．16．根據(jù)解析式畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可得時，存在，使得，根據(jù)解析式可以求出，，所以可化成，再結(jié)合范圍即可求出取值范圍．【詳解】解：可得函數(shù)圖象如下所示由圖可知，當(dāng)時，存在，使得，不妨令此時，則對于、滿足方程，即，所以；對于、滿足方程，即，所以，則有，，其中，則，即故．本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)與方程的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于中檔題．17．（1）；（2）12.【分析】（1）由條件展開，變形，再結(jié)合余弦定理求得；（2）由余弦定理，再結(jié)合公式，計(jì)算的值.【詳解】(1)由，可得.所以，即cosB＝.(2)因?yàn)?，，由余弦定理，得，又，所以，解得ac＝12.18．（1）（2）【分析】（1）分別求出、以及代入（2）用余弦定理、基本不等式以及三角形的兩邊之和大于第三邊可求的取值范圍【詳解】解：（1）∵，，∴，.∵，∴.∴.∴.又∵，∴.∴，∴故答案為.（2）由余弦定理，得當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．∴，即.又，∴的取值范圍為．在三角形中，考查向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角恒等變形、余弦定理以及基本不等式，中檔題.19．(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用線面垂直的判定得平面，再證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出面面夾角余弦值.【詳解】（1）在題圖1中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，即在題圖2中，，又，平面，從而平面.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面.（2）由已知知平面平面，又由（1）知，平面平面，平面，平面，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，則.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，平面與平面的夾角為.則，即，可取.由，得取，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)，(2)存在，【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，兩邊同時平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，則.設(shè)，根據(jù)線性運(yùn)算可得，結(jié)合數(shù)量積的定義建立方程組，解之即可.【詳解】（1）連接，由題意可知，，且三個向量兩兩夾角均為，所以.故，所以.（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，連接，不妨設(shè)，則，而，所以.要使平面，只需，即，所以，解得即，所以存在點(diǎn)，即當(dāng)時，平面.21．(1)y=1；(2)x+y-2=0；(3).【分析】(1)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圖形即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)題意可知直線過圓心，利用直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算即可得出結(jié)果；(3)設(shè)圓E的圓心E（a，1），根據(jù)題意可得圓E的半徑為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系和兩點(diǎn)距離公式計(jì)算求出，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）圓，即，其圓心為，半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；（2）由題意得，圓的直徑為2，所以直線過圓心，由直線的兩點(diǎn)式方程，得，即直線的方程為x+y-2=0；（3）因?yàn)閳AE的圓心在直線y=1上，設(shè)圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得R=a()又圓E與圓相外切，所以，由兩點(diǎn)距離公式得，所以，解得，所以圓心，，所以圓E的方程為.22．(1)，(2)25【分析】（1）由截距式直線方程與兩點(diǎn)式直線方程即可寫出直線方程；（2）先將直線方程求出，再寫出截距式直線方程即可求三角形面積.【詳解】（1）由截距式，得邊所在直線的方程為，即.由兩點(diǎn)式，得邊所在直線的方程為，即.（2）由題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式，得邊所在直線的方程為，即，所以.所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.23．(1)(2)(3)滿足條件的k不存在，理由見解析【分析】（1）由