研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.§1.2隨機(jī)事件的概率概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！編輯ppt

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小非常有意義，例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小，確定保險(xiǎn)金額.了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置效勞人員.了解每年最大洪水超警戒線(xiàn)可能性大小，合理確定堤壩高度等.編輯ppt一．概率的統(tǒng)計(jì)性定義1.頻率：設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)了m次，那么稱(chēng)為事件A在這n

次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，m

稱(chēng)為頻數(shù)．易見(jiàn)，頻率具有如下的性質(zhì)：編輯ppt

盡管在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)這種結(jié)果,也可能出現(xiàn)那種結(jié)果.但在大量重復(fù)試驗(yàn)中,一個(gè)事件的頻率將逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p(0≤p≤1)，是一種客觀的內(nèi)在屬性，顯然p越大,事件發(fā)生的可能性也越大;反之亦然．p

以數(shù)量的形式反映了事件發(fā)生的可能性的大?。覀儼裵

叫做事件的概率．(2)概率的統(tǒng)計(jì)性定義:在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p附近，那么稱(chēng)該常數(shù)p為事件A的概率．記為:P(A)=p編輯pptP(A)的性質(zhì)：概率的統(tǒng)計(jì)性定義形象，直觀，但缺乏數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)密性，后面將概率的公理化定義.

下面是古典概率的計(jì)算．如：拋硬幣時(shí)，A=“正面向上〞，那么P(A)＝0.5編輯ppt1.古典概型定義:假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.稱(chēng)這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn)或古典概型隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.二、古典概型：編輯ppt2、古典概型中事件概率的計(jì)算定義2設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間Ω由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.那么定義事件A的概率為：稱(chēng)此概率為古典概率.

這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法.

k

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝

＝

n

Ω

中的樣本點(diǎn)總數(shù)下面通過(guò)例子來(lái)介紹如何計(jì)算古典概率.編輯ppt乘法原理、排列、組合常用工具：根本領(lǐng)件考慮順序時(shí)用乘法原理、排列，不考慮順序時(shí)用組合。乘法原理：一個(gè)過(guò)程分為t個(gè)階段無(wú)重復(fù)排列:組合:編輯ppt3、古典概率計(jì)算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫(xiě)在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：SCIENCE問(wèn)：出現(xiàn)這一結(jié)果的概率是多少？編輯ppt拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果屢次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，那么我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！編輯ppt這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握疑心這是魔術(shù).具體地說(shuō)，可以99.9%的把握疑心這是魔術(shù).編輯ppt解：=0.3024允許重復(fù)的排列問(wèn)：錯(cuò)在何處？例2某城市的號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個(gè)不同數(shù)字中取5個(gè)的排列編輯ppt(1)有放回抽樣問(wèn):A=“抽取3只球全為紅球〞的概率P(A)是多少？例3

袋中有100只球，其中60只紅球,40只白球,從中任意抽取3只，抽法分別為：(2)無(wú)放回抽樣(3)一次取出解：編輯ppt例４

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無(wú)放回抽樣.解：令A(yù)={恰有k件次品}P(A)=？次品正品……M件次品N-M件正品編輯ppt解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例5.n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問(wèn):“各堆都自成一雙鞋〞(事件A)的概率是多少？(乘法原理)編輯ppt(3)C=某指定的一間房中恰有m人(m≤n).例6.有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N間房的每一間中，求以下事件的概率:(2)B=恰有n間房中各有一人。(1)A=指定的n間房中各有一人.編輯ppt解：一個(gè)人可進(jìn)入任一房間，同一房間可進(jìn)入多人.由乘法原理n個(gè)人分配到N個(gè)房間的分法總數(shù)為：所以編輯ppt我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見(jiàn)的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機(jī)取數(shù)分組分配編輯ppt擲兩顆均勻骰子,求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是8的概率.答案：P=5/36

擲一顆骰子,有6個(gè)等可能的結(jié)果,擲兩顆骰子,有6·6=36個(gè)等可能結(jié)果.

設(shè)X為第一顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù),Y為第二顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。A={X+Y=8},

只有

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)。取數(shù)問(wèn)題:編輯ppt在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙〞〔事件A〕的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙〞算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只應(yīng)為:編輯ppt“分球入箱〞問(wèn)題(分房問(wèn)題、生日問(wèn)題)設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率1/N(Nn)落入N個(gè)箱子中的每一個(gè)中。根據(jù)以下條件，求:事件A={某預(yù)先指定的n個(gè)箱子中各有一球}

的概率p.生日問(wèn)題：

有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.編輯ppt早在概率論開(kāi)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.

把等可能推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.三．幾何概型編輯ppt設(shè)事件A是Ω的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，那么向區(qū)域Ω上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為(*)假設(shè)樣本空間Ω可用一線(xiàn)段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向Ω上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，那么事件A的概率仍可用(*)式確定,只不過(guò)把μ(·)理解為長(zhǎng)度或體積即可.編輯ppt例:會(huì)面問(wèn)題。甲乙欲在某一長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間段內(nèi)會(huì)面，二人在該時(shí)間段內(nèi)任何時(shí)刻到達(dá)的可能性相同，約定某人到達(dá)后最多等待時(shí)間為t．求：A=“二人能會(huì)面的概率〞．解：設(shè)x,y表示甲乙到達(dá)的時(shí)刻瞬間,那么(x,y)

落在Ω

內(nèi)任一區(qū)域內(nèi)的概率與面積成正比,所以編輯ppt四．概率的公理化定義公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3假設(shè)事件A1,A2,…兩兩互不相容，那么有P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…(3)這里事件個(gè)數(shù)可以是有限或無(wú)限的.公理1

0≤P(A)≤1

(1)

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),Ω是它的樣本空間，對(duì)于Ω中的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱(chēng)為事件A的概率，如果函數(shù)P(A)滿(mǎn)足下述三條公理:編輯pptＡ

性質(zhì)1.對(duì)任一事件A

，有

五.概率的性質(zhì)由概率的三條公理,可以推導(dǎo)出概率的假設(shè)干性質(zhì).下面我們就來(lái)討論概率的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).編輯ppt

性質(zhì)2

P(φ)=0

即不可能事件的概率為0.因?yàn)樵倮眯再|(zhì)1及公理2即得.編輯ppt移項(xiàng)得(1),再由P(B-A)≥0便得(2).由可加性

性質(zhì)3設(shè)Ａ、B是兩個(gè)事件，若,則有(1)

(2)編輯ppt

又因再由性質(zhì)3便得(1).

性質(zhì)4對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有

(1)性質(zhì)4可推廣到多個(gè)事件的情形編輯ppt例1:將一顆骰子拋擲4次，問(wèn)至少出一次“6〞點(diǎn)的概率是多少？令事件A={至少出一次“6〞點(diǎn)}A發(fā)生{出1次“6〞點(diǎn)}{出2次“6”點(diǎn)}∪{出3次“6〞點(diǎn)}{出4次“6”點(diǎn)}直接計(jì)算A的概率較麻煩,我們先來(lái)計(jì)算A的對(duì)立事件的概率.={4次拋擲中都未出“6”點(diǎn)}編輯ppt4次拋擲中都未出