熱點(diǎn)(七)解三角形1．(解三角形解的個(gè)數(shù)問題)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是()A．有一解B．有兩解C．無解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定2．(解三角形求面積)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積為()A．4eq\r(3)B．4eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2eq\r(2)3．(解三角形判斷三角形形狀)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形4．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acosC－(eq\r(2)b－c)cosA＝0，則角A的大小為()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(3π,4)5．(解三角形求面積最值)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\f(2a－c,b)＝eq\f(cosC,cosB)，b＝4，則△ABC的面積的最大值為()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．eq\r(3)[答題區(qū)]題號(hào)12345答案6.[2023·東北三校第二次聯(lián)合模擬考試](解三角形求邊)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝eq\f(1,4)，則a的值為________．7．[2023·開封一模](解三角形應(yīng)用)平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝eq\f(3π,4)，AB＝3eq\r(2)，AD＝2eq\r(10)，若AC＝3eq\r(5)，則CD＝________．8．(解三角形應(yīng)用求高)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.9．[2023·成都市第二次診斷性檢測(cè)](和三角形面積有關(guān)的問題)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(eq\r(2)b－a)cosC＝ccosA.(1)求角C的大??；(2)若a＝eq\r(2)，c(acosB－bcosA)＝b2，求△ABC的面積．10．(解三角形綜合)已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)S.(1)求cosA的值；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，求sinC的值．熱點(diǎn)（七）解三角形1．C由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1.∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在，故選C.2．C由余弦定理，得（2eq\r(3)）2＝AB2＋42－2×4×ABcos60°，化簡(jiǎn)為AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故選C.3．A由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin（A＋B）<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因?yàn)樵谌切沃衧inA>0，所以cosB<0，所以B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故選A.4．A∵acosC－（eq\r(2)b－c）cosA＝0，∴由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝eq\r(2)sinBcosA，即sinB＝eq\r(2)sinBcosA.∵sinB≠0，∴cosA＝eq\f(\r(2),2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,4).故選A.5．A因?yàn)樵凇鰽BC中，eq\f(2a－c,b)＝eq\f(cosC,cosB)，所以（2a－c）cosB＝bcosC，所以（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin（B＋C）＝sinA，所以cosB＝eq\f(1,2)，即B＝eq\f(π,3)，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤4eq\r(3).6．答案：4解析：因?yàn)锳∈（0，π），cosA＝eq\f(1,4)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(15)，所以bc＝8，結(jié)合b－c＝2，解得b＝4，c＝2.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝16＋4－2×8×eq\f(1,4)＝16，故a＝4.7．答案：1或5解析：記∠ACB＝α，∠ACD＝β，則α＋β＝eq\f(π,2)，在△ABC中，由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinα)，得sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosβ＝sinα＝eq\f(\r(5),5).在△ACD中，由余弦定理得cosβ＝eq\f(45＋CD2－40,6\r(5)·CD)＝eq\f(\r(5),5)，解得CD＝1或CD＝5.8．答案：100eq\r(6)解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∴∠ACB＝45°.又∵AB＝600m，∴由正弦定理eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝300eq\r(2)m，tan∠DBC＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(\r(3),3)，∴DC＝100eq\r(6)m.9．解析：（1）由已知及正弦定理，得eq\r(2)sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，∴eq\r(2)sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin（A＋C）.∵A＋C＝π－B，∴sin（A＋C）＝sinB，∴eq\r(2)sinBcosC＝sinB.又sinB≠0，∴cosC＝eq\f(\r(2),2).∵C∈（0，π），∴C＝eq\f(π,4).（2）由已知及余弦定理，得ac·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2，化簡(jiǎn)得a2＝2b2，∵a＝eq\r(2)，∴b＝1.∴△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).10．解析：（1）由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)S，得bccosA＝eq\f(3,2)×eq\f(1,2)bcsinA，即sinA＝eq\f(4,3)cosA，代入sin2A＋cos2A＝1，整理得cos2A＝eq\f(9,25)，由sinA＝eq\f(4,3)cosA，知cosA>0，所以cosA＝eq\f(3,5).（2）由a，b，c成等差數(shù)列，可得2b＝a＋c，結(jié)合正弦定理可得2sinB＝sinA＋sinC，即2sin（A＋C）＝sinA＋sinC，所以2sinAcosC＋2cosAsinC＝sinA＋sinC，①將cosA＝eq\f(3,5)，sinA＝eq\f(