PAGEPAGE20本科畢業(yè)論文

勒貝格積分中三大極限定理的等價(jià)關(guān)系研究及應(yīng)用PAGEI摘要勒貝格積分中的三大極限定理是勒貝格積分極限理論體系的中心內(nèi)容,包括勒貝格控制收斂定理、列維定理與Fatou引理.這三大極限定理在分析學(xué)中占有很重要的地位.本文主要針對勒貝格積分三大極限定理的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用兩方面進(jìn)行闡述.先證明Fatou引理,然后用Fatou引理證明列維定理,再用列維定理證明列貝格控制收斂定理,最后用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理,通過這一循環(huán)過程,即可得到三大極限定理是相互等價(jià)的結(jié)論；然后對三大極限定理在積分與極限交換運(yùn)算中的應(yīng)用和非正函數(shù)中的應(yīng)用等內(nèi)容進(jìn)行了探討.關(guān)鍵詞:極限定理；等價(jià)關(guān)系；應(yīng)用AbstractThethreelimittheoremsinLebesgueintegralisthecentercontentoflimittheorysystem,whichincludeLebesguecontro1convergencetheorem,LeviandFatoulemma.Thethreelimittheoremsplayaveryimportantroleinanalysis.ThethreelimittheoremofLebesgueintegralaremainlydiscussedfromtheequivalencerelationandapplicationsaspects.Firstly,theFatoulemmaisproved.Secondly,theFatoulemmaisusedtoproveLevitheorem.Thirdly,theLevitheoremisusedtoproveLebesguecontro1convergencetheorem.Finally,theLebesguecontro1convergencetheoremisusedtoproveFatoulemma.Sotheconclusionisthethreelimittheoremsareequivalent.Thenthecontentsofthemareappliedtoexchangetheorder'sconditionofintegral,thelimitandnonpositivefunctionsarealsodiscussed.KeyWords:limittheorem;equivalence;application目錄摘要································································································(Ⅰ)Abstract·····························································································(Ⅰ)1引言·······························································································（1）2預(yù)備知識·························································································（2）2.1截?cái)嗪瘮?shù)······················································································（2）2.2函數(shù)列兩種收斂定義····································································（2）2.3函數(shù)可積定義·············································································（3）3三大極限定理的等價(jià)關(guān)系研究·····························································（4）3.1Fatou引理的證明········································································（4）3.2用Fatou引理證明列維定理···························································（5）3.3用列維定理證明勒貝格控制收斂定理··············································（6）3.4用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理·············································（8）4三大極限定理的應(yīng)用········································································（10）4.1在積分與極限交換問題中的應(yīng)用···················································（10）4.2在非正函數(shù)中三大極限定理的應(yīng)用···············································（13）4.3在推導(dǎo)勒貝格積分逐項(xiàng)積分定理中的應(yīng)用······································（15）4.4在判斷極限函數(shù)的可積性中的應(yīng)用···············································（16）結(jié)束語·····························································································（18）參考文獻(xiàn)··························································································（19）致謝·································································································（20）1引言勒貝格積分理論是《實(shí)變函數(shù)論》的中心內(nèi)容,是數(shù)學(xué)分析中黎曼積分的推廣,它無論在理論上還是應(yīng)用上都比黎曼積分有許多優(yōu)越之處,勒貝格積分三大極限定理是勒貝格積分極限理論體系的中心內(nèi)容,包括勒貝格控制收斂定理、列維定理與Fatou引理.這三大極限定理在許多數(shù)學(xué)計(jì)算和推理中都起到了很重要的作用,其中像使得積分和極限交換問題得到了比在黎曼積分范圍內(nèi)的完滿解決,這正是勒貝格積分的一大成功之處.因此,研究勒貝格積分三大極限定理的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用有很重要的意義.研究現(xiàn)狀:勒貝格積分極限理論體系在《實(shí)變函數(shù)論》課程中占有十分重要的位置,目前許多研究者的論文中提到了三大極限定理的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用,并進(jìn)行了深入的探討.像程其襄等人在《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》[5]一書中系統(tǒng)地講述了勒貝格積分的理論知識及極限定理的等價(jià)證明;瑪哈提·胡斯曼在《勒貝格積分極限定理記注》[7]一文中,從積分極限定理的內(nèi)容出發(fā),對積分極限定理的的條件及應(yīng)用展開了討論;劉世偉在《關(guān)于三個積分極限定理的等價(jià)性》[1]中圍繞著三大積分極限定理的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行證明;王長輝在《實(shí)變函數(shù)中幾個積分極限定理的應(yīng)用》[8]中給出了幾個極限定理在復(fù)函數(shù)和實(shí)函數(shù)中應(yīng)用的例子;姜功建在《Lebesgue積分在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用》[11]中運(yùn)用極限定理對一些有關(guān)積分的等式、不等式和函數(shù)性質(zhì)的證明進(jìn)行了論述.這些研究都是在教材的基礎(chǔ)上擴(kuò)展了很大的空間,很多程度上提供了多種對三大極限定理的等價(jià)證明方法及應(yīng)用范圍.本文主要工作:針對三大積分極限定理的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用進(jìn)行闡述.在本文的第一部分先介紹了截?cái)嗪瘮?shù)的定義及性質(zhì)等預(yù)備知識;第二部分對三大極限定理的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行了證明,因?yàn)槿髽O限定理的等價(jià)關(guān)系體現(xiàn)在其中一個定理通過某種方法先被證明,那么其他兩個定理就可以由此定理推出.所以這里我們先證明Fatou引理,然后用Fatou引理證明列維定理,再用列維定理證明列貝格控制收斂定理,最后用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理,通過這一循環(huán)過程,即可完成三大極限定理的等價(jià)關(guān)系證明;第三部分對三大極限定理在積分與極限交換運(yùn)算中的應(yīng)用和非正函數(shù)中的應(yīng)用等內(nèi)容進(jìn)行了探討.通過以上內(nèi)容的討論,可以對勒貝格積分極限定理有了進(jìn)一步的理解,并加深了對它的重要性的應(yīng)用.2預(yù)備知識2.1截?cái)嗪瘮?shù)2.定義2.1設(shè),是上的非負(fù)函數(shù),對于任意自然數(shù),令即,則稱為函數(shù)的—截?cái)嗪瘮?shù).2.從截?cái)嗪瘮?shù)的定義可得到函數(shù)的性質(zhì)[2]:任意自然數(shù),都是上非負(fù)有界函數(shù),(可以用作為界);截?cái)嗪瘮?shù)列是單調(diào)遞增函數(shù)列,即特別有.當(dāng)函數(shù)在上非負(fù)可測時(shí),則它的每個截?cái)嗪瘮?shù)()都是有界可積的,由截?cái)嗪瘮?shù)的單調(diào)不減性,必有,于是極限總是存在的（可能是）.函數(shù)列兩種收斂定義定義2.2(函數(shù)列依測度收斂定義)[5]設(shè)函數(shù)是可測集上的一列a.e.有限的可測函數(shù),若有上a.e.有限的可測函數(shù)滿足下列關(guān)系:對于任意的有,則稱函數(shù)列依測度收斂于.定義2.3（函數(shù)列一致收斂定義）[6]設(shè)函數(shù)列和函數(shù)是定義在同一數(shù)集上,若對任給的正數(shù),總存在某一正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有,則稱函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂于.由函數(shù)列依測度收斂和函數(shù)列一致收斂的定義可知,當(dāng)函數(shù)列一致收斂時(shí)有該函數(shù)列是依測度收斂.函數(shù)可積定義定義2.4設(shè)在可測上可測,定義,稱為在上的積分.定義2.5設(shè)在可測集上可測.如果在定義4.1的意義下的與不同時(shí)為,則我們稱在上積分確定,并定義為在上的積分,特別當(dāng)此積分有限時(shí)稱在上可積.(其中和都是上非負(fù)函數(shù)，分別稱為的正部和負(fù)部.)3三大極限定理的等價(jià)關(guān)系研究勒貝格積分三大極限定理關(guān)系密切,有著內(nèi)在的聯(lián)系.為了研究三大定理的等價(jià)關(guān)系,這里我們先證明Fatou引理,然后用Fatou引理證明列維定理,再用列維定理證明勒貝格控制收斂定理,最后用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理.3.1Fatou引理的證明引理3.1[1]設(shè)為集合上的函數(shù)列,令,,.則是上的遞增函數(shù)列,是上的遞減函數(shù)列,并且,,.引理3.2設(shè)為上的非負(fù)遞增函數(shù)列,且,則對于任取的自然數(shù),函數(shù)列是一致有界的,并且,.引理3.3設(shè)為上一致有界的可測函數(shù)列,并且,則.引理3.4（Fatou引理）設(shè)是可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),則.證明令,,則由引理1得是上的非負(fù)遞增函數(shù)列,于是該函數(shù)列的極限函數(shù)存在.設(shè)為,即有,則函數(shù)為集合上的非負(fù)可測函數(shù).任取自然數(shù),考慮函數(shù)列,有引理3.2和引理3.3得,又因?yàn)?,所以有,于是有,從而得到.令上式中,可得,又因?yàn)?.綜上可得,即Fatou引理成立.證畢.3.2用Fatou引理證明列維定理定理3.5（列維定理）設(shè)為可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),且在上有(單調(diào)列),令,則.證明由條件知道滿足Fatou引理,故有.又因?yàn)榧岸际堑倪f增的函數(shù)列,故它們的極限都存在,于是可得.由函數(shù)列的遞增性知對于每一個自然數(shù),有,故.從而有,綜上可得,即證得.證畢.由Fatou引理可以推出下面的結(jié)論[1]:推論1設(shè)是上的遞減可測函數(shù)列,為的可積控制函數(shù),即在上可積,并且對于任何自然數(shù),有,,則.3.3用列維定理證明勒貝格控制收斂定理定理3.6（勒貝格控制收斂定理）設(shè)(1）是可測集上的可測函數(shù)列;(2）a.e.于,,且在上可積;(3）,則在上可積,且.證明由勒貝格控制收斂定理的條件(2)(3)知,,于是由在上的可積性知在上可積.下證該定理的結(jié)論成立.首先令,于是是上遞減可測函數(shù)列,由引理3.1得,所以.又由條件（2）得,.于是函數(shù)列滿足列維定理推論條件,因而有.又由于與,,在上皆可積,并且,于是對于每一個自然數(shù),有,從而有,其次令,,則由引理3.1得是上的非負(fù)遞增函數(shù)列,于是該函數(shù)列的極限函數(shù)存在,且有,由于對每一個自然數(shù),有,,故在上可積.令,,則是上非負(fù)遞增可測函數(shù)列,于是由列維定理得,即.于是由積分的線性性質(zhì)得.從而有,另一方面,由于,,故,從而有,于是.由此得.即證得勒貝格控制收斂定理成立.證畢.勒貝格控制收斂定理提供了積分運(yùn)算和極限運(yùn)算可以交換運(yùn)算順序的一個充分條件.由勒貝格控制收斂定理可以推出下面的結(jié)論:推論2設(shè),將條件2）改為（常數(shù)）（n=1,2,...）,如果a.e.于或則定理結(jié)論仍成立.3.4用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理引理3.4（Fatou引理）設(shè)是可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),則.證明令,,則由引理3.1得是上的非負(fù)遞增函數(shù)列,于是該函數(shù)列的極限函數(shù)存在,設(shè)為,即有,.由的非負(fù)可測性可知函數(shù)為集合上的非負(fù)可測函數(shù).任意取自然數(shù),考慮函數(shù)列,容易看出,函數(shù)列受常數(shù)的控制,即對于任何自然數(shù),有,又由引理3.2,得,于是由勒貝格控制收斂定理及引理3.2得.又由于,,所以有,于是有,從而得到.令上式中,可得,又因?yàn)?.綜上可得,即Fatou引理成立.證畢.通過以上的證明過程我們得到三大極限定理之間的關(guān)系：Fatou引理列維定理勒貝格控制收斂定理Fatou引理,從而完成了三大定理的等價(jià)關(guān)系的證明[1].4三大極限定理的應(yīng)用4.1在積分與極限交換問題中的應(yīng)用積分與極限交換問題是分析學(xué)中的一個重要內(nèi)容.在積分范圍內(nèi),可以運(yùn)用積分極限定理解決積分與極限的問題;在積分范圍內(nèi),可以運(yùn)用積分極限定理解決積分與極限的問題,而且很方便.4.1.從積分和黎曼積分的定義,容易得到積分與積分的關(guān)系：定理4.1設(shè)在區(qū)間上可積,則它必同時(shí)可積,且有相同的積分值.定理4.2設(shè)是上一列可測函數(shù),則當(dāng)存在是,也在上可測.定理4.3(可積的充要條件)設(shè)為可測集合上的有界函數(shù),則在上可積的充要條件是在上可測.定理4.4（積分極限定理）設(shè)函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于函數(shù),且函數(shù)列中每一項(xiàng)都連續(xù),則在區(qū)間上可積且.證明(1)因?yàn)槭呛瘮?shù)列在區(qū)間上的極限函數(shù),所以在區(qū)間上連續(xù),從而和在區(qū)間上可積.[6](2)因?yàn)楹瘮?shù)列中每一項(xiàng)在區(qū)間上都連續(xù),所以為可測集上的可測函數(shù)列;(3)因?yàn)楹瘮?shù)列在上一致收斂于函數(shù),所以函數(shù)列在區(qū)間上收斂于函數(shù)且由預(yù)備知識1.2可知依測度收斂于函數(shù),即有,,從而;(4)由(1)(2)及定理4.2可知在可測集上可測,所以函數(shù)是可積的;由勒貝格控制收斂定理知.又由積分與積分的關(guān)系可證得.可以用控制收斂定理來證明積分極限定理的成立,所以數(shù)學(xué)分析中的積分極限定理只是勒貝格積分極限定理的一個特例.積分極限定理指出：在一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序可以交換.但是從定理也可以看出積分與極限可交換的條件太嚴(yán),所以積分與極限交換的問題不能順利解決,大大降低了黎曼積分的效果.同時(shí)勒貝格積分極限定理中的勒貝格控制收斂定理及推論和列維定理表明積分與極限也可以交換次序.通過勒貝格控制收斂定理和列維定理這兩個定理,我們可以發(fā)現(xiàn)在極限運(yùn)算與積分運(yùn)算交換位置時(shí),只須滿足:存在一個控制函數(shù)或滿足單調(diào)即可,這些條件與一致收斂條件相比顯然弱得多了,在這樣的條件下極限運(yùn)算和積分運(yùn)算很容易地交換次序.所以在勒貝格積分范圍內(nèi),積分與極限交換得到了比在黎曼積分范圍內(nèi)的完滿解決,這正是勒貝格積分的成功之處[9].4.例4.1求極限[10]解法一解運(yùn)用積分極限定理來解題.設(shè)因?yàn)?所以的極限函數(shù)為.當(dāng)時(shí)所以有當(dāng)時(shí),在區(qū)間[0,1]上一致收斂于.從而可知,積分極限定理的條件成立,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可交換順序,故有解法二解運(yùn)用勒貝格控制收斂定理來解題.設(shè),(1)因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù),所以在可測集上的可測函數(shù)列;(2);(3)因?yàn)?所以,由勒貝格控制收斂定理推論2可得從例1的兩種解題方法可以看出勒貝格積分中的極限定理在解決積分運(yùn)算與極限運(yùn)算時(shí)更加方便.例4.2計(jì)算解設(shè),因?yàn)樵谏线B續(xù),所以為可測函數(shù),即得為可測函數(shù)列;因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以.由勒貝格控制收斂定理得.在例1中積分區(qū)間是無界的,例2的積分區(qū)間是有界的,但是都可以用勒貝格控制收斂定理比較方便地計(jì)算出極限值.4.2在非正函數(shù)中三大極限定理的應(yīng)用4.定理4.5（非正函數(shù)的列維積分極限定理）設(shè)是定義在可測集上的一列可測函數(shù),且在集合上有,(單調(diào)列),令,則[3].證明令,,因?yàn)?所以有及又因?yàn)?所以,即是可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),且在集合上有(單調(diào)列)及,有列維定理可得,將,代入上式有,即證得.證畢.4.定理4.6（非正函數(shù)的Fatou積分極限定理）設(shè)是定義在可測集上的一列可測函數(shù),且在集合上有,,則,.證明(1)令,則是可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),由Fatou引理可得,將代入上式得,即證得.(2)設(shè),,則為上的非正遞增可測函數(shù)列,且,由定理4.5可得[3].4.3在推導(dǎo)勒貝格積分的逐項(xiàng)積分定理的應(yīng)用定理4.6(逐項(xiàng)積分定理)設(shè)是可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù),則.證明設(shè),則是可測集上的非負(fù)可測遞增函數(shù)列,由列維定理有.(1)但是,.代入(1)式得即有.4.4在判斷極限函數(shù)的可積性的應(yīng)用從勒貝格積分中極限定理表述可以知道,可以運(yùn)用極限定理來判斷函數(shù)列的極限函數(shù)的可積性.例4.3設(shè)為上極限函數(shù)存在的非負(fù)可測函數(shù)列,且,,則在上可積.證明因?yàn)闉樯系姆秦?fù)可測函數(shù)列，所以，且在上可測;依據(jù)Fatou引理可得.根據(jù)定義2.5可得到在上可積.例4.4設(shè),,則其極限函數(shù)可積分.證明(1)因?yàn)樵趨^(qū)間上是連續(xù)函數(shù),所以為可測函數(shù),即為可測集上的可測函數(shù)列;(2),,令,因?yàn)?所以在上可積;(3).由勒貝格積分極限定理可得極限函數(shù)在上可積分.結(jié)束語勒貝格積分中的三大極限定理是勒貝格積分的重要內(nèi)容,本文主要是對三大積分極限定理的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用兩方面進(jìn)行闡述.本文分為三部分,第一部分先介紹了截?cái)嗪瘮?shù)的定義及性質(zhì)等預(yù)備知識;第二部分對三大極限定理的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行了證明,我們先證明Fatou引理,然后用Fatou引理證明列維定理,再用列維定理證明列貝格控制收斂定理,最后用勒貝格控制收斂定理證明Fatou引理,通過這一循環(huán)過程,即可完成三大極限定理的等價(jià)關(guān)系證明;第三部分對三大極限定理在積分與極限交換運(yùn)算中的應(yīng)用