2007年常德市26.如圖1,已知四邊形A88是菱形，G是線段8上的任意一點(diǎn)時(shí)，連

FHFG

接BG交AC于尸，過(guò)F作FH〃CD交BC于H,可以證明結(jié)論￡巴=~成立（考生

ABBG

不必證明）.

（1）探究：如圖2,上述條件中，若G在。。的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是否

成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（5分）

（2）計(jì)算：若菱形A88中AB=6,NAT>C=60。，G在|［線CD上，且CG=16,連

接BG交AC所在的直線于尸，過(guò)F作尸”〃8交所在的直線于“，求BG與/G

的長(zhǎng).（7分）

（3）發(fā)現(xiàn)：通過(guò)上述過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)G在直線C。上時(shí)，結(jié)論上FH巴=F4G?還成立嗎？（1分）

ABBG

圖2

FHFG

解：（1）結(jié)論=成立1分

ABBG

證明：由已知易得777〃

.FHHC

3分

'：FH//GC

HCFG.FHFG

5分

BC~BG"AB~BG

（2）在直線CDk

???分兩種情況討論如下：

①G在曲的延長(zhǎng)線上時(shí)，仇*10

如圖3,過(guò)6作8aL切于0,

由于/及力是菱形，N/1屐60°,

m廬6,N8CC60°,

:.B牛3扭，CC3

22

:.BG=719+[373]=2^/977分

又由FHUGC,可得￡一=——,

GCBC

而三角形切/是等邊三角形

BH=BC-HC=BC~FH=6-FH

FH6-FH?也48

,??rn~

16611

?八、人尸〃FG

由(1)知---=----

ABBG

.吁FH，BG481

..卜G--------------=—?—?2質(zhì)等質(zhì)9分

AB116

②G在加的延長(zhǎng)線上時(shí)，8=16

如圖4,過(guò)6作用U8于0,

由于力時(shí)是菱形，//吐60°,

:.BOA伊6,/a060°,

:.BQ=3@>,較3

2

：.BG=yjl32+[3A/3]=1411分

又由FH"CG,可得歿=些

GCBC

FHBH

——，而BH=HC-B(=FH-BC=FH-&

166

.研48

5

BFFH

又由FH"CG,可得——=——

BGCG

.?.游14x竺十16=絲

55

.?.除14+8=處....

12分

55

FH

(3)由(2)可知：當(dāng)G在切的延長(zhǎng)線上時(shí)，——=

AB

F竺8

一6

FH_FG-?-

所以---成";當(dāng)G在%的延長(zhǎng)線上時(shí),A-5?_5-

AB-BG

FG112一8FHFG小、

二14一一.所CCI以)1=成立

~BG5ABBG

G

分

還

FH--成立3

結(jié)合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)G在直線⑦上時(shí)，結(jié)論上巴G

??AB

德州市二OO七年23.(本題滿分10分)

己知：如圖14,在△ABC中，。為A3邊上一點(diǎn)，

ZA=36。，AC=BC,AC2=ABg^D.

(1)試說(shuō)明：△AOC和都是等腰三角形；B

(2)若AB=1,求AC的值；

圖

(3)請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對(duì)14

角線得到8個(gè)等腰三角形.(標(biāo)明各角的度數(shù))

解：(1)在△ABC中，AC^BC,

ZB=ZA=36\ZACB=108.......1分

在△ABC與△C4T＞中，ZA=ZB=36°；

QAC2=ABgAD,

ACABAB

ADACBC

:./\ABC^/\CAD,ZACD=ZB=36°2分

ZCDB=72。，NDCB=108,-36=72°.

.?.△ADC和△3DC都是等腰三角形.4分

(2)設(shè)AC=x,則f=ix(l—x),即/+了一1=。……6分

-I+J5J5-1

解得x=J，=(負(fù)根舍去).8分

22

(3)如右圖所示：

等腰梯形ABCD中，AD=DC=CB,

ZDAB=ZABC=72°,

ZADC=ZBCD=108°

兩條對(duì)角線AC和BD相交于0點(diǎn),(有8個(gè)等腰三角形)

該梯形連同它的兩條對(duì)角線可

得到8個(gè)等腰三角形：

2007年福建省寧德市26.（本題滿分14分）

己知：矩形紙片ABCD中，A5=26厘米，BC=18.5厘米，點(diǎn)E在AD上，且A￡=6厘

米，點(diǎn)P是A8邊上一動(dòng)點(diǎn).按如下操作：

步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合，展開(kāi)紙片得折痕MN（如圖1所示）；

步驟二，過(guò)點(diǎn)尸作FT_LA8,交MN所在的直線于點(diǎn)。，連接QE（如圖2所示）

（1）無(wú)論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQ_二QE（填〈”號(hào)）；

（2）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：

①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)、Q、,。點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,3）；

②當(dāng)PA=6厘米時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)。2，2點(diǎn)的坐標(biāo)是（_^_.6）；

③當(dāng)上4=12厘米時(shí)，在圖3中畫出MN,PT（不要求寫畫法），并求出MN與PT的交

點(diǎn)0的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程，PT與MN形成一系列的交點(diǎn)2，。2，Qy…觀察、猜想：眾多

的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式.

解：③畫圖，如圖所示，設(shè)MN與EP交于點(diǎn)F.在RtZ\APE中，,：PE7AE2+AP?=66,

:.PF=、PE=3亞.

2

VZe3PF+ZEPA=9O°,ZAEP+ZEPA=90°,

：.ZQ3PF=ZAEP.

又NEAP=ZQ?FP=90°,

：./\Q3PF^/\PEA.

PE-PF

=15.；012,15).

EA

⑶這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線.函數(shù)關(guān)系式：y=,V+3(0WxW26).

2007年福建省三明市26.(本小題滿分12分)

如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),以點(diǎn)A為圓心，4為半徑

的圓與x軸交于。，8兩點(diǎn)，OC為弦，ZAOC=60,尸是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP.

(1)求NQ4c的度數(shù)；(2分)ZOAC=60.

(2)如圖①，當(dāng)CP與e4相切時(shí)，求P。的長(zhǎng)；(3分)

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時(shí)，CP的延長(zhǎng)線與eA相交于點(diǎn)Q,問(wèn)尸。為何值時(shí),

解：（2）與eA相切，ZACP=90.AZAPC=90-ZOAC^30.

又（4,0）,AAC=AO=4.APA=2AC^?）.

PO=R4—Q4=8-4=4................................5分

（3）①過(guò)點(diǎn)C作cqJ_O8,垂足為6，延長(zhǎng)cq交eA于Q,

OA是半徑，:."C=版，OC=OQ、,

...△OCQ是等腰三角形.又△AOC是等邊三角形，，＜。=^。4=2.

②解：過(guò)4作AOLOC,垂足為。，延長(zhǎng)A4交eA于Qz，CQ2與x軸交于6,

：4是圓心，ng是0c的垂直平分線.CQ2=OQ2.△OC。2是等腰三角形，

作軸于E,在RtZXAQzE中，丫NQ?AE=NOAD=；NOAC=30,

Q2E=^AQ2=2,AE=2&..?.點(diǎn)Q2的坐標(biāo)（4+2G，-2）.

在Rt^coq中，VP.O=2,NAOC=60,:.CP\=20.，C點(diǎn)坐標(biāo)（2,2百）.

設(shè)直線CQ?的關(guān)系式為：y=loc+b,則有

-2=(4+2揚(yáng)％+〃,k=-L

解得:

2y/3=2k+b.b=2+2x/3.

y=-x+2+26.當(dāng)y=0時(shí)，%=2+273....￡0=2+26.

貴陽(yáng)市2007年25.（本題滿分12分）

如圖14,從一個(gè)直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為90的扇形.

（1）求這個(gè)扇形的面積（結(jié)果保留兀）.（3分）

（2）在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓

錐？請(qǐng)說(shuō)明理由.（4分）

（3）當(dāng)eO的半徑/?（7?>0）為任意值時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分）

解.（1）連接BC,由勾股定理求得:

AB=AC-V21分

c〃兀1

8=-----=一兀2分

3602

（2）連接AO并延長(zhǎng)，與弧BC和e。交于E,F

7nnRV2

EF=AF-AE=2-yf21分，弧的長(zhǎng):I=-----=---712分

1802

Q2TT〃=變兀，.??圓錐的底面直徑為：2r=—

3分

22

Q2-&<X_,.?.不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐.?4分

2

（3）由勾股定理求得：AB=AC=6R,弧的長(zhǎng)：/=*=也兀R

1分

1802

B6

Q2nr=—nR二圓錐的底面直徑為：2r=—R2分

2f2

EF=AF—AE=2R—也R=Q-坨R，Q2—血〈變且H>0

2

歷

：.（2-y[2）R<—R,即無(wú)論半徑R為何值，EF<2r

2

，不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐.

武漢市2007年25.（本題12分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^AOB^Rt/XCDA,

且4—/,0）、B（O,2）,拋物線尸ax'+ax—2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。

0）求拋物線的解析式；

⑵在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)只Q,使四邊形46國(guó)是正方形？若存在,

求點(diǎn)只0的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶如圖②，￡為比t延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)從B、￡三點(diǎn)作。。'，連結(jié)在。0'上另

有一點(diǎn)凡

且/月=力￡,〃'交a'于點(diǎn)G連結(jié)即下列結(jié)論：①班'+即的值不變；②變=空，

AFAG

其中有且

只有一個(gè)成立，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論。

武漢市2007年

⑵另解:國(guó)野幽（時(shí)司I4本例1E存雷

點(diǎn)P、Q.使四邊形ABPQ是正方形.

-疝:1物餞（對(duì)母牯右鄰）上存在如里.將線段CA沿CA方向平移至

點(diǎn)P、Q.使四邊形ABPQ是正方形.AQ,：C（-3,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A（-J.0）...A（-

如電，將線段CA沿CA方向平移至1,（。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q（l,-1）;再將線段AQ沿

AQ,1/（（-3,1）的對(duì)近點(diǎn)是人（-1/））,；.人（-AB方向平移至BP.同理可得P（2.1）

I,U）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q（】，T）;再將線段AQ沿VZBAC,AB=AG四邊形

向平移至BP,同理可得P（2.DABPQ是正方形.經(jīng)臉證P.Q兩點(diǎn)均在拋物

,/ZBAG.ABACJ.四邊形

線yH；x，+*|-x-2,t

ABPQ是正方形.經(jīng)臉證P.Q兩點(diǎn)均在拋物

姣y-^-xJ+^-x-2上.⑶結(jié)「2筆-號(hào)-成立證明如下:連

AFA3

⑶結(jié)論2罌翳成立證明如卜?：罡EF.過(guò)F作FM"BG交AB的延長(zhǎng)線于M.

ArAk?

則△AMF—AAIK;,J.些■-BG

EF.過(guò)F作FMBG交AB的延長(zhǎng)線于M,

則AAMF—ZiAlK；,J.BG由⑴知

AFAG△ABC是等腰冠

佐角形，

--AFAE,

ZAEFLX

45.

/EAF-W.

EF是O。?的直

,

.-.ZEBFW.

AZMFBZEBF90".rM=Z.2^45*.

…….BFB（；

南京市2007年27.在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)。為位似中心放大或縮小，使所得多邊

形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為Z,并且原多邊形上的任一點(diǎn)P,它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在線段。尸或

其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度這種經(jīng)過(guò)和

旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為0),其中點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，女叫做

相似比，e叫做旋轉(zhuǎn)角.

(1)填空：

①如圖1,將△ABC以點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來(lái)的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60',

得到△AOE,這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為A(,)；

②如圖2,2XABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換46，90),得

到AADE,則線段BD的長(zhǎng)為cm；

(2)如圖3,分別以銳角三角形ABC的三邊AB,BC,C4為邊向外作正方形AOE8,

BFGC,CHIA,氤01,O2,Q,分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用△AO］。?

與△AB/,M1B與△CAO2之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說(shuō)明線段0。2與A。2

南京市2007年27.解：(1)①2,60；……2分；②2；...................4分

(2)△AOIO2經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換40,45。)，得到△AB/,此時(shí)，線段002變?yōu)榫€段BI；

△C/3經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換C學(xué),45。,得到△C4Q，此時(shí)，線段BI變?yōu)榫€段AOi.

7

...夜x*=l,

45°+45。=90",OtO2=AO2,OtO21AO2.10分

揚(yáng)州市2007年26.（本題滿分14分）

如圖，矩形A8CD中，4）=3厘米，AB=a厘米（。>3）.動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從8點(diǎn)出

發(fā)，分別沿8-A,B—C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過(guò)M作直線垂直于AB,分別交AN,

8于P,Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）若。=4厘米，f=l秒，貝?。軵M=_____厘米；

（2）若。=5厘米，求時(shí)間f,使并求出它們的相似比；

（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值

范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PM6N,梯形PQZM,梯

形PQCN的面積都相等？若存在,

3

解：（1）PM

4

（2）t=2,使APNBSAPAD,相似比為3:2

（3）-.-PMLAB,CB.LAB,ZAMP=ZABC,

APMAMPMa-t.r（tz-r）

/A\AMP^/\ABC,----=-----即Hn----=-----，?:PM=」----

BNABtaa

?..〈河=3_*/_1）

當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即（%—＞）00=（MP+；N）BM

I3--------+3l（6z-l）

上---------乙化簡(jiǎn)得r6a

26+Q

,.1W3,金'W3,則aW6,「.3<Q<6,

6+a

（4）?.?3<QW6時(shí)，梯形尸MBN與梯形PQDA的面積相等

二梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM

=把/=&-代入，解之得。=±2&,所以a=26.

a6+。

所以，存在a,當(dāng)a=2百時(shí)梯形PMBN與梯形尸QD4的面積、梯形PQCN的面積相等.

江西省南昌市2007年25.實(shí)驗(yàn)與探究

(1)在圖1,2,3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)(如圖所示)，寫

出圖1,2,3中的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，它們分別是

(2)在圖4中，給出平行四邊形A8CD的頂點(diǎn)AB,。的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點(diǎn)C

的坐標(biāo)(C點(diǎn)坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,/的代數(shù)式表示);

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過(guò)對(duì)圖1,2,3,4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCO

處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,/)

(如圖4)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)

b,d,n,/之間的等量關(guān)系為(不必證明)；

運(yùn)用與推廣

(4)在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y=》2-(5c—3)x-c和三個(gè)點(diǎn)

Gc|C，lCySQC，2J,(其中?問(wèn)當(dāng)。為何值時(shí)，核拋物線上存在

點(diǎn)P,使得以G,S,H,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐

標(biāo).

解：(1)(5,2),(e+c,d),(c+e—a,d),2分

(2)分別過(guò)點(diǎn)AB,C,。作X軸的垂線，垂足分別為A，與，C,,

分別過(guò)A。作于E,J.CG于點(diǎn)產(chǎn)?

在平行四邊形A8CD中，CD=BA,又?；BBJ/CC1,

Bic,

D(e,f)

NEBA+ZABC+4BCF=ZABC+ZBCF+ZFCD=180°.b)

:.NEBA=NFCD.°BAClDl

又?.?ZBEA=ZCFD=90,

「.△5E4也△C7D..........................................................5分

AE=DF=a—CfBE=CF=d—b.

設(shè)COy).由6一犬=。-c,得x=e+c-a.

由y-7=d-Z?,得y=/+C(e+c-Q,/+d-b).................7分

(此問(wèn)解法多種，可參照評(píng)分)

(3)機(jī)+a=c+e,幾+〃=。+/或機(jī)=c+e—a,n-d+f-b............9分

(4)若GS為平行四邊形的對(duì)角線，由(3)可得［(-2c,7c).要使4在拋物線上，

則有7c=4C2—(5C—3)X(-2C)-C,即。2一。=().

G=0(舍去)，c,=1.此時(shí)6(—2,7)......................................10分

若SH為平行四邊形的對(duì)角線，由(3)可得6(3c,2c),同理可得c=l,此時(shí)2(3,2).

若GH為平行四邊形的對(duì)角線，由(3)可得(c,—2c),同理可得c=l,此時(shí)鳥(1,—2).

綜上所述，當(dāng)c=l時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)P,使得以G,S,H,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形.

符合條件的點(diǎn)有《(—2,7),￡(3,2),〃(1,一2)..............................12分

(2006年福建漳州卷)如圖，已知矩形ABC。，AB=&BC=3,在BC上取兩點(diǎn)E,F

(E在/左邊)，以EF為邊作等邊三角形尸石尸，使頂點(diǎn)P在AD上，PE,尸尸分別交AC

于點(diǎn)G,H.

(1)求△尸跖的邊長(zhǎng)；

(2)在不添加輔助線的情況下，當(dāng)尸與C不重合時(shí)，從圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明

理由；

(3)若4PEF的邊EF在線段6C上移動(dòng).試猜想：PH與3E有何數(shù)量關(guān)系？并證明你

猜想的結(jié)論.

［解］(1)過(guò)P作PQL6C于。

???矩形ABCD

.?.NB=90,即ABL5C,又〃BC

(第27題)

：.PQ=AB=6

?.?△PEF是等邊三角形

NPFQ=60

在RtAPQF中

sin60=----

PF

：.PF=2

.?.△PE產(chǎn)的邊長(zhǎng)為2.

(2)方法一：△ABC's^aM

理由：?.?矩形ABC。，二/1=/2

...NB=ND=9(r,.-.AABC^ACZM

方法二：

理由：?.?矩形ABC。，，">〃BC,;.N2=N1

又Z3=Z4,:./\APHsACFH

(3)猜想：P”與的的數(shù)量關(guān)系是：PH—BE=1

證法一：在Rt/XABC中，AB=&BC=3

AB

tanZl

...Nl=30。

?.?△莊戶是等邊三角形，.?.N2=60',PF=EF=2

vZ2=Zl+Z3,.?.N3=3O,.-.Z1=Z3,:.FC=FH

?：PH+FH=2,BE+EF+FC=3,:.PH-BE=\

證法二：在Rtz^ABC中，AB=&BC=3

.AB.

tanN1=----=—,N1=30

BC3

?.?△PEE是等邊三角形，PE=2,，N2=N4=N5=60,.?.N6=90

在Rt4CEG中，Zl=30°,EG^-EC,即EG='(3—3E)

22

在Rt/XPGH中，N7=30",:.PG=-PH

2

:.PE=EG+PG=L(3-BE)+LpH=2,：.PH-BE=\

22

證法三：在RtZXABC中，AB=6,BC=3

tanZl=—=—,AC2=AB2+BC2,.-.Zl=30,AC=2y/3

BC3

?.?△PM是等邊三角形，.?.N4=N5=60',.?.N6=N8=9(T,.?.△EGCS^PG”

PHPGPH2-EG八

ECEG3-BEEG

vZl=ZLN8=N6=9(y,.?.△CEG^ACAB

EGECnnEG3-BE...EG=；(3—BE)

---=----即—產(chǎn)—----產(chǎn)一②

ABACV32V3

PH2-1(3-BE)

把②代入①得，------=—7^--------------,:.PH-BE=\

3-BEl(3_fi￡)

［點(diǎn)評(píng)］本題是一道很典型的幾何型探索題，在近幾年的中考?jí)狠S題中穩(wěn)占一席之地，預(yù)計(jì)

2007年仍會(huì)保持這一趨勢(shì)。在本題中，第1小題較簡(jiǎn)單，第2小題則需學(xué)生仔細(xì)現(xiàn)察圖形，

做出準(zhǔn)確猜想后再驗(yàn)證，第3小題對(duì)學(xué)生的探究能力的要求更高一些，但由于解法較多，入

題的通道較寬，因此難度并非十分大。

（2006年湖南常德卷）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF

的銳角頂點(diǎn)。與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)。重合，其中ZABC=NDEF=90°,

ZC=ZF=450,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板。瓦'繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),

設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P,射線與線段6c相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖1,當(dāng)射線DR經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,即點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，易證此

時(shí)，AP-CQ=.

（2）將三角板。防由圖1所示的位置繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.其中

0<a<90。，問(wèn)AP?CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由.

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x,兩塊三角板重疊面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.（圖

2,圖3供解題用）

［解］(1)8

(2)AP.CQ的值不會(huì)改變.

理由如下：在△APD與△COQ中，NA=NC=45°

ZAPZ)=180-45°-(45°+a)=90°-a

NC00=9O—a

即ZAPD=NCDQ

.APCD

：.AAPD^ACDQ

'~AD~~CQ

，c[=8

：.AP?CQ=AD?CD=AD2

2)

（3）情形1：當(dāng)00<a<45°時(shí)，2<CQ<4,即2<尤<4,此時(shí)兩三角板重疊部分為四

邊形DPBQ,過(guò)。作DGLAP于G,DNLBC于N,

:.DG=DN=2

Q

由(2)知：AP?CQ=8得A尸=一

x

于是y=；AB?AC-1CQ?DN-1AP-DG

o

=8—x—(2<x<4)

x

情形2：當(dāng)45Wa<90°時(shí)，0<CQW2時(shí)，即0<xW2,此時(shí)兩三角板重疊部分

為△DMQ,

88

由于AP=-,PB=一一4,易證：/\PBMS/\DNM,

xx

.?.也=必即工=絲解得.=坦=互把

MNDN2-BM22+PB4—x

8-4%

???MQ=4-BM-CQ=4-x---------

4-x

1R-4x

于是y=_MQ?DN=4_x---------(0<xW2)

24-x

Q

綜上所述，當(dāng)2<x<4時(shí)，y=8-x--

x

8-4x

當(dāng)0<xW2時(shí)，y=4-x---------

-4-x

x2-4x+8、

或曠=

4-x.

法二：連結(jié)B。，并過(guò)。作DN.LBC于點(diǎn)N,在ADBQ與AMCD中，

ZDBQ=ZMCD=45^

NDQB=ZQCB+ZQDC=45"+ZQDC=ZMDQ+ZQDC=NMDC

??.△DBQsAMCD.嗡嚼,即第二省

/.MQ=MC-CD=—--彳==一4±+8

4-x4-x4-x

.1?X2—4X+8,C_

..y=—DN*MQ=-------------(0<xW2)

'24-x

法三：過(guò)。作ONLBC于點(diǎn)N,在RtZ\ONQ中，

DQ2=DN2+NQ2=4+(2-X)2=X2-4X+8

于是在△BOQ與4DMQ中NDBQ=NMDQ=45"

ZDMQ=ZDBM+NBDM=45+ZBDM=NBDQ

?BQ_DQ

：.ABDQsADMQ,

''~DQ~~MQ

.DQ~x2—Ax+8.1—4x+8,

..MQ=------=-------------,..y=—DN*MQ=--------------(0<xW2)

4-x4-x24-x

［點(diǎn)評(píng)］這是一道幾何操作問(wèn)題，有一定的難度，第1、2小題是定值問(wèn)題的探索，體現(xiàn)了從

一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，第3小題則需根據(jù)圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置變化分類討論，分

別建立函數(shù)表達(dá)式。

(2006年湖南永州卷)如圖，以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的直徑AO交小圓于M,N

兩點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線CELAO,垂足為E,交大圓于尸，H

兩點(diǎn).

(1)試判斷線段4c與3c的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)求證：FC-CH=AE?AO.

(3)若FC,C”是方程f-26:+4=0的兩根(CH>CF),

求圖中陰影部分圖形的周長(zhǎng).

［解］(1)相等.

連結(jié)OC,則COLAB,故AC=5C.

(2)由△AC〃S/^FC6,得=AC?,

又由△AC￡s/\AOC,^AC2=AE?AO.

FC?CH=AE?AO.

(3)解方程得：CH=亞+1,CF=45-l,

CE=有-(6-1)=1,AC2=4,AC=2,

CE1

在Rt^ACE中，sinA=—=-,

AC2

...NA=3O°,NAOC=60,ZCON=120'.

在△AC。中,CO=ACtanA=2x

AC迪，AM"。-加=迪-亞=空,

AO=

sin603333

弧CN長(zhǎng)=：x2兀邛=竽兀,AN=AM+2OC=^+2x哈2道,

陰影部分周長(zhǎng)=AC+AN+CN=2+2G+±@n.

9

［點(diǎn)評(píng)］本題是比較傳統(tǒng)的幾何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點(diǎn)知識(shí)。

（2006年江西課改卷）問(wèn)題背景

某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題:

①如圖1,在正三角形4BC中，M、N分別

是AC、AB上的點(diǎn)與CN相交于點(diǎn)O,

若NBON=60°,則BM=CN.

②如圖2,在正方形ABCD中，M、N分別

是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)

O,若NBON=90°，則8M=CN.

然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：

③如圖3,在正五邊形ABCDE中，M、N分別

是CD、上的點(diǎn)，8M與CN相交于點(diǎn)O,

若N8ON=108°,則8M=CN.

任務(wù)要求

(1)請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)

行證明；

(2)請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：

①如圖4,在正〃（”23）邊形ABCZJEF…中

CD、OE上的點(diǎn)，8M與CN相交于點(diǎn)O,

于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立？（不妥

②如圖5,在五邊形ABCDE中，M、N分別

點(diǎn)，B例與C7V相交于點(diǎn)O,當(dāng)NBON=108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)

論BM=CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)我選.

證明：

［解］(1)選命題①

證明：在圖1中，,/NBON=60°,；.NCBM+NBCN=60：

'：ZBCN+ZACN=60°,；.ZCBM=ZACN.又,:BC=CA,ABCM

=NCAN=60°,/\BCM色△CAN.BM=CN.

選命題②

證明：在圖2中，*.?/BON=90°,NCBM+NBCN=90°.

,?NBCN+NDCN=90°,：,ZCBM=ZDCN.

又：BC=CD,NBCM=NCDN=90°,，ABCM絲ACDM/.BM=CN.

選命題③

證明：在圖3中，,:NBON=108°,：.ZCBM+ZBCN=108°

ZBCN+ZDCN=108°,，ZCBM=ZDCN.又，:BC=CD,NBCM

=ZCDN=108°,；./\BCM絲△C￡W.；.BM=CN.

(2)①當(dāng)NBON=("2)x180。時(shí),結(jié)論BM=CN成立.

n

②BM=CN成立.

證明：如圖5,連結(jié)B。、CE.

在△BCO和△(?￡)￡：中，

,:BC=CD,ZBCD=ZCDE=108°,CD=DE,

：./\BCD鄉(xiāng)/\CDE.

：.BD=CE,/BDC=NCED,NDBC=NECD.

'：ZOBC+ZOCB=108°,ZOCB+ZOCD=108°,

，NMBC=NNCD.

又,:ZDBC=ZECD=36°,NDBM=/ECN.

/.4BDMg△ECN.

［點(diǎn)評(píng)］本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，

引導(dǎo)學(xué)生漸漸地從易走到難，是新課標(biāo)形勢(shì)下的成熟壓軸題。

(2006年山東濟(jì)南課改卷)如圖1,已知Rt^ABC中，NC48=3(r,BC=5.過(guò)點(diǎn)A

作A￡_LAB,且A￡=15,連接5E交AC于點(diǎn)P.

(1)求Q4的長(zhǎng)；

(2)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作0A,試判斷3E與0A是否相切，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CDJLAE,垂足為。.以點(diǎn)A為圓心，7■為半徑作。4；以點(diǎn)C

為圓心，R為半徑作0C.若/?和R的大小是可變化的，并且在變化過(guò)程中保持0A和

相切，且使。點(diǎn)在OA的內(nèi)部，6點(diǎn)在。4的外部，求r和R的變化范圍.

［解］(1)?.?在Rt/XABC中，NCA8=30",BC=5,

AC=2BC=10.

-,-AE//BC,:△APEs/xCPB.

PA:PC=AE:BC=3:1.

PA:AC=3A,PA=3X10=15

42

(2)班;與0A相切.

?.?在RtZVLBE中，AB=5y/3,AE=\5,

Ap1SL

tanZABE^—=—=叔/.ZABE=60\

AB5x/3

又?「ZPAB=30°,/.4ABE+NPAB=90,/.NAPB=90,

.?.BE與0A相切.

(3)因?yàn)锳0=5,A8=56，所以r的變化范圍為5<r<56.

當(dāng)。4與OC外切時(shí)，R+r=10,所以R的變化范圍為10—5后<R<5；

當(dāng)OA與OC內(nèi)切時(shí)，/?-r=10,所以R的變化范圍為15</?<10+56.

［點(diǎn)評(píng)］本題是一道比較傳統(tǒng)的幾何綜合題，第1題運(yùn)用相似三角形知識(shí)即可得解，第2小題

也較基礎(chǔ)，第3小題注意要分類，試題中只說(shuō)明了“0A和OC相切”，很多同學(xué)漏解往往

是由于沒(méi)有仔細(xì)讀題和審題。

(2006年江蘇宿遷課改卷)設(shè)邊長(zhǎng)為2a的正方形的中心A在直線I上，它的一組對(duì)邊垂直

于直線/,半徑為r的。O的圓心。在直線/上年初，點(diǎn)4、。間距離為乩

(1)如圖①，當(dāng)r<“時(shí)，根據(jù)”與“、r之間關(guān)系，將。。與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下

表:

d、“、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

d>a+r

d=a+r

a—r<id<ia+r

圖①

d=a-r

d<a—r

所以，當(dāng)r<“時(shí)，。。與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有個(gè)；

(2)如圖②，當(dāng)，=〃時(shí)，根據(jù)“與“、r之間關(guān)系，將。。與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下

表：

d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

d>a~\-r

d=a+r

aWdVa+r

d<a

所以，當(dāng)r=a時(shí)，。。與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有個(gè);

(3)如圖③，當(dāng)。。與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明

(4)就的情形，請(qǐng)你仿照“當(dāng)……時(shí)，。。與正方形