2024屆天一大聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞2．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形3．已知直線過點(diǎn)，且在縱坐標(biāo)軸上的截距為橫坐標(biāo)軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或4．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．5．在正方體中，直線與直線所成角是（）A． B． C． D．6．下列表達(dá)式正確的是（）①，②若，則③若，則④若，則A．①② B．②③ C．①③ D．③④7．如圖，在正方體中，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．8．若,且,,則（）A． B． C． D．9．若平面和直線，滿足，，則與的位置關(guān)系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．12．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是.13．的化簡(jiǎn)結(jié)果是_________.14．已知x，y＝R+，且滿足x2y6，若xy的最大值與最小值分別為M和m，M+m＝_____.15．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為__________.16．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。18．某質(zhì)檢機(jī)構(gòu)檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運(yùn)行的自動(dòng)包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)莖葉圖（如圖）.（1）該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)采用了哪種抽樣方法抽取的產(chǎn)品？根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從甲廠6件樣品中隨機(jī)抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②記它們的質(zhì)量分別是克，克，求的概率.19．已知直線的方程為，其中.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)；(2)當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；(3)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.20．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.(1)求；(2)若，，求.21．設(shè)是兩個(gè)相互垂直的單位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．2、A【解題分析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，即可求解.【題目詳解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，則，即，即，解得，所以為等腰三角形，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，以及三角形形狀的判定，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理的邊角互化，合理利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

根據(jù)題意，分直線是否經(jīng)過原點(diǎn)2種情況討論，分別求出直線的方程，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，直線分2種情況討論：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，所求直線方程為，整理為，②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，此時(shí)直線的方程為，整理為．故直線的方程為或.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的截距式方程，注意分析直線的截距是否為0，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

由已知中直線和互相平行，求出的值，再根據(jù)兩條平行線間的距離公式求得它們之間的距離．【題目詳解】∵直線和互相平行，則，將直線的方程化為，則兩條平行直線之間的距離，＝＝＝.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，兩條平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、B【解題分析】

直線與直線所成角為，為等邊三角形，得到答案.【題目詳解】如圖所示：連接易知：直線與直線所成角為為等邊三角形，夾角為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力.6、D【解題分析】

根據(jù)基本不等式、不等式的性質(zhì)即可【題目詳解】對(duì)于①，.當(dāng)，即時(shí)取，而，.即①不成立。對(duì)于②若，則，若，顯然不成立。對(duì)于③若，則，則正確。對(duì)于④若，則，則，正確。所以選擇D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了基本不等式以及不等式的性質(zhì)，基本不等式一定要滿足一正二定三相等。屬于中等題。7、C【解題分析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計(jì)算求解．【題目詳解】分別是中點(diǎn)，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線所成的角．8、B【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式將β＝α-(α﹣β)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，則cos（），∵sinα，∴cosα，則sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用兩角和差的正弦公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將β＝α-(α﹣β)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題9、D【解題分析】

當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.【題目詳解】當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖列出算法循環(huán)的每一步，結(jié)合判斷條件得出輸出的的值.【題目詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下：不成立，，；不成立，，；不成立，，；不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，對(duì)于這類問題，通常利用框圖列出算法的每一步，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解題分析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.12、【解題分析】

，，是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，∴，∴，，，為與的夾角，∵是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量∴，即，所以當(dāng)時(shí)，即與共線時(shí)，取得最大值為，故答案為.13、【解題分析】原式，因?yàn)椋?，且，所以原式?4、【解題分析】

設(shè)，則，可得，然后利用基本不等式得到關(guān)于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，進(jìn)而得到結(jié)論.【題目詳解】∵x，y＝R+，設(shè)，則，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值與最小值分別為M和m，∴M，m，∴M+m.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用和一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.15、【解題分析】

設(shè)出底面圓的半徑，用半徑表示出圓錐的母線，再利用表面積，解出半徑?！绢}目詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則底面圓面積為，周長(zhǎng)為，則解得故填2【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)圓錐的表面積求底面圓半徑，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對(duì)稱中心為，由知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性、周期性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）將題目過給已知代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合的表達(dá)式，可證得為等差數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，代入求得的通項(xiàng)公式.【題目詳解】（1）證明：由題意知，，又，故，又易知，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。（2）由（1）知，所以由，可得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為。【題目點(diǎn)撥】本小題第一問考查利用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用這個(gè)等差數(shù)列來(lái)求另一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題過程中，只需要牢牢把握住等差數(shù)列的定義，利用等差數(shù)列的定義來(lái)證明.18、（1）系統(tǒng)抽樣；乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113；甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113（2）①詳見解析②【解題分析】

（1）根據(jù)抽樣方式即可確定抽樣方法；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可分別求得兩組的平均數(shù)與中位數(shù)；（2）由甲廠的樣品數(shù)據(jù)，即可由列舉法得所有可能；根據(jù)列舉的數(shù)據(jù)，即可得滿足的情況，即可求得復(fù)合要求的概率.【題目詳解】（1）由題意該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)抽取產(chǎn)品采用的抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113，乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113.（2）①?gòu)募讖S6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，分別為：，，，共15個(gè).②設(shè)“”為事件，則事件共有5個(gè)結(jié)果：.所以的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查了莖葉圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由莖葉圖求平均值與中位數(shù)，列舉法求古典概型概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析;（2）5;（3）見解析【解題分析】試題分析：(1)分離系數(shù)m，求解方程組可得直線恒過定點(diǎn)；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得點(diǎn)到直線的距離的最大值是5；(3)由題意得到面積函數(shù)：，注意等號(hào)成立的條件.試題解析：（1）證明：直線方程可化為該方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得，所以直線恒過定點(diǎn)（2）點(diǎn)與定點(diǎn)間的距離，就是所求點(diǎn)到直線的距離的最大值，即（3）由于直線過定點(diǎn)，分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，設(shè)其方程為，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，面積的最小值為4此時(shí)直線的方程為20、（1）（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)為，再利用余弦定理得到答案.(2)先用和差公式計(jì)算，再利用正