第一章三角形的證明

一、選擇題（本大題共14個(gè)小題，每題2分，共28分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.（2021?湖南邵陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，ZBAD=40°,則/C的度

數(shù)為（）

【答案】D

【詳解】

解：AB=AC,。為8C中點(diǎn)，

.1.AD1BC,AO平分ABAC,

..NAZ>C=90°,/BAD=NO4cM00

在RfAZX:中，ZC=180°-90°-40°=50°

故選：D.

2.（2021.湖南湘西土家族苗族自治州.八年級(jí)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為12cm,其中一邊長(zhǎng)為3cm,則該等

腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4.5cmC.5cmD.6cm

【答案】A

【詳解】解：等腰三角形的周長(zhǎng)為12cm,其中一邊長(zhǎng)為3cm,

當(dāng)3cm為腰長(zhǎng)時(shí)，則另?腰為3cm,

此時(shí)底邊為12-3-3=6?！?，

而3+3=6,故不合題意舍去，

12-3

，當(dāng)3cm為底邊時(shí)，則腰為：-----=4.5cm,

2

此時(shí)3+4.5>4.5,符合題意，

所以等腰三角形的底邊長(zhǎng)為：3cm.

故選：A

3.（2021?安徽蚌埠市?八年級(jí)期末）如圖，在AA8C中，A0是A43C的角平分線，DELAC,若

NB=40°,NC=60°,則NAZ5E的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.500D.60"

【答案】C

【詳解】解:VZB=40°,NC=60°,

/.ZBAC=1800-ZB-ZC=80°，

A。是AABC的角平分線,

二ZDAC=-ZBAC=40°,

2

DEA.AC,

ZADE=90°-ZDAC=50°，

故選：C.

4.（2020?甘肅天水市?八年級(jí)期末）已知ABC中，a、b、c分別是NA、0B、NC的對(duì)邊，下列條件

中不能判斷ABC是直角三角形的是（)

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZC=ZA-ZB

C.a2+b2=c2D.a:b:c=6:8:10

【答案】A

【詳解】解：A、ZA：ZB：ZC=3：4：5,且/A+NB+/C=I8O。，所以/C=75。彳90。，故aABC不是直

角三角形:

B、因?yàn)?C=NA-NB,且/A+/B+NC=180。，所以NA=90。，故AABC是直角三角形;

C、因?yàn)閍2+b2=c2,故AABC是直角三角形;

D、因?yàn)閍：b：c=6：8：10,設(shè)a=6x,b=8x,c=10x,(6x)2+(8x)2=(lOx)2,故AABC是宜角三角形.

故選：A.

5.（2021?浙江湖州市?八年級(jí)期末）如圖，用尺規(guī)作心AC）斜邊BC的垂直平分線，其中

ZA^RtZ,現(xiàn)有以下結(jié)論：

?CD+AD^AB-.②ADC^EDC；③ZACD=NDBC；?2ZBCD+ZACD=90°.其中正確的

是()

A.①②B.??③C.①③④D.①④

【答案】D

【詳解】

：MN是BC的垂直平分線，

:.BD=CD

VBD+AD=AB

，CD+AD=AB

故①正確；

?.?在三角形ADC與三角形EDC中，

已知：CD=CD,ZA=ZEDC，條件不足，無(wú)法證明全等，

故②錯(cuò)誤：

???②中無(wú)法證明全等，

ZACD^ZDBC

故③錯(cuò)誤，

V+=90°.BD=CD

:./B=ADCB

2ABCD+ZACD=90°

故④正確，

故選：D.

6.（2021?河南開(kāi)封市?八年級(jí)期末）等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角是40。,則這一

等腰三角形的底角為（）

A.65°B.25°C.50°D.65°或25°

【答案】D

【詳解】

解：①當(dāng)為銳角等腰三角形時(shí)，如圖:

A

VZADE=40°,ZAED=90°,

.'NA=50°,

1800-50°

AZB=ZC=---------------=65°；

2

②當(dāng)為鈍角等腰三角形時(shí)，如圖:

.?.ZBAC=ZADE+ZAED=40°+90°=130°,

180°-130°

AZB=ZC=----------------=25°.

2

故選：D.

7.（2021?北京通州區(qū)?八年級(jí)期末）如圖，在RtABC中，NBAC=90。，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑

作弧交BC于點(diǎn)D,再分別以點(diǎn)B,D為圓心，以大于1面的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP

2

交BC于點(diǎn)E,如果AB=3,AC=4,那么線段AE的長(zhǎng)度是（）

A

【答案】A

【詳解】

解：VZBAC=90°,AB=3,AC=4,

.-.BC=7AB2+AC2=5'

根據(jù)作圖過(guò)程可知：AP是BD的垂直平分線，

.?.BE=DE,AE1BD,

,△ABC的面積：—AB?AC=—BC?AE,

22

.,.5AE=12,

12

AE——.

5

故選：A.

8.（2020.壽光市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，在A3C中，ZB=30°,且AB>AC,應(yīng)用尺規(guī)作圖中

構(gòu)造BC邊上的高AO,下列作圖中不正確的是（）

【答案】B

【詳解】

根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，應(yīng)為以A為圓心畫圓交BC于點(diǎn)D,再分別以C,E為圓心畫弧即可得到垂直，故A

正確：

以AE為半徑做圓弧，再以此弧與AC的交點(diǎn)為圓心，交點(diǎn)和E點(diǎn)距離為半徑作圓弧，則可得到

ZBAC=ZCAD^故B錯(cuò)誤；

取角B的度數(shù)，然后再A點(diǎn)畫兩個(gè)30。的角，則NSW=60。，則NBD4=90°,故C正確；

D項(xiàng)分別以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑和點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧，相交于點(diǎn)E,可得AABE和AACD是

等腰三角形，即可證明BD是兩個(gè)三角形底邊的垂直平分線，即可得到結(jié)果；

故選：B.

9.（2020.無(wú)錫市錢橋中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知ABC中，ZABC=50°，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P的直線分別交AB、BC于點(diǎn)M、N.若M在小的中垂線上，N在PC的中垂線上，則NAPC

的度數(shù)為（）.

C.115°D.無(wú)法確定

【答案】C

【詳解】解:VZABC=50°,

ZBMN+ZBNM=130°.

TM在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上,

/.AM=PM,PN=CN.

AZMAP=ZMPA,/CPN=/PCN.

：/BMN=NMAP+NMPA,NBNM=NCPN+NPCN,

/.ZMPA=—ZBMN,ZCPN=—ZBNM.

22

.\ZMPA+ZCPN=—(ZBMN+ZBNM)=-x!30°=65°.

22

ZAPC=180o-65°=115°.

故選：C.

10.(2021?安徽安慶市?八年級(jí)期末)如圖。是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且。到三邊AB、BC、CA的距離

OF=OD=OE.若ZA=70°,則ZBOC().

A

A.125°B.135°C.105°D.100°

【答案】A

【詳解】

解：到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE,

...點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

VZBAC=70o,

ZABC+ZACB=180°-70°=110°,

AZOBC+ZOCB=—(ZABC+ZACB)=—xll0°=55°,

22

在AOBC中，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-55°=125°.

故選:A.

11.(2021?廣西欽州市?八年級(jí)期末)如圖，ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)8c至E,使(Eg)

則下列結(jié)論錯(cuò)送的是()

A.NCED=30。B.ZBZ)E=120°C.DE=BDD.DE=AB

【答案】D

【詳解】

解：:△ABC是等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,

YBD是AC上的中線，

???NADB=NCDB=9()°,NABD=NCBD=3()。，

VZACB=ZCDE+ZDEC=60°,又CD=CE,

???NCDE=NCED=30。，

???NCBD=NDEC,

ADE=BD,ZBDE=ZCDB+ZCDE=120°,

故ABC均正確.

故選：D.

12.(2020?內(nèi)蒙古赤峰市?八年級(jí)期中)如圖，在RtZXABC中，NACB=90。，8。是角平分線，若AC=10cm,

AP:CD=3:2,則點(diǎn)。到AB的距離是()

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【答案】c

【詳解】解：VAC=l()cm,40:8=3:2,

2

/.CD=10x—=4cm,

5

：BD是角平分線，NC=90。，過(guò)D點(diǎn)作DE_LAB,

點(diǎn)D到AB的距離DE=CD=4cm,

故選：C.

13.（2020?江西萍鄉(xiāng)市?八年級(jí)期末）將等腰RSABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到AABC,若AC=1,則圖

中陰影部分面積為（）

c6

A.gB.373

36

【答案】D

【詳解】

如圖，設(shè)BC與AB交點(diǎn)為D,

「△ABC是等腰直角三角形，

，/BAC=45。，

^.^△AB，C是△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。后得到,

.../CAC'=15°,AC'=AC=1,

.'.NC'AD=NBAC-NCAC'=45°-15°=30°,

,.?AD=2CD,

A￡>2=ACQ+CT)2,

即(2C'D)2=]2+CT>2,

解得CD=X3

3

故陰影部分的面積=工xIx走=走

236

故選D.

14.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級(jí)期末）如圖，以AABC的邊AB、AC為邊向外作等邊AAB。與等邊AACE,

連接BE交￡>C于點(diǎn)F,下列結(jié)論：?CD=BE；②剛平分NOFE；③NBFC=120°；=—.其中

、AEFC"C

正確的有（）

D

C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)4作AMJ_C力于M,ANLBE于N,過(guò)點(diǎn)C作CH_LBE于，,

VAABD,AACE都是等邊三角形,

：.AD=AB,AE=AC,NQAB=NEAC=60°,

:.ZDAC=ZBAE.

在AA。。和△A8E中，

AD=AB

<ZDAC=NBAE,

AC=AE

：./\ADC^/\ABE(SAS),

7.CD=BE,ZAEB=ZACD,故①正確

,/△4OC絲△ABE,

:.AM=AN.

?.?4M_LC。于M,AN工BE于N,

??.4/平分NQbE,故②正確.

/AEB=NACD,

???ZAEC+ZACE=120°=ZAEB+ZBEC+ZACE,

：.ZACF+ZBEC+ZACE=120°,

AZBFC=ZACF+ZBEC+ZACE=120°,故③正確,

/.ZDFE=120°,

???ZDFA=ZEFA=60°=ZCFE.

YANLBE,CHLEF,

:?/FAN=ZFCH=3G。,

?*-AF=2/W,AN=yjAF2-FN2=>/3f7V,FC=2FH,HC=VFC2-FH2=V3FH,

???AN=—AF,HC=—FC,

22

SgxEFxANANRAFAF

產(chǎn)=彳-----------=CH=~R-=而?故④正確?

'EFC—XEFXCH5PC

22

故選：A-

二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）

15.（2021?河南開(kāi)封市?八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，NC=90°,AC=BC,AD平分/C4B交BC

于D,于E,若3￡陀的周長(zhǎng)是4cm,則AB的長(zhǎng)為cm.

【答案】4

【詳解】

解：；AD平分/BAC,ZC=90°,DE1AB,

；.CD=DE,

在RtAACD和RtAAED中,

AD^AD

CD=DE'

ARtAACD^RtAAED(HL),

AAE=AC,

VAC=BC,

???BC=AE,

?/ABDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BLBE+AE=AB,

/.AB=4cm.

故答案為：4.

16.（2021.河南周口市.八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AC=BC,NB=70。，分別以點(diǎn)4、C為圓心，大于

』AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)”、N,作直線MN,分別交AC、BC于點(diǎn)。、E,連結(jié)AE,則NAEQ

2

的度數(shù)是

【答案】50；

【詳解】解：YMN是線段AC的垂直平分線，

；.CE=AE,ZADE=90°,

r.ZC=ZCAE,

VAC=BC,NB=70。，

ZBAC=70°,

ZC=180°-2x70°=40°,

，NAED=90°-40°=50°,

故答案為：50.

17.（2021.山東濰坊市.八年級(jí)期末）如圖，AABC為等邊三角形，/1=/2=/3,則/8七。的度數(shù)是

【答案】120

【詳解】

解：:△ABC為等邊三角形,

:.NACB=60°

?,.Z3+ZBCE=60°

VZ2=Z3

，Z2+ZBCE=60°

/.ZBEC=180°-(Z2+ZBCE)=120°.

故答案為：120。

18.(2021.湖北十堰市.八年級(jí)期末)如圖，已知A(1,3),在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)B,使AAOB為等腰三角形,

符合條件的點(diǎn)有一個(gè).

【答案】8

【詳解】

先假設(shè)點(diǎn)B在x軸上，可設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(X,O),

當(dāng)OA=AB時(shí)，

J(1-0)-+(3_o'=J(x-I,+(0—3)"'

二1+9=/-2x+1+9，

.?.f-2x=0，

二*=2或1=()(舍去)，

???點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)；

當(dāng)OA=OB時(shí)，

J(1-O'+(3—0,=J(0-J)?+(0-O'

1+9=x2

?**x—+A/10，

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(、何,0),(-V10,0)；

當(dāng)OB=AB時(shí)，

J(1-+(3_o)-=J(x-0)2+(o-oj'

1?1-2x+才2+9=才2,

??x=5,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0）；

綜上所述，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,（而,0）,卜"6,0）,（5,0）；

同理可得當(dāng)點(diǎn)B在y軸上時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,2）,（0,x/i0）,（0,-VlO）,（0,5）；

,符合條件的點(diǎn)B有8個(gè)；

故答案是8.

三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）

19.（2021.福建福州市.八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，D是邊ABI:一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作CV//A3

交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

（1）求證：AD=CF；

（2）若NB=NACB,CE=3,CF=4,求的長(zhǎng).

【詳解】

(1)證明：E是邊AC的中點(diǎn)，

:.AE-CE.

又CF//AB,

:.ZA=ZACF,ZADF=ZF.

在ADE與CFE中,

ZADF=ZF

<NA=ZACF

AE=CE

ADE合CFE(AAS)

:.AD=CF；

(2)解：ADE=CFE,CF=4,

AD=CF=4,

又NB=ZACB.

AB—AC.

E是邊AC的中點(diǎn)，CE=3,

:.AC=2CE^6.

AB=6.

.?.nB=AB—AD=6-4=2.

20.（2021?山西臨汾市?八年級(jí)期末）如圖所示，在圖①和圖②的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出端點(diǎn)在格點(diǎn)的線段MN和EF,便MN=垃,EF=4,并選擇其中的一個(gè)說(shuō)明理

①

（2）如圖②，A6C是一個(gè)格點(diǎn)三角形，這個(gè)三角形是直角三角形嗎？為什么？

【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）是直角三角形，見(jiàn)解析

MN=Vl2+12=V2-EF=V22+l2=V5

(2)是直角三角形，

理由：AC2=13-AB2=52.BC2=65

,-.AC2+AB2=13+52=65=BC2

ABC是直角三角形.

21.（2021?湖南長(zhǎng)沙市?八年級(jí)期末）如圖，在^ABC中，A3邊的中垂線尸。與AABC的外角平分線交于點(diǎn)

P,過(guò)點(diǎn)尸作PDLBC于點(diǎn)。，PELAC于點(diǎn)E.

（1）求證：BD=AE；

（2）若BC=6,AC=4.求CE的長(zhǎng)度.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CE=1

【詳解】

（1）連接PA.PB,

；C尸是N8CE的平分線，PD1.BC,PEA.AC,

：.PD=PE,

在RtaCOP和RsCEP中，

PD=PE

PC=PC'

：.Rt^CDP^Rt^CEP(HL)

：.CD=CE,

■：PQ是線段A8的垂直平分線,

J.PA^PB,

在RSAEP和Rtz^DP中，

PE=PD

PA=PB'

.'.Rt^AEP^Rt^BDP(HL),

；.AE=BD：

(2)AC+CE+CD=BD+CD=BC=6,

/.CE=CD=-x(6-4)=l.

22.（2021?江蘇南京市?八年級(jí)期末）問(wèn)題：如圖①，要在一條筆直的路邊/上建一個(gè)燃?xì)庹?，?同側(cè)的4、

8兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)4,線段48與直線/的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃

氣站，所得路線ACB是最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線/上另外任取一點(diǎn)C,連接證明AC+C8VAC+CB.請(qǐng)

完成這個(gè)證明.

（2）如圖③，點(diǎn)尸為NMON內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，在。M上有一點(diǎn)A,ON上有一點(diǎn)B.請(qǐng)你作出點(diǎn)A和點(diǎn)B的

位置，使得△附B的周長(zhǎng)最小.（保留作圖痕跡，不寫作法）在上述條件下，若NMON=40。，則NAPB

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析，100

【詳解】

證明：（1）如圖②，連接4C，

?.,點(diǎn)A,點(diǎn)H關(guān)于/對(duì)稱，點(diǎn)C在/上,

CA=CAr.

：.AC+BC=A!C+BC=A!B,

同理可得：AC+C'B=A'C'+BC,

A'B<A'C'+C'B,

：.AC+BC<AC'+C'B；

（2）如圖所示，點(diǎn)A、8即為所求,

由軸對(duì)稱的性fOPB^OP"B,OPA^OP'A

：.PO=P"O,PO=P'O,ZOPB=ZOP"B,ZOPA=ZOP'A,

ZPOB=ZP"OB,ZPOA=ZP'OA,

：.ZAPB=ZOPB+ZOPA=ZOP"B+ZOP'A,

ZPOB+ZPOA=ZP"OB+ZP'OA=40°,

NP'OP"=40°+40°=80。，

OP'=OP",

ZOP'P"=NOP/P'=；(180°—80°)=50°,

ZAPB=ZOP"P'+ZOP'P"=1(X)°,

故答案為：100°.

23.(2021?山東臨沂市?八年級(jí)期末)如圖，點(diǎn)尸為定角NAO8的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，ZAOB=\20°,

OP=6,且NMV與NAOB互補(bǔ)，若NMPN在繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與04,OB相交于M,

N兩點(diǎn).

B

(1)試判斷PMN的形狀，并給出證明;

(2)OM+ON的值是否為定值？若是請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）四邊形PMQV的面積是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）PMN為等邊三角形，證明見(jiàn)解析；（2）QW+ON的值是定值，定值為6,理由見(jiàn)解析;

（3）四邊形PMON的面積是一個(gè)定值，理由見(jiàn)解析.

【詳解】

（1）證明：如圖作于E,PFLOB于F.

NPEM=NPFN=90°,

ZMPN+ZAOB=ISO°,

ZOMP+ZONP=180°,

又ZONP+ZPNF=180°.

:.ZOMP=ZPNF,

?！钙椒諲AO3,?！辏?。4于6，PF上OB于F，

:.PE=PF，

在RtzXPME和RtAPNF中，

NPEM=4PFN

<40Mp=ZPNF,

PE=PF

RtAP￡A/^RtAP/W（AAS）,

PM=PN.

又ZMPN+ZAOB=1SO°,ZAOB=120°,

：.ZMPN=60°.

:.APMN為等邊三角形.

M

E

（2）OM+CW的值是定值.

理由：在RtPOE和RtAPO/中,

OP=OP

PE=PF

.-.RtfPOEgRtPOF.

：.OE=OF,ZPOE=ZPON=60°,

又RtAP￡M^RtAPf7V,

:.ME=NF,

:.OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE.

在RtPOE中,NP0E=6（）°,

:.NOPE=30。,

...OE=O尸=3,PE=Sp2-OE。=35

:.OM+ON=2OE=6.

（3）四邊形PE。尸是一個(gè)定值，

理由：RtAPEM冬Rt^PFN,

■.S&PEM=S&PNF，

一S四邊形PMON

~Spq邊形「EOF

=2sPOE

=2x1x3x373

2

=9A/3

,四邊形PMQV的面積是一個(gè)定值.

24.（2021?山東濱州市?八年級(jí)期末）（問(wèn)題提出）（1）如圖，A6c與均是頂角為40。的等腰三角

形，BC、OE分別是底邊，求證：BD=CE；

A

（類比延伸）（2）如圖，△AC8與A￡D均為等邊三角形，點(diǎn)3、D、E在同一直線上，連接CE.填空:

NAEC的度數(shù)為；線段EC與BO之間的數(shù)量關(guān)系為.

A

（拓展研究）（3）如圖，"CB與AED均為等腰直角三角形，NC48=NE4T>=90°,點(diǎn)3、D、E在

同一直線上，于點(diǎn)M，連接CE.請(qǐng)求出NBEC的度數(shù)及線段AM、CE、5E之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)120°,EB=AD：(3)90°,BE=CE+2AM，見(jiàn)解析

【詳解】

(1)證明：???NA4C=ZZME=40°,

:.NBAC—/DAC=NDAE-NDAC，即N^4D=NC4E,

AB=AC

在BAD和VC4￡中，，NBAD=ZCAE,

AD=AE

：.ABAD^AC4￡(5AS),

BD=CE；

(2)?△ABC和AADE均是等邊三角形,

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZADE=ZAED=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

.?.ZBAD=ZCAE,

.,.△BAD^ACAE(SAS),

；.BD=CE,ZADB=ZAEC,

ZADE=60°,

，NAEC=NADB=180°-NADE=120°,

故答案為：120。，BE=AD；

(3)解：???△AC8和AED均為等腰直角三角形，

AAC=AB,A￡)=AE，ABAC=ZDAE=90°,ZADE=ZAED=45°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC，即NBAP=NC4￡，

AB=AC

在AABD和△ACE中，，NBAD=NCAE,

AD=AE

AABD^AACE(5AS),

BD=CE，

VZZME=90°,AD^AE<AM±DE,

；?AM=DM=EM，

DE=DM+EM=2AM，

；.BE=BD+DE^CE+2AM；

即線段A"、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：BE=CE+2AM.

25.(2021?河南洛陽(yáng)市?八年級(jí)期末)如圖，點(diǎn)。是等邊“BC內(nèi)一點(diǎn)，。是MBC外的一點(diǎn)，乙4。8=110。,

/BOC=a,△BOC^AADC,ZOCD=60°,連接OD

(1)求證：△08是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150。時(shí)，試判斷△A。。的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△A。。是等腰三角形.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)△A。。是直角三角形，理由詳見(jiàn)解析；(3)當(dāng)a=110?；?25。或140。時(shí)，AAOD

是等腰三角形.

【詳解】

解：(1):△BOC-△AOC,

OC=DC.

?：ZOCD^60°,

...△ocn是等邊三角形.

(2)△A。。是直角三角形.

理由如下：

,..△oc。是等邊三角形，

：.ZODC=60°,

'：/\BOC^/\ADC,/a=150。，

，/AOC=NBOC=Na=150°,

/.ZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90o,

.?.△A。。是直角三角形.

(3)???△OCD是等邊三角形，

...NCOO=/OQC=60。.

VZAOB=110°,NADC=NBOC=a,

：./400=360°-ZAOfi-ZHOC-/CO/)=360°-H0°-a-60°=190°-a,

ZADO=ZADC-/ODC=a-60°,

???NOAO=180。-NAO。-N4OO=180。-（190°-a）-（a-60°）=50°.

①當(dāng)NAOD=NAOO時(shí)，I90°-a=a-60°,

.\a=125°.

②當(dāng)NAOO=NOAO時(shí)，190°-a=50°,

/.a=140°.

③當(dāng)NAOO=NOA。時(shí)，

a-60°=50°,

.\a=110°.

綜上所述：當(dāng)a=110?；?25?；?40。時(shí)，zU。。是等腰三角形.

26.（2021?四川達(dá)州市?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交坐標(biāo)軸于A3兩點(diǎn),

過(guò)：x軸正半軸上一點(diǎn)c作直線co交y軸正半軸于點(diǎn)。，且AAOBMADOC.

備用圖

（1）求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)