28.1銳角三角函數(shù)同步練習(xí)一、單選題1．（2022秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）已知中，，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）的值等于（

）A． B． C． D．13．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）的倒數(shù)是（

）A． B． C．2 D．4．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，∠CDB＝30°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，則sinE的值為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，則BC的長為（）A．3sin35° B． C．3cos35° D．3tan35°7．（2022秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O是ΔABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為，AC=2，則sinB的值是A． B． C． D．8．（2022秋·黑龍江雞西·九年級雞西市第一中學(xué)校期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為(

)A． B． C． D．二、填空題9．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）若，則．10．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在2×6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，BC，則．11．（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A，∠C都是銳角，cosA＝，sinC＝，則∠B＝．12．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．13．（2022秋·黑龍江七臺河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分面積為．14．（2022秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．三、解答題15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）化簡，再求值：，其中．16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在x軸上，連接、，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)．(1)求k的值；(2)以為直角邊作等腰直角，過點(diǎn)C作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，求E點(diǎn)坐標(biāo)．17．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直徑的與交于點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑的長．18．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）（1）計(jì)算：

（2）解方程：19．（2022秋·黑龍江綏化·九年級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長線上一點(diǎn)，∠DCB＝∠OAC．過圓心O作BC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑及tan∠OCB的值．20．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，拋物線交軸于、兩點(diǎn)（左右），交軸于，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接PA交y軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PCD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC交PA于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作//，交BC于點(diǎn)F，若PE＝PF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）已知，，，．求∠A的余弦值和正切值22．（2022秋·黑龍江大慶·九年級期末）計(jì)算：23．（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，經(jīng)過點(diǎn)A的直線（不與BD垂直）與對角線BD所在直線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B，D分別作直線BD的垂線交直線AE于點(diǎn)F，H．（1）當(dāng)點(diǎn)E在如圖①位置時，求證：BF﹣DH＝BD；（提示：延長DA交BF于G）（2）當(dāng)點(diǎn)E在圖②、圖③的位置時，直接寫出線段BF，DH，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DH＝1，BD＝4，則tan∠DHE＝．24．（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：÷（1﹣），其中x＝2tan60°．25．（2022秋·黑龍江雞西·九年級期末）化簡求值：，其中a，b滿足26．（2022秋·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于是的直徑的延長線上一點(diǎn)，．過圓心作的平行線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑及的值；27．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝2cos45°﹣tan60°．參考答案：1．B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，∴sinB=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定定理及銳角三角函數(shù)的定義，由勾股定理得到直角三角形是解題關(guān)鍵．2．B【分析】利用特殊角銳角三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)cos60°＝進(jìn)行結(jié)合倒數(shù)回答即可．【詳解】解：由特殊角的三角函數(shù)值可知，cos60°＝，的倒數(shù)是，故：的倒數(shù)是2．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值和倒數(shù)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答此類問題的關(guān)鍵.4．B【分析】過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．【詳解】過C點(diǎn)作，垂足為D則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在中，所以故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．5．B【分析】首先連接OC，由CE是切線，可得，由圓周角定理，可得，繼而求得的度數(shù)，則可求得的值．【詳解】解：連接OC，是切線，，即，，、分別是所對的圓心角、圓周角,，，．故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)切線的性質(zhì)連半徑是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)余弦定義求解即可．【詳解】解：如圖，∵∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，cos35°＝，∴BC＝3cos35°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握余弦的定義是解此題的關(guān)鍵．7．D【詳解】如圖，連接DC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵⊙O的半徑為，∴AD=3，∴sin∠ADC=，又∵∠B=∠ADC，∴sinB=.故選D.8．C【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°∴∠DCF=∠AFE∴在Rt△DCF中，CF=5，CD=4∴DF=3∴tan∠AFE=tan∠DCF=故選：C.【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.翻折變換；2.矩形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)的定義.9．/30度【分析】由，，可得，即可解得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)，熟知是解題的關(guān)鍵．10．【分析】連接格點(diǎn)E與A，求出∠FAB=∠EAH=45°，，得到∠BAE=90°，根據(jù)公式求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接格點(diǎn)E與A，∵AF=BF=2，AH=EH=1，∠AFB=∠AHE=90°，∴∠FAB=∠EAH=45°，，∴∠BAE=90°，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了求角的正切值，求網(wǎng)格中線段的長度，正確引出輔助線得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．60°/60度【分析】利用特殊角的銳角三角函數(shù)值先求解再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解：∠A，∠C都是銳角，cosA＝，sinC＝，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是已知銳角三角函數(shù)值求解銳角的大小，掌握“特殊角的銳角三角函數(shù)值”是解本題的關(guān)鍵.12．【分析】由點(diǎn)P在反比例函數(shù)曲線上可知，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，則=．【詳解】∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上∴故P點(diǎn)坐標(biāo)為（12，5）故OH=12，PH=5在中滿足勾股定理∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)及其性質(zhì)以及求角的余弦值，由反比例函數(shù)性質(zhì)求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得OH，PH的長度是解題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E，連接AE，利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等∠DAE=∠B′AE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積-四邊形ADEB′的面積，列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，在和中，，，，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，，，，∴陰影部分的面積=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，從而求出∠DAE=30°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．14．2【分析】將特殊角三角函數(shù)值代入，并化簡零指數(shù)冪，然后進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)算，熟記特殊角三角函數(shù)值正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．15．，【分析】先將分式的分子、分母因式分解，再進(jìn)行約分，然后進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，再代值計(jì)算．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值．解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計(jì)算．16．(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)A作于H點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，利用三角函數(shù)求出，再根據(jù)勾股定理求出，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出k；（2）過點(diǎn)A作軸，延長交于點(diǎn)G，得到，求出，證明，得到，求出，將代入函數(shù)解析式即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于H點(diǎn)，∵點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)．∴；（2）解：過點(diǎn)A作軸，延長交于點(diǎn)G，則，∴四邊形是矩形，∴，∵等腰直角中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明，根據(jù)，即可證明，即為的切線；（2）連接，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴為的切線；（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，∴的半徑．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，已知正切求邊長，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．18．（1）；（2），【分析】（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后去絕對值符號并進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將方程變形為一般形式，然后用因式分解法求解方程即可．【詳解】解：（1）原式；（2）或，．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值有關(guān)計(jì)算，因式分解法解一元二次方程；熟記特殊角三角函數(shù)值，正確求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)3；2【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與已知條件得出，∠OCA=∠DCB，由圓周角定理可得∠ACB=90°，進(jìn)而得到∠OCD=90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，設(shè)BD=2x,則OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理求出x=1，即⊙O的半徑為3，由平行線的性質(zhì)得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．【詳解】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OEBC，∴，

∵CD＝4，CE＝6，∴，

設(shè)BD＝2x，則OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，

在Rt△OCD中，，∴，解得，x＝1，∴OC＝3x＝3，即⊙O的半徑為3，

∵BCOE，∴∠OCB＝∠EOC，

在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握切線的判定與平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)(3)【分析】（1）令a（x+2）（x-5）=0，解得x=-2或x=5，得到A（-2，0），B（5，0），即OA=2，OB=5，再根據(jù)5OA=2OC，解得a=-，從而得出拋物線的解析式；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，過點(diǎn)作軸，垂足為，根據(jù)求得，根據(jù)即可求解；（3）設(shè)PH交BC于點(diǎn)G，連接GD交OF點(diǎn)N，先推出四邊形OHGD為矩形，再證明四邊形AOND為平行四邊形，從而DN=OA=2，設(shè)∠APF=2α，∠PEF=∠PFE=90°-α，再證明△PGF≌△NGF，求得，根據(jù)建立方程，求得的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）在中，當(dāng)時，，∴，∴，此時，∵，∴，∴或，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，∵，∴，∴，∴，∴，∴（3）∵，∴，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接交點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍），∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題．21．cosA，tanA；【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵，，，∴AB，則cosA，tanA．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦、銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦、銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切．22．7【分析】根據(jù)，立方根的求法，特殊三角函數(shù)的值，積的乘方，計(jì)算即可得答案．【詳解】解：==1-2+6-（-2）=7【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、零指數(shù)冪、特殊三角函數(shù)的值、積的乘方的相關(guān)計(jì)算，做題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)法則，特別積的乘方的逆運(yùn)算，認(rèn)真計(jì)算．23．（1）見解析；（2）或；（3）或【分析】（1）延長DA交BF于G，先證明△ABG是等邊三角形，得到AG=AB=AD，然后證明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如圖②所示，延長BA交DH于G，同理可證△ABF≌△AGH，，得到，則；延長DA交BF延長線于G，同理可證，AG=AD，然后證明△GAF≌△DAH，得到，則；（3）如圖①所示，先根據(jù)結(jié)論求出，然后證明△FBE∽△HDE，得到，即，則，；然后對于圖②和圖③利用類似的方法求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，延長DA交BF于G，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴∠FBD=∠HDB=90°，∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，∴∠FGA=120°，∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG=AB=AD，在△AGF和△ADH中，，∴△AGF≌△ADH（ASA），∴DH=GF，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）如圖②所示，延長BA交DH于G，同理可證△ABF≌△AGH，，∴，∴；如圖③所示，延長DA交BF延長線于G，同理可證，AG=AD，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BG∥DH，∴∠FGA=∠HAD，又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，∴△GAF≌△DAH（AAS），∴，∴；（3）如圖①所示，∵，，，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BF//DH，∴△FBE∽△HDE，∴，即，∴，∴；如圖②所示，∵