卷05(天津卷數(shù)學)-2021屆高考數(shù)學沖刺模擬測試卷

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件A與事件8互斥，那么P(A8)=P(A)+P(3).

?如果事件A與事件B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(3).

?球的表面積公式S=4%/?2,其中R表示球的半徑.

1.設(shè)集合A={1,3,5},8={x|24x<5},C={4,6),則(Ac5)uC=().

A.{1,3,4,5}B.{3,4,6}C.{3,4,5,6}D.{1,3,4,6)

【答案】B

【分析】

根據(jù)集合的交運算和并運算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

由題可知Ac8={3},故可得(Ac8)uC={3,4,6}.

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的交運算和并運算，屬基礎(chǔ)題.

x+y+140

2.設(shè)變量x,＞滿足約束條件＜2x—y+lN0,則目標函數(shù)z=3x+y的最小值是().

x-2y-2＜Q

.-717

A.0B.一1C.----D.-----

33

【答案】D

【分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：

目標函數(shù)z=3x+y,可轉(zhuǎn)化為y=-3x+z與直線y=-3x平行.

數(shù)形結(jié)合可知，當?shù)﹥H當目標函數(shù)過點時，取得最小值.

故選：D.

【點睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃問題的處理，屬基礎(chǔ)題.

3.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l+mi)(l+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)加=()

2

A.-1B.0C.1D.。或1

【答案】C

【分析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡(l+mi)(l+i)，再利用純虛數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

(l+mi)(l+i)=(l-/w)+(l+/w)i是純虛數(shù)，.《；+”力；，即加=1,故選C.

【點睛】

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，

掌握純虛數(shù)、共穎復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母

實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造

成不必要的失分.

4.已知向量忖=2,忖=1,a-^a-2b^=2,則。與匕的夾角為()

A.30°B.60°C.90°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意先求出向量a與匕的數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，進而得到夾角

的大小.

【詳解】

ci—2b)=a~-2cfb――ciA=2,：.a,b—1-

設(shè)a與。的夾角為仇則cose=/2=:，又0。<8<180°，

141叫2

6=60°，即a與〃的夾角為60°.

【點睛】

向量的數(shù)量積為求解夾角問題、垂直問題及長度問題提供/工具，在求夾角時首先要求出兩

向量的數(shù)量積，進而得到夾角的余弦值，容易忽視的問題是忘記夾角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)xeR,則“（）<x<3”是”|無一1|<2"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

解絕對值不等式卜-1|<2求得x的取值范圍.然后根據(jù)兩者的范圍判斷正確選項.

【詳解】

由,一1|<2,得一2<x—1<2,解得-l<x<3,（0,3）是（一1,3）的子集，故"0〈尤<3”是

八|x—1|<2"的充分而不必要條件.故選A.

【點睛】

本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知函數(shù)/（%）=12+|乂，且〃b=/1log2；）,c=/（2-1）,則a,b,c

的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【分析】

4

由函數(shù)，（尤）=/+國，可得〃T）=/（X）,得到函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對

稱，又由由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)“X）在［0,+0。）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)/（X）在

（7,0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/（x）=f+W，滿足〃一同=（一%）2+卜乂=%2+兇=/（%）,

所以函數(shù)/（x）為定義域上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，

又當。時，〃x）=f+x,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)“X）在［0,+8）上為單調(diào)遞增

函數(shù)，則函數(shù)/（x）在（-℃,0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，

-3I1!_J._i1

又由55<1!110=5，［0823<10822=-1，2一=->

34

根據(jù)對稱性，可得/（皿5）</（2-></（10823），即a<c<6,故選A.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中得到函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，以

及熟練應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

7.設(shè)橢圓C：二+4=1（。>6>0）的左、右焦點分別為￡、B，P是C上的點，PF21.

a"b~

6尸2,/P耳耳=30，則C的離心率為（）

A.立B.-C.-D.—

6323

【答案】D

【解析】

由題意可設(shè)IPF?尸”3結(jié)合條件可知1PBi=2根，尸心|=&m,

“*、+2cEF-,yj3mG、

故離心率e=—=——」一=-------=-選D.

2aPF、+PF22m+m3

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程

或不等式,再根據(jù)a,》,c的關(guān)系消掉。得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于4瓦c的方程或不等式,

要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.

8.要得到函數(shù)y=的圖象，只需將函數(shù)y=J5sin[2尤一?）圖象上所有點

的橫坐標（）

A.伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移四個單位長度

4

TT

B.伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移下個單位長度

4

15%

C.縮短到原來的上倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移二個單位長度

224

D.縮短到原來的!倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移打三個單位長度

224

【答案】B

【詳解】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判斷即可.

詳解：將函數(shù)y=瓜in（2x-圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到y(tǒng)=Gsi"（Lx2x-工）=百5比（兀一2），

233

再將得到的圖象向左平移;個單位長度得到y(tǒng)=6s%（x-（+?）=MsinQx-*）,

故選B.

6

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合0和/的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2x-f-l,x<0_.

9.已知函數(shù)/*)=<|lnqX〉0，則方程f[.f(x)]=3的實數(shù)根的個數(shù)是()

A.6B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

2%+l,X<0,、/、

畫出函數(shù)/(尤)=<|lnx|r>()，將方程/[/(幻]=3看作r=/(x),/(f)=3交點個數(shù)，運

用圖象判斷根的個數(shù).

【詳解】

2x+l,x<0

畫出函數(shù)/(x)=<

|lnx|,x>0

令r=/(x),;J(r)=3有兩解4e(0,l),f2G(l,+8)，則4=/(x),/(x)=f2分別有3個,

2個解，故方程(切=3的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個

故選：D

【點睛】

本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結(jié)合的思想判斷方程的根，難度

較大，屬于中檔題.

第n卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分.

10.已知曲線/(x)=(如-Dlnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-1,則實數(shù)。的值為

【答案】2

【分析】

求導(dǎo)函數(shù)。由尸。)=1可求得

【詳解】

rrr—1

由題意/'(x)=alnx+--------,尸(1)=。-1,由a-l=l得a=2。

x

故答案為：2。

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)圖象在該點的導(dǎo)數(shù)值。

11.已知a,h均為正數(shù)，且。+匕=1,幺士—1的最小值為.

2ab

【答案】0

【分析】

本題首先可以根據(jù)。+匕=1將邑1-1化簡為二+2,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小

2abb2a

值.

8

【詳解】

因為a+b=l，

所以"_]=￡1±^￡1<_]=色+222,心=夜，

2ab2abb2a\b2a

°b

當且僅當丁=丁，即〃=0—1、6=2—亞時取等號，

b2。

故答案為：V2.

【點睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+匕？2瘋(a0,b>0),在使用基

本不等式的時候要注意“="成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

12.在(五-：)的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)

項等于.

【答案】112

【分析】

由題意可得”=8,再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值.

【詳解】

(五-2)"的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，.?.”=8,

X

n—4r8-4r8—47*

通項公式為J=C；.2)'x廠=(-2)'C；x令-3-=°'求得r=2，

可得二項展開式常數(shù)項等于4xC；=112,

故答案為112.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.經(jīng)過A(5,2),8(—1,4)兩點，且圓心在x軸上的圓C的標準方程為

【答案】(龍一1)2+：/=20

【解析】

【分析】

由圓心在x軸上，先設(shè)圓的方程為(X-4+/=/，再由圓過點4(5,2),3(—1,4),列方程

組，求解即可.

【詳解】

因為圓心在x軸上，所以設(shè)圓的方程為(無一4+：/=/，又圓過點A(5,2),8(—1,4),

222

(5-a)+2=r廠2

所以有｛',，解得a=l,r=2百，所以圓的方程為(X-1)一+丁=20.

(-1-iz)-+42=r2

【點睛】

本題主要考查待定系數(shù)法求圓的方程，屬于基礎(chǔ)題型.

14.若一個正四面體的棱長為1,四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為.

【答案】彳

2

【解析】

【分析】

將四面體補成?個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球

的表面積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，將正四面體補形成一個正方體，

則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，

10

因為正四面體的棱長為1,所以正方體的棱長為

2

設(shè)球的半徑為R，因為球的直徑是正方體的對角線,

即2R=J凈2+（生+（爭-等，解得R=手，

所以球的表面積為S=47R2=4%X

【點睛】

本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構(gòu)造正方體，

利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查

了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.某校在高一年級一班至六班進行了“社團活動'’滿意度調(diào)查（結(jié)果只有“滿意”和"不滿意”

兩種），從被調(diào)查的學生中隨機抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號一班二班三班四班五班六班

頻數(shù)451181012

滿意人數(shù)328566

現(xiàn)從一班和二班調(diào)查對象中隨機選取4人進行追蹤調(diào)查，則選中的4人中恰有2人不滿意的

概率為;若將以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)中學生持滿意態(tài)度的頻率視為概率，在高一年級全體

學生中隨機抽取3名學生，記其中滿意的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學期望是

【分析】

第一空：利用古典概型的概率公式計算即可；

第二空：X的所有可能取值為0,1,2,3,求出分布列，進而通過數(shù)學期望計算公式即可得

出.

【詳解】

解：笫一空：從一班和二班調(diào)查對象中隨機選取4人進行追蹤調(diào)查，則選中的4人中恰有2

c2c210

人不滿意的概率為P—―匕工——:

C：21

第二空：在高一年級全體學生中隨機抽取1名學生,

3+2+8+5+6+63

其滿意概率為尸=

505

X的所有可能取值為0,1,2,3.

3_27

P（X=2）=C；

11）符急加3用-1251

分布列如下：

X0123

8365427

P

法125125125

E（X）』+2X』3X".

\）1251251255

……109

故答案為：—；~.

215

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于

12

中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在AA3C中，仇。分別為三個內(nèi)角A,8,C的對邊，且從一2"bcsiM+c2=/.

3

（1）求角A的大小；

（2）若b=2,c=3,求。和sin（28-A）的值.

【答案】（l）g：（2）。=五空.

314

【分析】

（1）ft2-^^-bcsinA+c2=十化為'———=sinA，由余弦定理可得taru4=，

32hc3

從而可得結(jié)果；（2）由余弦定理求得a=J7,再由正弦定理求得sinB=變，根據(jù)二倍角

7

的正弦、余弦公式，結(jié)合兩角差的正弦公式可得結(jié)果.

【詳解】

（1）由已知,得:b1-bc3inA+c2=a2?

3

由余弦定理，得：匕+'———sinA-cosA=—sinA.

2bc33

即tariA=5/3,又Aw（0,71），所以A=彳.

（2）a2=b2+c2-2bccosA

01L

..cr=4+9—2x2x3x—=7/.ci=>/7，

_,cib—產(chǎn)---------.

又二丁二丁/V3smBsinB

sinAsinB

2

h<aBEf0,—/.cosB=Vl-sin2B=------，

7

sin23=2sinBcosB=-V3,cos2B=-

77

.,.sin（23-A）=sin2BcosA—cos2BsinA=—^x—--x—=^U.

727214

【點睛】

本題主要考查正弦定理余弦定理的應(yīng)用以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.解三角形時，

有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷.如果式子中

含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一

次式時，則考慮用正弦定理：以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

17.（本小題滿分15分）

如圖，己知四邊形ABCD的直角梯形，AD//BC,AD1DC,4）=4,DC=BC=2,

G為線段AD的中點，PG,平面ABC。，PG=2,"為線段AP上一點（M不與端點

重合）.

（1）若=

（i）求證：PC〃平面BMG；

（ii）求平面尸4）與平面所成的銳二面角的余弦值:

14

(2)否存在實數(shù)X滿足AM=AAP，使得直線PB與平面BMG所成的角的正弦值為*,

5

若存在，確定的X值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(i)證明見解析(ii)—(2)存在，4=1

113

【分析】

(1)(i)連接AC交8G于點0,連接OM,CG,依題意易證四邊形A8CG為平行四邊

形，從而有AO=OC，MOPC,由此能證明PC〃平面BMG

(ii)推導(dǎo)出BGLGD，以G為原點建立空間直角坐標系O—wz,利用向量法求解：

(2)設(shè)40=；14P=丸((),22)=(0,22比2(0,1),求出平面BMG的法向量，利用向

量法求解.

【詳解】

(1)(i)證明：連接AC交BG于點0,連接OM,CG,

因為G為線段AD的中點，AT>=4所以AG=』AO=2,

2

因為OC=8C=2,所以AG=BC

因為AO〃8C,所以四邊形ABCG為平行四邊形.

所以AO=OC

乂因為尸M=M4,所以PC

乂因為MOu平面BMG,PCz平面BMG,所以PCP平面BMG.

B

(ii)解：如圖，在平行四邊形8CDG中

因為BGCD,CD1GD.所以BG_LGD

以G為原點建立空間直角坐標系。一型，則G(0,0,0),尸(0,(),2),￡>(0,2,0),

A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),M(0,-l,l)

所以P8=(2,0,—2),=(2,0,0)GM=(0,-1,1)BD=(-2,2,0),=(-2,-1,1)

平面PAD的法向量為n=(1,0,0)，設(shè)平面BMD的法向量為m=(x,y,z),

m-BD=0f—2x+2z=0

則〈，即《cc取x=l,得加=(1,1,3),

m-BM=0[-2x-y+z=0

\m-n\iH

設(shè)平面PAD和平面BMD所成的銳二面角為夕，則cose=jL廣告_V

所以銳二面角的余弦值為巫

11

(2)設(shè)AM=4AP=2(0,2,2)=(0,22,22),2e(0,1)

所以例(0,24—2,2/1),BM=(-2,22-2,2A),BG=(-2,0,0),

設(shè)平面BMG的法向量為p=(a,b,c),則

p-BG=-2a=0

取力=4,得p=(0,九1—4),

p-BM=(2A-2)b+2Ac=Q

因為直線PB與平面BMG所成的角的正弦值為?,

5

2(1_/1)而

所以

網(wǎng)刎-{2-+(1-1)~5

16

解得力

3

所以存在4=」?jié)M足AM=AAP，使得宜線PB與平面BMG所成的角的正弦值為叵

35

【點睛】

此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點是

否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系等知識，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

18.（本小題滿分15分）

己知橢圓「+，=1（〃＞力＞0）的離心率為半，點r26,與在橢圓上

（1）求橢圓的方程；

（2）己短直線y=0x+m與橢交于A、B兩點，點尸的坐標為（20,0）,且物.用=一1，

求實數(shù)m的值.

【答案】（1）—+^-=1；（2）m=-3.

93

【分析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合性質(zhì)〃=〃+/,列出關(guān)于a、b、C的方程組，求出a、b，

即可得橢圓的方程；（2）直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合

條件次?弗=—1列方程求解即可?

【詳解】

c12

（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有二=W,又由設(shè)=勵+。2,

a23

（⑸o1

可得標=3從，由點T2近,與在橢圓上，有"4+R=1，

3a3b~

由此可得/=9,6=3,???橢圓的方程為工+匕=1；

93

（2）設(shè)點A的坐標點8的坐標（赴,％）,

y-y/2x+m

由方程組《爐2,消去y,整理可得7/+60〃次+3機2一9=0,①

—+—=1

由求根公式可得玉+馬=一還”,為々=即［二2，②

由點P的坐標為（2后,0）,可得Q4=（玉—20,yj,P8=（x2-272,%），

故PA.PB=（x—2血）（々+=%%2-2血（2+々）+8+乂％，③

又y+加,必=拒馬+加，二X%=2/%2+工2）+加2，

代入上式可得■PA.PBnBxjW+（及〃2—2及）（玉+x,）+nT+8,

由己知.?弗=-1，以及②，可得30病-9）十舊毛電出立吟.+府+8=

77

整理得相2+6機+9=0，解得加=—3,

這時，①的判別式△=一12加2+252=144>0,故機=一3滿足題目條件，

m=-3.

【點睛】

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求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定關(guān)于a/,c的方程組，解出“力,，從

而寫出橢圓的標準方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方

程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及

弦中點的問題常常用"點差法”解決，往往會更簡單.

19.（本小題滿分15分）

己知數(shù)列｛。,,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列（〃eN*）,4=2,且24，生，34成等差數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛。,,｝的通項公式；

（II）設(shè)仇=log2a“，S“為數(shù)列｛",｝的前〃項和，記+J+/+...+J,證明：

L，T“<2.

【答案】（I）4=2",〃wN*；（II）見解析

【分析】

（I）由4=2,且2%,%,3&成等差數(shù)列，可求得q,從而可得本題答案；

1

（H）化簡求得"，然后求得不，再用裂項相消法求T“，即可得到本題答案.

【詳解】

（I）因為數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列（〃€'*）,6=2,可設(shè)公比為4,q>Q,

又2%,%,3%成等差數(shù)列，

所以2a3=2“+34，即2x2q2=4+3x2q,

解得4=2或q=—g（舍去），則4=。聞”|=2",〃eN"：

n

(II)證明:bn=log,an=log22=n,

1121、

S=-n(n+l),—=-----=2--------,

2Sn〃(〃+1)\nn+1)

.1111c八11111、c八1、

貝=—+—+—+??????+不=2(1—孑+孑一[+...+----77)=2(1一_77)，

S、S2s3Sn223nn+ln+l

因為0<二一<L,所以142(1--]—]<2

n+\2In+1J

即1M7；<2.

【點睛】

本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項相消法求和并