（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（三模））

平面解析幾何小題

一、單選題

1.（浙江省金華市2021屆高三下學(xué)期5月高考仿真模擬試題）設(shè)橢圓

22

C：三+斗=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸,橢圓C上的兩點(diǎn)A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足

ab

FA-FB=0,\FB\<\FA\<2\FB\,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

D.[73-1,1)

【答案】A

【分析】

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸，由橢圓的對(duì)稱性結(jié)合麗?麗=0,得到四邊形AFBU為矩形，設(shè)

\AF'\=n,\AF-\=m,在直角AABF中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到？+"=岑

nmb~

再根據(jù)|EB|4|E4區(qū)2|陽(yáng)|,得到十的范圍，然后利用雙勾函數(shù)的值域得到，的范圍，

然后由求解.

【詳解】所以|4?|=|EF[=2c,

如圖所示:

^|AF'|=n,\AF\=m,

在直角△45F中，m+n=2a,

m2+n2—4c2,得mn—2b2,

匚口、?mn2c2

所以一+—=1-,

nmb

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸:由橢圓的對(duì)稱性可

知，四邊形AEB尸為平行四邊形，

又由|冏W|E4|42]冏，得?=

又麗?麗=0，即必_1尸8,

12c2「5]

所以'+廠K2,-,

所以平行四邊形"3。為矩形，

所以/C2卜「‘力5]'即從「411

所以離心率的取值范圍是

故選：A.

所以黨

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的定義，對(duì)稱性，離心率的范圍的求法以及函數(shù)值域的應(yīng)用，還考查

了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

2.（浙江省金華市東陽(yáng)市2021屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)尸在曲線

>=笠上'0為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角'則。的取值范圍是（）

7171

B.

3'2

【答案】D

【分析】由于e*+4+224,

e

首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率

所以y'e[-6,0），

的取值范圍，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的

關(guān)系求得傾斜角的取值范圍.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知:

tanG1-5/3,0）,

【詳解】

,Y辰-45/3所以[券,萬(wàn)），

因?yàn)?/p>

ex+—+2

e'

故選：D.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)

點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與

解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，

求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題.（4）考查數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

3.（浙江省溫州市普通高中中21屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）設(shè)A（0,〃）,

點(diǎn)5為雙曲線4-小叱。"）的左頂點(diǎn)，線段”交雙曲線一條漸近線于8

3

且滿足cosNOC8=w,則該雙曲線的離心率為（）

A.亞B.73c.|D.45

2

【答案】D

【詳解】會(huì)|BC|=2,

解：A（0,力,現(xiàn)-a,0）,

由余弦定理可得a2=q+?-2x]x]x|,

直線A8的方程為y=3+%,

a

■：拋物線的一條漸近線方程為y=--x,

a

b

y=——x

由，廣，解得了=-g?

b.22

y=—x+b

、a

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及余弦定理和離心率公式，屬于中檔題.

4.（浙江省Z20聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)耳,乃是雙曲線

丫22

（?:二-3=13>0,6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若仍用+|PE|=6a,且"耳心的

ab

最小內(nèi)角為30。，則C的離心率為

A.6B.>/6C.3D.y/3

【答案】D

【詳解】

分析：利用雙曲線的定義和已知條件，即可求得忸制=4°,儼閭=2%進(jìn)而確定三角形

的最小內(nèi)角，再利用余弦定理和離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.

詳解：不妨設(shè)|尸耳|>|尸瑪|,則歸制-|%|=2%

又歸町+|P聞=&,解得|P￡|=4a,|P閭=勿，

則ZPFt尸是△/為名的最小內(nèi)角為3(r,

所以|P用2=歸用2+恒周2-2歸用.舊用COS30。，

所以(2<z)2=(4a)2+(2c)2-2x4“x2cx日，

化簡(jiǎn)得e2-2儡+3=0,解得e=7L故選D.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有

雙曲線的定義，需要利用三角形中大邊對(duì)?大角的結(jié)論確定出最小內(nèi)角，之后利用余弦定

理得到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系式，結(jié)合離心率的式子求得結(jié)果.

5.已知x,yeR,則(》+)，>+卜一()的最小值為()

A.2B.3C.4D.1

【答案】C

【分析】

2

將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直線y=x和曲線上的點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義

X

和點(diǎn)到直線距離公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

可以看作直線y=x和曲線y=-：上的點(diǎn)的距離的平方，

由丫=-：得：/=4>令y'=：=i得：x=土近，則點(diǎn)(在-旬和點(diǎn)卜在旬到直

線y=x的距離的平方即為所求的最小值，

即(x+y『+(x-2］的最小值為當(dāng)士季=4.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式的最值的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將代數(shù)式的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩曲線上

的點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化uI的數(shù)學(xué)思想.

6.已知點(diǎn)P是正方體A8CO-ABGR表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足1%l=2|PB|,設(shè)戶"與

平面ABCD所成的角為。，則。的最大值為()

【答案】A

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由直線與

平面的夾角可得出最值.

【詳解】

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,所在直線分別為x軸，>軸，z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,P(x,y,z),則A(0,2,0),因?yàn)?PAi=2|尸8],

所以J(x-O)2+(y-2)2+(z-O)2=2jx2+y2+z2,即

/+(y+|J+z2若，所以點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)為球心、g為半徑的球與正

方體表面的交線，

即為如圖的EMG，GSF>ENF，要使得PD\與底面ABCD所成的角最大,

則PR與底面ABC。的交點(diǎn)R到點(diǎn)。的距離最短，從而點(diǎn)尸在￡NF上，且在。。上,

則。P=OQ-g=?=g=2,從而tane=g4=l,所以。的最大值為

333DP4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡、直線與平面所成角、空間法向量的應(yīng)用.根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目?/p>

間直角坐標(biāo)系，并求出點(diǎn)尸的軌跡是解答本題的突破口，屬于難度題.

7.“a=b”是“直線y=x+2與圓(x-ay+(y_8)2=2相切，，的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】

試題分析：直線y=x+2與圓(*-4)2+(>-。)2=2相切

二」丁詼駕;聲詩(shī)萋

#腌-虢1

工學(xué)閾=酒或誦,-嬴=-4,故為充分不必要條件，選A.

考點(diǎn)：充分條件；必要條件.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】判斷充分、必要條件時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)要弄清先后順序：“A的充分

不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則

是指A能推出B,且B不能推出A；（2）要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)

命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行，那么可以通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明.

2

8.設(shè)橢圓三+/=而,">0）的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在橢圓上且在第一象限，直線W與圓

3

r+相交于48兩點(diǎn)，若4,8是線段尸尸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則直線尸產(chǎn)的斜率

為（）

A.2+y/iB.2—yfiC.—D.3

【答案】B

【分析】

取A8中點(diǎn)C,可得C也為尸產(chǎn)中點(diǎn)，可得設(shè)|PF|=p,|尸尸'|=q,根據(jù)

p+q=2a=2>j3m,p2+q?=4c?=8m可得pq=2，n,再利用等面積可求點(diǎn)P坐標(biāo)，即

可求出斜率.

【詳解】

取A8中點(diǎn)C,由A,8是線段PF的兩個(gè)三等分點(diǎn)可得C也為尸產(chǎn)中點(diǎn)，

連接0C,則OCLAB,

設(shè)F'為右焦點(diǎn)，"O為FF'中點(diǎn)，；.OC//PF',.?.PFLPF',

設(shè)|尸尸|==4,^a=\/3m,b--/m,:.c=>/2m,

由橢圓定義p+q=2a=2>/3m,

在RIAPFF'中,p?+d=4（?=8m,則可得P4=2MJ,

則SAPFF=；|Pq?|PU|=J亦>0）,

即Jpq=；x2cx%,即帆=后.%，解得力=叵，代入橢圓可得與=叵，

2222

七-0

則直線PF的斜率為f---------=2-6

小心

故選：B.

y

(^)-

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是得出PFLPF,然后利用焦點(diǎn)三角形的相關(guān)性質(zhì)建立關(guān)

系求解.

22

9.過(guò)點(diǎn)M（U）的兩條直線4,/2分別與雙曲線c：￡-方=1（a>1為>1）相交于點(diǎn)A,

C和點(diǎn)8,￡>,滿足麗'=2研，命=2洸（4>0且m）.若直線A3的斜率k=2,

則雙曲線C的離心率是（）

A.y/2B.72+1C.2D.V3

【答案】D

【分析】

設(shè)4%，Y），8。2，%）。工,%），〃（七，乂），由麗7=/1碇，溺=力迷，可得砥8=%=2,

%+占+4當(dāng)+匕）=y+必+"為+%），再利用點(diǎn)差法可得x,+x2=2"-（）'產(chǎn)）,

b

占+匕=2“-（）產(chǎn)）,從而可得2/=從，進(jìn)而可求出離心率

b

【詳解】

解：設(shè)，

則AM=（i—xvl—y}\MC=（Xy—l,y3—1）,BM=（1—%,1—必），用0=（工4—L”—D，

因?yàn)锳M=RWC，BM=AMD,所以A8〃C￡>,所以崎=*=2,

一/玉+=1+2f*2+幾”4=1+義

所以'3.1,）1,1，

|7|+4%=1+41%+為4=1+彳

卜|+々+〃匕+匕）=2。+4）

1'1.V1+>2+"%+）4）=2（1+團(tuán)’

所以％,+馬+"七+Xa）=%+%++M），

2222

因?yàn)?-*=1,與-今=1,

a~h~a~h~

所以0=4.0，所以2=4山，

西一wa-yt+y2a必+必

所以2。2（y+%）一〃5+%）=0,則再+々=2。?+%）

同理得，2a2（出+”）-〃“3+七）=0,貝IJX3+X4=^A

h~

所以2叱；+必）+產(chǎn)2（%+乂）=乂+%+〃為+%），

因?yàn)?＞0且4#1,所以今=1,即2/=人2

所以離心率e=上=、E=、卜+7-=如＞

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，解題的

關(guān)鍵是設(shè)44/），8（々,當(dāng)）（。3，必）,￡＞（匕,以），由次=/1碇，~BM=AMD,可得

kAB=kCD=2'玉+々+/1（芻+巧）=%+必+2（丫3+丫4），再利用點(diǎn)差法可得

士+々=空駕?,4+*4=2/號(hào)乂）,從而可得2a2=從，進(jìn)而可求出離心率，

考查計(jì)算能力，屬于中檔題

10.雙曲線工-片=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

817

A.（O,±3）B.（±3,0）C.（0,±5）D.（±5,0）

【答案】D

【分析】

由題意求出,2=合+從=25,即可確定焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

由題意知，。2=8,從=17,所以C2=/+〃=25,所以C=5,所以該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

為（±5,0）,

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

11.已知直線/過(guò)圓(x-l>+(y-2)2=i的圓心，當(dāng)原點(diǎn)到直線/距離最大時(shí)，直線/的

方程為()

A.y=2B.x-2y-5=0C.x-2y+3=0D.x+2y-5=0

【答案】D

【分析】

由題意結(jié)合圓的方程、直線斜率的知識(shí)可得原點(diǎn)到直線，的距離最大時(shí)，直線/的斜率,

再利用點(diǎn)斜式即可得解.

【詳解】

由題意，圓(x-iy+(y-2)2=l的圓心為A(l,2),設(shè)原點(diǎn)為。,

則當(dāng)直線/與直線A0垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線/的距離最大，

此時(shí)直線AO的斜率為原。=烹=2,

1—0

所以直線/的斜率為&/=-g,

則直線/的方程為y-2=-g(x-1),即x+2y-5=0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，確定原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)直線的斜率是解題的

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知A,B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，AABC為等腰三角形，且頂

角為120',則C的離心率為()

A.B.小C.D.0

22

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程化筒得。=b,即可求出離心率.

【詳解】

由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,

因?yàn)锳/WM為頂角為120"的等腰三角形，所以8W=AB=2a,ZMfiA=12O\

則2MBF=60.所以MF=2a?sin60=6a，BF=2a-cos60=a，

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a,、&),

代入雙曲線方程力>o)得答-3*=1,化簡(jiǎn)得。=匕，

所以雙曲線的離心率e=￡=應(yīng)運(yùn)=人.

aa

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的概念和性質(zhì)、求雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.

x-y<0

13.設(shè)不等式組x+y44表示的平面區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)是平面區(qū)域〃內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

%>1

直線/：>=H彳-2)上存在區(qū)域加內(nèi)的點(diǎn)，則A的取值范圍是().

A.(-00,-3]B.[-L+8)C.[-3,-1]D.(-oo,-l]

【答案】D

【分析】

由題意畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化條件可得k即為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(2,0)連線所在直線

的斜率，結(jié)合直線斜率的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

由題意畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示:

可知直線，：y=%(x-2)恒過(guò)定點(diǎn)A(2,0),且當(dāng)XR2時(shí)，

x-2

所以實(shí)數(shù)2即為可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)(2,0)連線所在直線的斜率，

fx-y=0fx-y=0

由4可得3(2,2),由；可得點(diǎn)

[x+y=4[X=l

則直線A8的斜率不存在，直線AC的斜率為止1=-1,

2-1

所以A4-1,即％的取值范圍是(T?,TL

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃問(wèn)題，考查了直線斜率的應(yīng)用，畫(huà)出可行域、對(duì)已知條件

進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

22

14.已知A,B,C是橢圓=:=+二=1(。＞人＞0)上不同的三點(diǎn)，且原點(diǎn)。是AABC

ab

的重心,若點(diǎn)C的坐標(biāo)為1尊,直線A3的斜率為一直,則橢圓「的離心率為(

I22)3

A.1B.也C.立D.也

3333

【答案】B

【分析】

根據(jù)橢圓的第三定義后C?心B=-4，可求得b的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率;

a

【詳解】

設(shè)A8的中點(diǎn)。，

因?yàn)樵c(diǎn)。是△48C的重心，所以C,O,￡＞三點(diǎn)共線，

所以ko?=k0c,

2

.T,b-_b(右)bb12立

由于噎?無(wú)AB=__2^~r~'\一"丁=__?=—=￡，所以e=F—,

a-J3a13Jaa33

故選：B.

22

15.“m＜3”是“方程上匚+上一=1表示雙曲線”的()

tn+2m-3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】B

【分析】

根據(jù)方程表示雙曲線的充要條件可構(gòu)造不等式求得-2＜?。?,由推出關(guān)系可確定結(jié)果.

【詳解】

22

若」一+工=1表示雙曲線，則(機(jī)+2)(a—3)＜0,解得：-2＜加＜3.

加+2722-3

二機(jī)v3%—2v〃？v3,一2v機(jī)v3=mv3,

＜3”是“方程工+上=1表示雙曲線”的必要不充分條件.

m+2tn-3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到方程表示雙曲線的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

16.如圖，點(diǎn)4,B,C在拋物線y?=4x上，拋物線的焦點(diǎn)廠在A8上，4C與x軸交

于點(diǎn)。，|AF|=|明，AB1BC,則|皿=（）

A.3啦B.4C.2后D.3

【答案】B

【分析】

設(shè)出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，利用直線A8,AC,8c斜率的關(guān)系建立等式即可得解.

【詳解】

依題意設(shè)4寸,2）68（嬉2%）《（赤2月），則直線AB,AC,BC斜率分別為:

2%-2%2

3~一

y-Ky+%

22

因|河=皿，則如+朦=------+------=0,即必+為=-2乂，

212y,

則ksc=------=----,因尸（1,0）在直線AB上,則原B=—一~,而AB_LBC,

有砥鼠“叱=-1，即孕|,（一~^）=T=y；=3,點(diǎn)A在直線x=3上，

MT%

又VAED是等腰三角形，點(diǎn)F,點(diǎn)D關(guān)于直線x=3對(duì)稱，所以點(diǎn)。坐標(biāo)為（5,0）,|F￡>|=4.

故選：B

17.“點(diǎn)⑼在圓/+丁=1外”是“直線"+勿+2=0與圓/+y2=i相交,，的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

求出給定的兩個(gè)命題的充要條件，再分析即可判斷得解.

【詳解】

命題p：點(diǎn),力）在圓V+/=1外等價(jià)于a2+b2>l,

222

命題q：直線以+分+2=0與圓W+V=l相交等價(jià)于^77<1<=>a+b>4,

從而有〃入q，q=p,所以P是4的必要不充分條件.

故選：B

jr

18.已知圓。：/+尸=1上存在點(diǎn)戶，直線/：6-y+4=0上存在點(diǎn)。，使得/尸。。=丁,

O

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.y/3]B.(—oo,—^^]LJ[?^^,+oo)

C.SiD.（-8,-垃］UI點(diǎn)，+O

【答案】B

【分析】

由題意，當(dāng)直線尸。與圓相切時(shí)，NPQO最大，此時(shí)8=2,然后可得圓心到直線的

距離小于或者等于2,即可解出不等式.

【詳解】

y

由題意可得，當(dāng)直線P。與圓相切時(shí)，NPQ。最大，此時(shí)。。=普OP高=2

sin30°

所以要使圓O：X、y2=l上存在點(diǎn)尸，H.線/："7+4=0卜一存在點(diǎn)Q,使得

TT

NPQOj成立

6

4

則有"=J]+K￡2,解得%€(-8,-6]U[6,+8)

故選：B

19.已知橢圓—+y2=Km>1)的離心率為立，則雙曲線上-丁=]的離心率是()

m2m

A.也B.亞C.顯D.-

2322

【答案】C

【分析】

由橢圓的離心率為它求出切，再求雙曲線的離心率.

2

【詳解】

因?yàn)闄E圓工+/=1(,”>1)的離心率為正，

m2

即e=￡=刈夏=變且，解得：m=2.

ciyjm2

所以雙曲線工-丁=1為￡_y2=l,

m2

離心率為0=￡=^^=4=返

ayJmV22

故選：C

【點(diǎn)睛】

求橢圓(雙曲線)離心率的一般思路：

(1)直接求出a、b、c,計(jì)算離心率；

(2)根據(jù)題目的條件，找到a、b、c的關(guān)系，消去6,構(gòu)造離心率e的方程或(不等式)

即可求出離心率.

22

20.已知雙曲線5-與=1(9>0)的漸近線過(guò)點(diǎn)(2a,c),則該雙曲線的離心率為()

ab~

A.石B.辿C.2D.辿

35

【答案】B

【分析】

將點(diǎn)(2a,c)代入雙曲線的漸近線方程即可求得b,c之間的關(guān)系，再根據(jù)在雙曲線中

/+/=c?即可求得a，c之間的關(guān)系，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率.

【詳解】

r2y2h

???二1(“力>0)的漸近線方程為y=±-x,

a-b-a

而點(diǎn)(2o,c)在第一象限，

c=--2?=2/?,

ci

又???/+/=/,解得c2=g",

?,?雙曲線的離心率6=空.

3

故選：B.

21.拋物線y=：/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（2,0）B.（0,2）C.D.（（）,：）

【答案】B

【分析】

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=8y,然后可得答案.

【詳解】

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X?=8y,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的概念，將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程再確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可以避

免出錯(cuò).

22.雙曲線￡-/=］的漸近線方程為（）

4

A.y=±2xB.y=±4xC.y=±^-xD.y=±-x

24

【答案】C

【分析】

由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求出。,b,然后可得漸近線方程.

【詳解】

由已知”=2,。=1,焦點(diǎn)在x軸，漸近線方程為y=士;x.

故選：C.

二、填空題

23.已知拋物線丁=4x,焦點(diǎn)記為F,過(guò)點(diǎn)/作直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則

IAFI-癮的最小值為_(kāi)______.

IBF\

【答案】272-2

【分析】

分直線/斜率存在不存在兩種情況分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程,

由韋達(dá)定理可得A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系，由拋物線定義可得IAFI-焉的表達(dá)式,

轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，求最值即可，當(dāng)斜率不存在時(shí)，由通徑的長(zhǎng)可求解.

【詳解】

因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)=4》，

所以尸（1,0）,

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y=Hx-1）伏*0）,

代入y2=4x可得&42-（222+4）》+&2=0,

設(shè)A（X，X），8（W，%），

則王飛=1.

由拋物線的定義可得|4尸1=占+1,\BF\=x1+\,

92+。（.+1）_2__+々_1+x；_1

所以IAFIBp?%+1-々+]-w+lW+1占+x；[+與二

令占-1=?/21）,則七=7+1,

所以"-高

—1—=———=也里斗=20一2

(當(dāng)且僅當(dāng)￡=應(yīng)時(shí)等號(hào)成立);

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，IA尸|=|B尸|=2,

所以加1-需=1.

2

綜上，IAF|-U77的最小值為2忘-2.

IH卜I

故答案為：26-2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系，在解決與拋物線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要

注意拋物線的定義在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

24.橢圓C：￡+￡=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為*c,0),點(diǎn)p,。在橢圓C上，點(diǎn)

M卜會(huì)oj到直線b的距離為］，且△PQF的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,則橢圓C的離心率0=

【答案】孝

【分析】

設(shè)PQ交友軸于點(diǎn)尸，分析得到點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，再求出|PF|=J|P可=。+邑,

f

再根據(jù)\M品E\=\鬲PF\即得,解A.

【詳解】

由對(duì)稱性可知，IPFROFI,

所以只。關(guān)于x軸對(duì)稱，所以尸。_Lx軸,

設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)F,則IMF'|=%F'(-c,0),

所以點(diǎn)尸是橢圓的左焦點(diǎn),

將x=-c代入橢圓的方程得y=±[,

h2h2c2

所以|尸尸，|=幺,|尸產(chǎn)|=2a——=〃+—,

aaa

過(guò)點(diǎn)M作MELPF,垂足為E,則|ME|=|,

￡左

所以些=9,..二=工"J…立

\MF\\PF\c+￡22

2a

故答案為：丑

2

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入離心率公式即得

解）；（2）方程法（找到離心率e的方程解方程即得解）.要根據(jù)已知艮活選擇方法求解.

25.已知P是圓C：/+y2=l上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為A（f,0）,即+4,3）,其中/eR.

若恰好存在一個(gè)點(diǎn)P,使得PA_L必，貝！lf=.

【答案】-2或-2土加

【分析】

根據(jù)題意得以AB為直徑的圓與圓C相切，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)以AB為直徑的圓為圓。，

:圓C:=1上恰好有一個(gè)點(diǎn)P滿足上4_LPB,

.?.圓Q:(x-(f+2)y+[v-|)=f|j與圓C:/+y2=i相切

故答案為：-2或-2土JF5.

【點(diǎn)睛】

判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般

不采用代數(shù)法.兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.

_r2V2

26.已知A、尸是離心率為2的雙曲線/■-方=1(a>0/>0)的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，記A、

尸到直線取-砂=0的距離分別為4、則牛=_________.

d2

【答案】|

【分析】

d.OA

計(jì)算出c=2a,由此可得出于二右，即可得解.

d2OF

【詳解】

1cd,OAa1

由已知條件可得出e=—=2,則c=2tz,所以，—=-^7r=-=--

aa2OFc2

故答案為：y.

三、雙空題

27.雙曲線C:丁—《=1的漸近線方程為_(kāi)____,設(shè)雙曲線6：W-1=l(a>(U>0)經(jīng)過(guò)

4b~

點(diǎn)(4,1),且與雙曲線C具有相同漸近線，則雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】y=±1^-Z=1

【分析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程，直接求解即可；

⑵設(shè)y2-工="4H0),代入點(diǎn)(4,1)求得2即可.

4

【詳解】

21

⑴雙曲線C：V-工r=1的焦點(diǎn)在y軸上，且。=1,匕=2,故漸近線方程為丫=士;x.

42

故答案為：y=±]X

2

(2)由雙曲線c「與雙曲線C具有相同漸近線，可設(shè)G：/一上=4430),

代入(4,1)有『-￡=4,所以九=_3,故G：/一蘭=_3,化簡(jiǎn)得圣―￡=1.

414123

故答案為：合(=1

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：雙曲線￡-W=i漸近線的方程為?=士苫》；與￡-￡=1共漸近線方程可

a2b2ba2b2

22

設(shè)為二一二=A(A*0).

a~b'

28.若圓。:/+?2+2X-4)，+3=0關(guān)于直線2g+勿+6=0對(duì)稱，則a〃的最小值為

.由點(diǎn)P3力向圓所作兩條切線，切點(diǎn)記為A,8,當(dāng)|A卻取最小值時(shí)，MBP

外接圓的半徑為.

93五

【答案】--—

42

【解析】

分析：首先根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線過(guò)圓心，將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得

到圓心坐標(biāo)，代入直線方程，求得a-萬(wàn)=3,之后將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的關(guān)系式，配方求

得最小值，通過(guò)分析圖形的特征，求得什么情況下是該題所要的結(jié)果，從而得到圓心到

直線的距離即為外接圓的直徑，進(jìn)一步求得其半徑.

詳解：由f+丁+2*一4〉+3=0可得*+1）2+（丫-2）2=2,

因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心(T2)在直線2以+切+6=0上，

即一2?+?+6=0,化筒得。一/?=3,

3aa

則有"=伙3+力="+3姑=(力+孑-3,所以有他的最小值為一:；

244

根據(jù)圖形的特征，可知PC最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的|A8|最小，

而PC最短時(shí)，即為C到直線x-y-3=0的距離,

則小L「弓聲技此時(shí)A,B,P,C四點(diǎn)共圓,

此時(shí)PC即為外接圓的直徑，所以其半徑就是逑.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與圓的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意圓關(guān)于直線對(duì)?稱的條

件，之后應(yīng)用代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析圖

形，得到什么情況下滿足取最值，歸納出外接圓的直徑，從而求得半徑.

r2v2

29.已知橢圓C：3+2=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),其關(guān)于直線y=6的對(duì)稱點(diǎn)。

ab

6

在橢圓上，則離心率=9SAFOQ=.

【答案】也.1

22

【詳解】

分析：設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然

后求解離心率即可.

MW74-1

詳解：設(shè)Q(m,n),由題意可得萬(wàn)="下一(2)

m2n2

b+F=1G

由①②可得：m-1b,n=,4,

\+b21+力

代入③可得(l+摩)J1+Z?)口，

~a^b^~

可得，b=l,a=y/2.

解得e=正.

2

所以Q(0,1)

所以AFO。是等腰宜角三角形，

所以SAf02=gxlxl=g.

故答案為(1)變(2)

22

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和對(duì)稱問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知

識(shí)的轉(zhuǎn)化能力和分析能力.(2)求點(diǎn)A(XQJ關(guān)于直線|：>=米+〃的對(duì)稱點(diǎn)BG，必)時(shí),

由于直線1是AB的垂直平分線,所以只需解方程為一赴即可.

2i±A=jt.Al^+z,

I22

30.雙曲線9/一16了2=-144的離心率等于,其漸近線與圓好+y?-2x+機(jī)=0

相切，則機(jī)=.

【答案】|16

25

【分析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到離心率；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線距

離公式即可得解.

【詳解】

化雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得X-三=1,所以。=3"=4,所以e=￡=J1+

916?V

漸近線的方程為產(chǎn)土九=土。.

h4

I3=J1一m,1￡

化圓的方程為a-l）2+y2=i-，〃，則由《出中解得機(jī)=?.

1-/?>0,

故答案為：g;晟

【點(diǎn)睛】

此題考查求雙曲線離心率，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值，根據(jù)直線與圓相切的

條件求參數(shù)的值時(shí)，通常根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑建立方程進(jìn)行求解.

31.已知雙曲線方程4-衛(wèi)=1,則雙曲線離心率。=________；若該雙曲線的兩漸近線

43

夾角為。，貝hin6=.

【答案】*

【分析