PAGE|初一·數(shù)學·基礎(chǔ)-提高-精英·學生版|第1講第頁共23頁第26頁排列組合教學目標1.使學生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會、分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對排列組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)。知識點撥：加法原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1中不同的方法，在第二類辦法中有M2中不同的方法，……，在第N類辦法中有Mn種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+Mn種不同的方法。乘法原理：如果完成某項任務(wù)，可分為k個步驟，完成第一步有n1種不同的方法，完成第二步有n2種不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ種不同的方法，那么完成此項任務(wù)共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ種不同的方法。兩個原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n類辦法，是分類問題，每一類中的方法都是獨立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來．排列及組合基本公式排列及計算公式從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=EQ\F(n!,(n-m)!)(規(guī)定0!=1).組合及計算公式從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=EQ\F(n!,(n-m)!×m!)一般當遇到m比較大時（常常是m>0.5n時），可用Cmn=Cn-mn來簡化計算。規(guī)定：Cnn=1,C0n=1.n的階乘(n!)——n個不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，…，第k類方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理．加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”．分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法．只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確．運用加法原理解題時，關(guān)鍵是確定分類的標準，然后再針對各類逐一計數(shù)．通俗地說，就是“整體等于局部之和”．三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進行計數(shù)．分類討論的時候經(jīng)常會需要把每一類的情況全部列舉出來，這時的方法就是枚舉法．枚舉的時候要注意順序，這樣才能做到不重不漏．例題精講例題精講一、分類討論中加法原理的應(yīng)用（難度等級※）小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同的紀念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？（難度等級※）有不同的語文書6本，數(shù)學書4本，英語書3本，科學書2本，從中任取一本，共有多少種取法？（難度等級※）陽光小學四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人．從中任意選一人當升旗手，有多少種選法？（難度等級※※）從1～10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？（難度等級※※）從1～8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？（難度等級※※）甲、乙、丙三個工廠共訂300份報紙，每個工廠至少訂了99份，至多101份，問：一共有多少種不同的訂法？（難度等級※※）大林和小林共有小人書不超過9本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種可能的情況？（難度等級※※）四個學生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張．問：一共有多少種不同的方法？(第六屆走美試題)一次，齊王與大將田忌賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等．田忌有________種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽．（難度等級※※）把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種．（難度等級※※）一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況？（難度等級※※※）用100元錢購買2元、4元或8元飯票若干張，沒有剩錢，共有多少不同的買法?（難度等級※※）一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角．小明要在該店花5元5角購買兩種文具，他有多少種不同的選擇．（難度等級※※※）袋中有3個紅球，4個黃球和5個白球，小明從中任意拿出6個球，他拿出球的情況共有________種可能．（2008年北京“數(shù)學解題能力展示”讀者評選活動）（難度等級※※）1、2、3、4四個數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個數(shù)中間，任意插入乘號(最少插一個乘號)，可以得到多少個不同的乘積?（難度等級※※※）1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個?（難度等級※※※）1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個?（難度等級※※※）2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個?（難度等級※※※※）在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如，等等，這類數(shù)共有個.如果一個大于9的整數(shù)，其每個數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱它為迎春數(shù)．那么，小于2008的迎春數(shù)一共有多少個？有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1．問這樣的五位數(shù)共有多少個？模塊二、樹形圖法、標數(shù)法及簡單的遞推一、樹形圖法“樹形圖法”實際上是枚舉的一種，但是它借助于圖形，可以使枚舉過程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然．（難度等級※※※）A、B、C三個小朋友互相傳球，先從A開始發(fā)球(作為第一次傳球)，這樣經(jīng)過了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？(2005年《小數(shù)報》數(shù)學邀請賽)（難度等級※※※）一只青蛙在A，B，C三點之間跳動，若青蛙從A點跳起，跳4次仍回到A點，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？（難度等級※※※）甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止．問：一共有多少種可能的情況？二、標數(shù)法適用于最短路線問題，需要一步一步標出所有相關(guān)點的線路數(shù)量，最終得到到達終點的方法總數(shù)．標數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合．（難度等級※※）如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線？（難度等級※※）如圖，從點到點的最近路線有多少條？（難度等級※※）如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的處沿最短的路線走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過，那么共有＿＿＿＿種不同走法．（難度等級※※※）如圖所示，從A點到B點，如果要求經(jīng)過C點或D點的最近路線有多少條？如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過十字路口，但不經(jīng)過走到的不同的最短路線有條.

圖1 圖2

小王在一年中去少年宮學習56次，如圖所示，小王家在點，他去少年宮都是走最近的路，且每次去時所走的路線正好互不相同，那么少年宮在________點處．（難度等級※※※）在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？（難度等級※※※）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？（難度等級※※※）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少種？（難度等級※※※）如下表，請讀出“我們學習好玩的數(shù)學”這9個字，要求你選擇的9個字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學習好玩的數(shù)學”的讀法．我們學習好們學習好玩學習好玩的習好玩的數(shù)好玩的數(shù)學（難度等級※※※）如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方向走），一共有多少種不同的走法？（難度等級※※※）如下表，請讀出“我們學習好玩的數(shù)學”這9個字，要求你選擇的9個字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學習好玩的數(shù)學”的讀法．我們學習好們學習好玩學習好玩的習好玩的數(shù)好玩的數(shù)學（難度等級※※※）在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？【鞏固】如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國明天更美好”，那么可讀成“祖國明天更美好”的路線有條.圖2【鞏固】(第三屆“希望杯”2試試題)右圖中的“我愛希望杯”有______種不同的讀法.如圖所示，科學家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“Einstein”，按圖中箭頭所示方向有種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”.

（難度等級※※※）圖中有10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼走到小號碼，從1號房間走到10號房間共有多少種不同的走法？（難度等級※※※）國際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于○位置的“馬”只能走到標有×的方格中，類似于中國象棋中的“馬走日”．如果“馬”在的國際象棋棋盤中位于第一行第二列（圖中標有△的位置），要走到第八行第五列（圖中標有＠的位置），最短路線有________條．【2008年北京“數(shù)學解題能力展示”讀者評選活動】（難度等級※※※）從北京出發(fā)有到達東京、莫斯科、巴黎和悉尼的航線，其他城市間的航線如圖所示(虛線表示在地球背面的航線)，則從北京出發(fā)沿航線到達其他所有城市各一次的所有不同路線有多少？一個實心立方體的每個面分成了四部分．如圖所示，從頂點出發(fā)，可找出沿圖中相連的線段一步步到達頂點的各種路徑．若要求每步沿路徑的運動都更加靠近，則從到的各種路徑的數(shù)目為幾？三、簡單遞推：斐波那契數(shù)列的應(yīng)用對于某些難以發(fā)現(xiàn)其一般情形的計數(shù)問題，可以找出其相鄰數(shù)之間的遞歸關(guān)系，有了這一遞歸關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面的數(shù)，這種方法稱為遞推法．（難度等級※※※）一樓梯共10級，規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，要登上第10級，共有多少種不同走法？（難度等級※※※）1×2的小長方形(橫的豎的都行)覆蓋2×10的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法．（難度等級※※※）如下圖，一只蜜蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只能從一個蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準逆行，共有多少種回家的方法？【鞏固】小蜜蜂通過蜂巢房間，規(guī)定只能由小號房間進入大號房間問小蜜蜂由房間到達房間有多少種方法？每對小兔子在出生后一個月就長成大兔子，而每對大兔子每個月能生出一對小兔子來．如果一個人在一月份買了一對小兔子，那么十二月份的時候他共有多少對兔子？樹木生長的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息”時間供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝．一棵樹苗在一年后長出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則依次“休息”．這在生物學上稱為“魯?shù)戮S格定律”．那么十年后這棵樹上有多少條樹枝？對一個自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1，如此進行直到得數(shù)為1操作停止．問經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個？一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學們上課，首先得從家出發(fā)到長寧上8點的課，然后得趕到黃埔去上下午1點半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數(shù)，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費很多的時間了．這個時候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成n個必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法．那么完成這件事情一共有A×B×……×N種不同的方法．結(jié)合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5×2個可選擇的路線了，即10條．三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個必要步驟；2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字有多少種染色方法；3、地圖的染色問題——同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊問題——比如說6個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；5、數(shù)碼問題——就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個數(shù)字，然后排個幾為數(shù)的偶數(shù)，有多少種排法．例題精講例題精講郵遞員投遞郵件由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條，那么郵遞員從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？如下圖所示，從A地去B地有5種走法，從B地去C地有3種走法，那么李明從A地經(jīng)B地去C地有多少種不同的走法？如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學校，要求任何地點不得重復(fù)經(jīng)過．問：他最多有幾種不同走法？在下圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只螞蟻要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只螞蟻最多有幾種不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個信號，那么這四面小旗子可組成

種不同的信號。按下表給出的詞造句，每句必須包括一個人、一個交通工具，以及一個目的地，請問可以造出多少個不同的句子？小琴、小惠、小梅三人報名參加運動會的跳繩，跳高和短跑這三個項目的比賽，每人參加一項，報名的情況有______種。題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張試卷．問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？文藝活動小組有3名男生，4名女生，從男、女生中各選1人做領(lǐng)唱，有多少種選法？要從四年級六個班中評選出學習、體育、衛(wèi)生先進集體，有多少種不同的評選結(jié)果？小丸子有許多套服裝，帽子的數(shù)量為5頂、上衣有10件，褲子有8條，還有皮鞋6雙，每次出行要從幾種服裝中各取一個搭配．問：共可組成多少種不同的搭配(帽子可以選擇戴與不戴)？已知圖3是一個軸對稱圖形，若將圖中某些黑色的圖形去掉后，得到一些新的圖形，則其中軸對稱圖形共有（）個。（A）9（B）8（C）7（D）6從四年級六個班中評選出學習、體育、衛(wèi)生先進集體，如果要求同一個班級只能得到一個先進集體，那么一共有多少種評選方法？奧運吉祥物中的5個“福娃”取“北京歡迎您”的諧音：貝貝、京京、歡歡、迎迎、妮妮。如果在盒子中從左向右放5個不同的“福娃”，那么，有________種不同的放法。從全班20人中選出3名學生排隊，一共有多少種排法？五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？10個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？12個人圍成一圈，從中選出3個人，其中恰有兩個人相鄰，共有種不同的選法?！皵?shù)學”這個詞的英文單詞是“MATH”．用紅、黃、藍、綠、紫五種顏色去分別給字母染色，每個字母染的顏色都不一樣．這些顏色一共可以染出多少種不同搭配方式？“IMO”是國際數(shù)學奧林匹克的縮寫，把這3個字母用3種不同顏色來寫，現(xiàn)有5種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？“學習改變命運”這六個字要用6種不同顏色來寫，現(xiàn)只有6種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？有6種不同顏色的筆，來寫“學習改變命運”這六個字，要求相鄰字的顏色不能相同，有多少種不同的方法？用5種不同顏色的筆來寫“智康教育”這幾個字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法？聯(lián)歡會上有一則數(shù)字謎語，謎底是一個八位數(shù)?，F(xiàn)已猜出：□54□7□39，主持人提示：“這個無重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中，最小的數(shù)是2。”要猜出這個謎語，最多還要猜次。在右面每個方格中各放1枚圍棋子(黑子或白子)，有（）種放法．將1～6分別填入圖中的6個方框內(nèi)，使得同一行中左邊的數(shù)比右邊的小，同一列中上邊的數(shù)比下邊的小，共有______種不同的填法．將19枚棋子放入的方格網(wǎng)內(nèi)，每個方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)個，那么共有________種不同的放法．知識要點知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的．那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決．還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法．要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決．二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積．⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步．加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”．乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．例題精講例題精講一、簡單加乘原理綜合應(yīng)用商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味．小明想買一些糖送給他的小朋友．⑴如果小明只買一種糖，他有幾種選法？⑵如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，他有幾種選法？（2級）從北京到廣州可以選擇直達的飛機和火車，也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機和火車兩種交通方式外還有汽車．問，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？（2級）從學而思學校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學而思學校到張老師家有3條路可走，那么從學而思學校到張老師家共有多少種走法？（2級）如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請問從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級）王老師從重慶到南京，他可以乘飛機、汽車直接到達，也可以先到武漢，再由武漢到南京．他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機，如圖．那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢？（2級）如下圖，八面體有12條棱，6個頂點．一只螞蟻從頂點出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過每一個頂點一次．問共有多少種不同的走法？（6級）如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學書、5本不同的外語書中選取2本不同學科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？（4級）某條鐵路線上，包括起點和終點在內(nèi)原來共有7個車站，現(xiàn)在新增了3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？（6級）某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成．現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會．從7人中挑選4人完成這項工作，共有多少種方法？（6級）某信號兵用紅，黃，藍，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個位置表示信號．每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號．一共可以表示出多少種不同的信號？（6級）五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？（6級）五種顏色不同的信號旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？（6級）（6級）(2008年清華附中考題)小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰先勝頭兩局誰贏，如果沒有勝頭兩局，誰先勝三局誰贏．共有種可能的情況．（6級）（2009年“數(shù)學解題能力展示”中年級復(fù)賽試題）過年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個孩子每人一件．其中姐姐的兒子小強想從智力拼圖和遙控汽車中選一個，朋友的女兒小玉想從學習機和遙控汽車中選一件．那么，媽媽送出這5件禮物共有種方法．（6級）有3所學校共訂300份中國少年報，每所學校訂了至少98份，至多102份．問：一共有多少種不同的訂法？（6級）玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍三種顏色給每節(jié)涂色．這家廠共可生產(chǎn)________種顏色不同的玩具棒．（8級）奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨特，他們文字的每個單詞都由個字母、、、、組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，⑴字母不打頭，⑵單詞中每個字母后邊必然著字母，⑶和不會出現(xiàn)在同一個字母之中，那么由四個字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？（8級）從6名運動員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級）二、加乘原理與數(shù)字問題由數(shù)字1，2，3可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？（4級）由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級）用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個小于1000的自然數(shù)？（6級）用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以組成多少個小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級）用0～9這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（6級）用0，1，2，3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（6級）在2000到2999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？（6級）在1000至1999這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個?（6級）某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9．為確保打開保險柜至少要試多少次？（6級）從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個?（6級）從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個?（6級）從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個?（6級）由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第個．【2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽】（8級）從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少種不同的乘積？（6級）自然數(shù)8336，8545，8782有一些共同特征，每個數(shù)都是以8開頭的四位數(shù)，且每個數(shù)中恰好有兩個數(shù)字相同．這樣的數(shù)共有多少個？（6級）在1000到1999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？（6級）如果一個三位數(shù)滿足，，那么把這個三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個數(shù)．（8級）用數(shù)字1，2組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個？（6級）七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60，這樣的七位數(shù)一共有多少個？（6級）從自然數(shù)1~40中任意選取兩個數(shù)，使得所選取的兩個數(shù)的和能被4整除，有多少種取法？（6級）（6級）在1~10這10個自然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？（6級）（6級）（6級）（6級）1到60這60個自然數(shù)中，選取兩個數(shù)，使它們的乘積是被5除余2的偶數(shù)，問，一共有多少種選法？（6級）一個自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”．例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個?其中的第1996個數(shù)是多少?（6級）如圖，將1，2，3，4，5分別填入圖中的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大．共有種不同的填法．【走進美妙數(shù)學花園少年數(shù)學邀請賽】（6級）在如圖所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五個數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大．共有種不同的填法．（6級）從1～12中選出7個自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，那么一共有種選法．（6級）從到這個自然數(shù)中有個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除．（6級）【鞏固】從10到4999這4990個自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個？（6級）【鞏固】從1到3998這3998個自然數(shù)中，又多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？（6級）（2001年第十屆日本小學數(shù)學奧林匹克決賽）表中第1行是把的整數(shù)依次全部排列出來，然后從第2行起是根據(jù)規(guī)律一直排到最后的第100行.請問：這個表中一共有多少個數(shù)能被77整除？有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（6級）有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？（6級）有兩個骰子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點．隨意擲這兩個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級）有三個骰子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點．隨意擲這三個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級）3個骰子擲出的點數(shù)和中，哪個數(shù)最有可能？（6級）有一種用12位數(shù)表示時間的方法：前兩位表示分，三四位表示時，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年．凡不足數(shù)時，前面補0．按照這種方法，2002年2月20日2點20分可以表示為200220022002．這個數(shù)的特點是：它是一個12位的反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相同的自然數(shù)，稱為反序數(shù)．例如171，23032等是反序數(shù)．而28與82不相同，所以28，82都不是反序數(shù)．問：從公元1000年到2002年12月，共有多少個這樣的時刻？（6級）假如電子計時器所顯示的十個數(shù)字是“0126093028”這樣一串數(shù)，它表示的是1月26日9時30分28秒．在這串數(shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)．如果在電子計時器所顯示的這串數(shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，稱它所表示的時刻為“十全時”，那么2003年一共有多少個這樣的“十全時”？（6級）三、加乘原理與圖論地圖上有A，B，C，D四個國家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級）如果有紅、黃、藍、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級）如右圖，有A、B、C、D、E五個區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個區(qū)域不同色，每個區(qū)域染一色．有多少種不同的染色方式？（6級）如右圖，有A，B，C，D四個區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個區(qū)域染一色．有多少種染色方法？（6級）用四種顏色對右圖的五個字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：共有多少種不同的染色方法?（6級）分別用五種顏色中的某一種對下圖的，，，，，六個區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：有多少種不同的染法？（8級）將圖中的○分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個相鄰○涂不同的顏色，共有多少種不同涂法？（6級）直線a，b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形？（6級）直線a，b上分別有4個點和2個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形？（4級）直線a，b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個四邊形？（4級）三條平行線上分別有2，4，3個點(下圖)，已知在不同直線上的任意三個點都不共線．問：以這些點為頂點可以畫出多少個不同的三角形？（6級）5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為頂點能構(gòu)成幾個三角形？（6級）（6級）在一個圓周上均勻分布10個點，以這些點為頂點，可以畫出多少不同的鈍角三角形？(補充知識：由直徑和圓周上的一點構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，其中直徑的邊所對的角是直角，所以如果圓周上三點在同一段半圓周上，則這三點構(gòu)成鈍角三角形)．（6級）從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)填在下圖的六個圓圈內(nèi)，使在任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是不能被3整除的奇數(shù)，那么最多能找出種不同的挑法來．(六個數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種)【第九屆北京市“迎春杯”決賽第二題第8題】（6級）用紅、橙、黃、綠、藍5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面體各個面上，一個面不能用兩色，也無一個面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？（6級）用紅、黃、藍三種顏色對一個正方體進行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍、綠四種顏色對正方體進行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去染又有多少種？(注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn))（6級）【鞏固】用6種不同的顏色來涂正方體的六個面，使得不同的面涂上不同的顏色一共有多少種涂色的方法？(將正方體任意旋轉(zhuǎn)之后仍然不同的涂色方法才被認為是相同的)（6級）教學目標教學目標1.使學生正確理解排列的意義；2.了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3.掌握排列的計算公式；4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等．知識要點知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)．從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘．二、排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€不同元素中取個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．例題精講例題精講一、排列的基本應(yīng)用計算：⑴；⑵．（2級）（難度等級※）計算：⑴；⑵．（2級）（難度等級※）計算：⑴；⑵．（2級）有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？(照相時3人站成一排)（4級）4名同學到照相館照相．他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？（4級）9名同學站成兩排照相，前排4人，后排5人，共有多少種站法？（4級）5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？（4級）丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家?！?，人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少種不同的站法？（4級）一列往返于北京和上海方向的列車全程停靠個車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種不同的車票．（4級）班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員．問：有多少種不同的分工方式？（4級）有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？（4級）有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多少種不同的信號？（4級）在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？（4級）用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（4級）由數(shù)字、、、、、可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2級）用、、、、可以組成多少個沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（4級）用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？（2級）用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？（4級）由，，，，，組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？（4級）用、、、、這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？（4級）用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（4級）用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？（4級）由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列．2008排在個．（6級）千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2（大減小)，且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個?（4級）某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？（6級）幼兒園里的名小朋友去坐把不同的椅子，有多少種坐法？（4級）幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法？（4級）10個人走進只有輛不同顏色碰碰車的游樂場，每輛碰碰車必須且只能坐一個人，那么共有多少種不同的坐法？（4級）一個籃球隊有五名隊員，，，，，由于某種原因，不能做中鋒，而其余個人可以分配到五個位置的任何一個上，問一共有多少種不同的站位方法？（4級）小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?（4級）一種電子表在6時24分30秒時的顯示為::，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?（6級）二、捆綁法在排列問題中，有時候會要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當作一個整體捆綁在一起進行計算．4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？（4級）4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法？（4級）將A、B、C、D、E、F、G七位同學在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰．請問共有多少種不同的排列方法？（2007年臺灣第十一屆小學數(shù)學世界邀請賽）（4級）【鞏固】6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？（6級）某小組有12個同學，其中男少先隊員有3人，女少先隊員有人，全組同學站成一排，要求女少先隊員都排一起，而男少先隊員不排在一起，這樣的排法有多少種？（6級）學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生．某次比賽后他們站成一排照相，請問：（1）如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？（6級）書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？（6級）四年級三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動．整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成．請問：如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場順序？（4級）停車站劃出一排個停車位置，今有輛不同的車需要停放，若要求剩余的個空車位連在一起，一共有多少種不同的停車方案?（4級）a，b，c，d，e五個人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法？（4級）8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？（6級）三、排列的綜合應(yīng)用甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間必須有兩個人，問一共有多少種站法？（6級）甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間最多有兩個人，問一共有多少種站法？（6級）甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲不能站在隊伍左半邊，乙不能站在隊伍右半邊，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？（6級）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人站隊，要求：甲不能站在隊伍最靠左的三個位置，乙不能站在隊伍最靠右的三個位置，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？（6級）名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．（6級）小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排．（6級）已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？（6級）書架上有本故事書，本作文選和本漫畫書，全部豎起來排成一排．⑴如果同類的書不分開，一共有多少種排法？⑵如果同類的書可以分開，一共有多種排法？（6級）一共有赤、橙、黃、綠、青、藍、紫七種顏色的燈各一盞，按照下列條件把燈串成一串，有多少種不同的串法？⑴把盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排在第七位．⑵串起其中盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四位．（4級）某市的電視臺有八個節(jié)目準備分兩天播出，每天播出四個，其中某動畫片和某新聞播報必須在第一天播出，一場體育比賽必須在第二天播出，那么一共有多少種不同的播放節(jié)目方案？（4級）從名運動員中選出人參加接力賽．試求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6級）一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求：（6級）⑴當個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？（6級）用排成四位數(shù)：（6級）（1）共有多少個四位數(shù)？（2）無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（3）無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個？（4）2在3的左邊的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（5）2在千位上的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（6）5不在十位、個位上的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)．（6級）⑴能組成多少個五位數(shù)？⑵能組成多少個正整數(shù)？⑶能組成多少個六位奇數(shù)？⑷能組成我少個能被整除的四位數(shù)？⑸能組成多少個比大的數(shù)？⑹求三位數(shù)的和．由0，2，5，6，7，8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)．（6級）⑴四位數(shù)有多少個？⑵四位數(shù)奇數(shù)有多少個？⑶四位數(shù)偶數(shù)有多少個？⑷整數(shù)有多少個？⑸是5的倍數(shù)的三位數(shù)有多少個？⑹是25的倍數(shù)的四位數(shù)有多少個？⑺大于5860的四位數(shù)有多少個？⑻小于5860的四位數(shù)有多少個？⑼由小到大排列的四位數(shù)中，5607是第幾個數(shù)？⑽由小到大排列的四位數(shù)中，第128個數(shù)是多少？⑴從1，2，…，8中任取3個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）（6級）⑵從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？現(xiàn)有男同學3人，女同學4人(女同學中有一人叫王紅)，從中選出男女同學各2人，分別參加數(shù)學、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：（6級）(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學的選法有多少種?(3)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學的選法有多少種?教學目標教學目標1.使學生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．知識要點知識要點一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個公式就是組合數(shù)公式．二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個公式的直觀意義是：表示從個元素中取出個元素組成一組的所有分組方法．表示從個元素中取出()個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個元素中選出個元素的分組方法恰是從個元素中選個元素剩下的()個元素的分組方法．例如，從人中選人開會的方法和從人中選出人不去開會的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．例題精講例題精講一、組合及其應(yīng)用計算：⑴，；⑵，．（2級）計算：⑴；⑵；⑶．（2級）計算：⑴；⑵；⑶．（2級）6個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？（2級）某班畢業(yè)生中有名同學相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會大家一共握了多少次手？（2級）（難度等級※※）學校開設(shè)門任意選修課，要求每個學生從中選學門，共有多少種不同的選法？（4級）某校舉行排球單循環(huán)賽，有個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？（2級）芳草地小學舉行足球單循環(huán)賽，有個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？（2級）一批象棋棋手進行循環(huán)賽，每人都與其他所有的人賽一場，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進行78場，那么共有多少人參加循環(huán)賽？（4級）某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？（4級）從分別寫有、、、、的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數(shù)的乘法題，問：⑴有多少個不同的乘積？有多少個不同的乘法算式？（6級）9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個數(shù)字中劃去7個數(shù)字，一共有多少種方法？（4級）從分別寫有、、、、、、、的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數(shù)的加法題，有多少種不同的和？（4級）在中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？（6級）從、、……、、這個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？（6級）一個盒子裝有個編號依次為，，，，的球，從中摸出個球，使它們的編號之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？（6級）用2個1，2個2，2個3可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用個，個，個可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？（6級）從，，，，中任取三個數(shù)字，從，，，中任取兩個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個數(shù)？（6級）從、、、、、、這七個數(shù)字中，任取3個組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？（這里每個數(shù)字只允許用次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）．（2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽五年級）（4級）用2個1，2個2，2個3可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用2個0，2個1，2個2可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？（6級）【鞏固】用兩個3，一個2，一個1，可以組成多少個不重復(fù)的4位數(shù)？（6級）工廠某日生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中有2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件進行檢查，問：（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少種？（6級）200件產(chǎn)品中有5件是次品，現(xiàn)從中任意抽取4件，按下列條件，各有多少種不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6級）在一個圓周上有個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的：直線段；⑵三角形；⑶四邊形．（6級）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（4級）在正七邊形中，以七邊形的三個頂點為頂點的三角形共有多少個？（4級）平面內(nèi)有個點，其中點共線，此外再無三點共線．

⑴可確定多少個三角形？⑵可確定多少條射線？（6級）如圖，問：⑴圖中，共有多少條線段？

⑵圖中，共有多少個角？（4級）圖圖某班要在名同學中選出名同學去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在人中選人站成一排，有多少種站法？（6級）學校新修建的一條道路上有盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？（6級）將三盤同樣的紅花和四盤同樣的黃花擺放成一排，要求三盤紅花互不相鄰，共有__________種不同的方法．（2007年“希望杯”第一試）（4級）在一次合唱比賽中，有身高互不相同的8個人要站成兩排，每排4個人，且前后對齊．而且第二排的每個人都要比他身前的那個人高，這樣才不會被擋?。还灿卸嗌俜N不同的排隊方法？（4級）在一次考試的選做題部分，要求在第一題的個小題中選做個小題，在第二題的個小題中選做個小題，在第三題的個小題中選做個小題，有多少種不同的選法？（6級）某年級個班的數(shù)學課，分配給甲、乙、丙三名數(shù)學老師任教，每人教兩個班，分派的方法有多少種？（6級）(2007年“迎春杯”高年級初賽)將19枚棋子放入的方格網(wǎng)內(nèi)，每個方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)個，那么共有________種不同的放法．（4級）甲射擊員在練習射擊，前方有三種不同類型的氣球，共3串，有一串是紅氣球3個，有一串是黃氣球2個，有一串是綠氣球4個，而且每次射擊必須射最下面的氣球，問有多少種不同的射法？（6級）有8個隊參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式．問在比賽前抽簽時，可以得到多少種實質(zhì)不同的比賽安排表？（6級）某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？（6級）有藍色旗面，黃色旗面，紅色旗面．這些旗的模樣、大小都相同．現(xiàn)在把這些旗掛在一個旗桿上做成各種信號，如果按掛旗的面數(shù)及從上到下顏色的順序區(qū)分信號，那么利用這些旗能表示多少種不同信號?（4級）從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人．（6級）從名男生，名女生中選出名代表．

⑴不同的選法共有多少種？

⑵“至少有一名女生”的不同選法共有多少種？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同選法共有多少種？（6級）在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生．（8級）在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？（8級）有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？（8級）某旅社有導游人，其中人只會英語，人只會日語，其余個既會英語又會日語．現(xiàn)要從中選人，其中人做英語導游，另外人做日語導游．則不同的選擇方法有多少種？（8級）二、排除法對于某些有特殊要求的計數(shù)，當限制條件較多時，可以先計算所有可能的情況，再從中排除掉那些不符合要求的情況．如圖所示，在半圓弧及其直徑上共有9個點，以這些點為頂點可畫出多少個三角形？（6級）如圖，正方形的邊界上共有7個點、、、、、、、其中、、分別在邊、、上．以這7個點中的4個點為頂點組成的不同的四邊形的個數(shù)是_____個．(小學數(shù)學奧林匹克決賽)（6級）圖中正方形的四邊共有8個點，其中任意4點不在一條直線上，那么可組成多少個四邊形？（4級）如圖，有個點，取不同的三個點就可以組合一個三角形，問總共可以組成＿＿＿＿個三角形．（4級）在的所有自然數(shù)中，百位數(shù)與個位數(shù)不相同的自然數(shù)有多少個？（4級）1到1999的自然數(shù)中，有多少個與5678相加時，至少發(fā)生一次進位？（6級）所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進位的數(shù)有多少個？（6級）【鞏固】從1到2004這2004個正整數(shù)中，共有幾個數(shù)與四位數(shù)8866相加時，至少發(fā)生一次進位？（6級）在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個6的偶數(shù)有多少個？（6級）由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，百位不是2的奇數(shù)有個．（6級）從三個0、四個1，五個2中挑選出五個數(shù)字，能組成多少個不同的五位數(shù)？（6級）個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？（6級）一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停．在一樓有3人進了電梯，其中至少有一個要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？（6級）8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？（6級）若一個自然數(shù)中至少有兩個數(shù)字，且每個數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱這個數(shù)是“上升的”．問一共有多少“上升的”自然數(shù)？（6級）6人同時被邀請參加一項活動．必須有人去，去幾個人自行決定，共有多少種不同的去法？（6級）由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個．(2007年“迎春杯”高年級組決賽)（6級）5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為頂點能構(gòu)成幾個三角形？(構(gòu)成的三角形的邊不一定在這5條直線上)（8級）正方體的頂點(8個)，各邊的中點(12個)，各面的中心(6個)，正方體的中心(1個)，共27個點，以這27個點中的其中3點一共能構(gòu)成多少個三角形？（6級）用A、B、C、D、E、F六種染料去染圖中的兩個調(diào)色盤，要求每個調(diào)色盤里的六種顏色不能相同，且相鄰四種顏色在兩個調(diào)色盤里不能重復(fù)，那么共有多少種不同的染色方案（旋轉(zhuǎn)算不同的方法）（6級）有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？（4級）【鞏固】小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？（6級）（6級）【鞏固】（2009年十三分小升初入學測試題）把5件相同的禮物全部分給3個小朋友，要使每個小朋友都分到禮物，則分禮物的不同方法一共有種．（6級）【鞏固】把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙3個人，每人至少1支，問有多少種方法？（6級）【鞏固】學校合唱團要從個班中補充名同學，每個班至少名，共有多少種抽調(diào)方法？（6級）10只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有的盤子空著．請問一共有多少種不同的放法？（6級）把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？（6級）如果把20支鉛筆，分給甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少種不同的分法？（6級）【鞏固】三所學校組織一次聯(lián)歡晚會，共演出14個節(jié)目，如果每校至少演出3個節(jié)目，那么這三所學校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？（6級）(1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法?(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?（6級）【鞏固】（難度等級※※※※）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？（6級）馬路上有編號為，，，…，的十只路燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？（6級）在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？（6級）【鞏固】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個？（6級）兔媽媽摘了15個相同的磨菇，分裝在3個相同的筐子里，如果不允許有空筐，共有多少種不同的裝法？如果分裝在3個不同的筐子里，不允許有空筐，又有多少種不同的裝法？（8級）例題精講：排列組合的應(yīng)用小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？用、、、、這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24：30，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11整除的六位數(shù)?已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求：⑴當個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？⑴從1，2，…，8中任取3個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？現(xiàn)有男同學3人，女同學4人(女同學中有一人叫王紅)，從中選出男女同學各2人，分別參加數(shù)學、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學的選法有多少種?(3)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學的選法有多少種?某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生。在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作．