湖南省湘西州三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-解答題

一.實數(shù)的運算（共3小題）

1.（2022?湘西州）計算:V16-2tan45°+|-3|+（ir-2022）0,

2.（2021?湘西州）計算：（-2）0-V8-I-5|+4sin45°.

3.（2020?湘西州）計算：2cos45°+（K-2020）°+|2-V2I.

二.分式的混合運算（共1小題）

4.（2020?湘西州）化簡：（招2--4-1）

a2-l

三.一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

5.（2020?湘西州）某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因突然

暴發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴

大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達到24200個.

（1）求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產(chǎn)量為多少？

四.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

6.（2022?湘西州）為了傳承雷鋒精神，某中學向全校師生發(fā)起“獻愛心”募捐活動，準備

向西部山區(qū)學校捐贈籃球、足球兩種體育用品.已知籃球的單價為每個100元，足球的

單價為每個80元.

（1）原計劃募捐5600元，全部用于購買籃球和足球，如果恰好能夠購買籃球和足球共

60個，那么籃球和足球各買多少個？

（2）在捐款活動中，由于師生的捐款積極性高漲，實際收到捐款共6890元，若購買籃

球和足球共80個，且支出不超過6890元，那么籃球最多能買多少個？

五.解一元一次不等式組（共2小題）

7.（2022?湘西州）解不等式組：［3x46+x①

Ix-l43（x+1）②

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

（I）解不等式①，得.

（II）解不等式②，得.

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

-4-3-2-10234

(IV)所以原不等式組的解集為.

’3(x-1)>x①

8.(2021?湘西州)解不等式組：|、x-3-，并在數(shù)軸上表示它的解集.

l-2x>號②

IIIII1111II.

-5-4-3-2-1012345

六.一次函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

9.(2021?湘西州)2020年以來，新冠肺炎的蔓延促使世界各國在線教育用戶規(guī)模不斷增

大.網(wǎng)絡(luò)教師小李抓住時機，開始組建團隊，制作面向A、B兩個不同需求學生群體的微

課視頻.已知制作3個A類微課和5個B類微課需要4600元成本，制作5個A類微課

和10個B類微課需要8500元成本.李老師又把做好的微課出售給某視頻播放網(wǎng)站，每

個A類微課售價1500元，每個8類微課售價1000元.該團隊每天可以制作1個4類微

課或者1.5個B類微課，且團隊每月制作的B類微課數(shù)不少于A類微課數(shù)的2倍(注：

每月制作的A、8兩類微課的個數(shù)均為整數(shù)).假設(shè)團隊每月有22天制作微課，其中制作

A類微課。天，制作A、B兩類微課的月利潤為卬元.

(1)求團隊制作一個A類微課和一個B類微課的成本分別是多少元？

(2)求卬與。之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出a的取值范圍；

(3)每月制作A類微課多少個時，該團隊月利潤卬最大，最大利潤是多少元？

七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共1小題)

10.(2022?湘西州)如圖，一次函數(shù)y=ar+l(a#0)的圖象與x軸交于點A,與反比例函

數(shù)y=K的圖象在第一象限交于點8(1,3),過點B作8CJ_x軸于點C

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)求△ABC的面積.

八.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

11.(2022?湘西州)定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍

成的封閉曲線稱為“月牙線”,如圖①，拋物線Ci：y=/+2x-3與拋物線C2：y=aj?+2ax+c

組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線。和拋物線C2與x軸有著相同的交點A(-3,

0)、B(點2在點A右側(cè))，與y軸的交點分別為G、H(0,-1).

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標.

(2)點M是x軸下方拋物線Ci上的點，過點“作施7，》軸于點N,交拋物線C2于點

D,求線段MN與線段。M的長度的比值.

(3)如圖②，點E是點”關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,在x軸上是否存在點

F,使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請

說明理由.

12.(2021?湘西州)如圖，已知拋物線y=o?+bx+4經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點，交

y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接8C,求直線8c的解析式；

(3)請在拋物線的對稱軸上找一點P,使AP+PC的值最小，求點尸的坐標，并求出此

時AP+PC的最小值；

(4)點/為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使得以4、C、M、N四點為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

13.（2020?湘西州）已知直線），=丘-2與拋物線y=7-Zzx+c（〃，c為常數(shù)，*>0）的一個

交點為A（-1,0）,點MCm,0）是x軸正半軸上的動點.

（1）當直線y=Ax-2與拋物線y=/-bx+c（b,c為常數(shù)，b>Q）的另一個交點為該拋

物線的頂點E時，求鼠尻c?的值及拋物線頂點E的坐標；

（2）在（1）的條件下，設(shè)該拋物線與y軸的交點為C,若點。在拋物線上，且點。的

橫坐標為b,當S^EQM=^S^ACE時，求m的值；

（3）點。在拋物線上，且點。的橫坐標為〃+工，當&AM+2QM的最小值為空反時，

24

求6的值.

九.矩形的性質(zhì)（共1小題）

14.（2022?湘西州）如圖，在矩形4BCZ）中，E為4B的中點，連接CE并延長，交D4的

延長線于點F.

（1）求證：△AEMABEC.

一十.正方形的性質(zhì)（共1小題）

15.（2020?湘西州）如圖，在正方形ABCC的外側(cè)，作等邊三角形ADE,連接BE,CE.

（1）求證：AB/IE^ACDE；

（2）求NAEB的度數(shù).

一十一.四邊形綜合題（共1小題）

16.（2020?湘西州）問題背景：如圖1,在四邊形4BCD中，/B4￡>=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,NA8C=l20°,NMBN=60°,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交A。、

DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小李同學探究此問題的方法是：延長尸C到G,使CG=AE,連接BG,先證明aBCG絲

△BAE,再證明△BFG絲△BFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形A8C3中，ZBAD=90°,NBCO=90°,BA=BC,Z

ABC=2/MBN,NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、DC于E、F,上述結(jié)論是否

仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；

探究延伸2：如圖3,在四邊形A3CD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,NABC=2

NMBN,NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、OC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成

立？并說明理由；

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處.艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令

后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以

100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、尸處.且

指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此時兩艦艇之間的距離.

一十二.切線的性質(zhì)（共1小題）

17.(2021?湘西州)如圖，AB為。。的直徑，C為OO上一點，AO和過點C的切線互相

垂直，垂足為D

(1)求證：AC平分NZMB；

(2)若AO=8,tanNCAB=3,求：邊AC及AB的長.

一十三.切線的判定與性質(zhì)(共1小題)

18.(2020?湘西州)如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，BC交。。于點E.

(1)若。為AC的中點，證明：OE是00的切線；

(2)若C4=6,CE=3.6,求。0的半徑。4的長.

一十四.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(共1小題)

19.(2021?湘西州)如圖，在△ABC中，點。在A8邊上，CB=CD,將邊CA繞點C旋轉(zhuǎn)

到CE的位置，使得/ECA=/Z)C8,連接OE與AC交于點/，且/B=70°,/A=10°.

(1)求證：AB=ED；

(2)求NAFE的度數(shù).

一十五.解直角三角形(共1小題)

20.（2022?湘西州）如圖，在Rt/XABC中，NB=90°,AE平分NBAC交BC于點E,O

為AC上一點，經(jīng)過點A、E的。。分別交A8、AC于點￡）、F,連接。。交AE于點

（1）求證：8c是。。的切線.

(2)若Cr=2,sinC=A,求AE的長.

5

一十六.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

21.（2021?湘西州）有詩云：東山雨霽畫屏開，風卷松聲入耳來.一座樓閣鎮(zhèn)四方，團結(jié)一

心建家鄉(xiāng).1987年為慶祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公園內(nèi)修建了

一座三層樓高的“一心閣”民族團結(jié)樓閣.芙蓉學校數(shù)學實踐活動小組為測量“一心閣”

C”的高度，在樓前的平地上A處，觀測到樓頂C處的仰角為30°,在平地上B處觀測

到樓頂C處的仰角為45°,并測得A、8兩處相距20〃?，求“一心閣”C”的高度.（結(jié)

果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1.73）

一十七.頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）

22.（2020?湘西州）為加強安全教育，某校開展了“防溺水”安全知識競賽，想了解七年級

學生對“防溺水”安全知識的掌握情況，現(xiàn)從七年級學生中隨機抽取50名學生進行競賽,

并將他們的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析.部分信息如下：

a.七年級參賽學生成績頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成五組：50Wx<60,60<x<70,70W

x<80,80Wx<90,90WxW100）如圖所示

b.七年級參賽學生成績在70Wx<80這一組的具體得分是：7071737576

767677777879

.七年級參賽學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七76.9m80

”.七年級參賽學生甲的競賽成績得分為79分.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）在這次測試中，七年級在75分以上（含75分）的有人；

（2）表中m的值為;

（3）在這次測試中，七年級參賽學生甲的競賽成績得分排名年級第名；

（4）該校七年級學生有500人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)

76.9分的人數(shù).

一十八.扇形統(tǒng)計圖（共1小題）

23.（2022?湘西州）4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活

力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣”.某校響應(yīng)號召，開展了“讀紅色經(jīng)典，傳

革命精神”為主題的讀書活動，學校對本校學生五月份閱讀該主題相關(guān)書籍的讀書量進

行了隨機抽樣調(diào)查，并對所有隨機抽取的學生的讀書量（單位：本）進行了統(tǒng)計.根據(jù)

調(diào)查結(jié)果，繪制了不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.

（1）本次調(diào)查共抽取學生多少人？

（2）表中〃的值為,扇形統(tǒng)計圖中“3本”部分所對應(yīng)的圓心角p的度數(shù)

為.

（3）已知該校有3000名學生，請估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的學生

人數(shù).

讀書量1本2本3本4本5本

人數(shù)10人25人30人15人

一十九.條形統(tǒng)計圖（共1小題）

24.（2021?湘西州）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，光明中學籌劃舉行朗誦、合唱等一系

列校園主題慶祝活動（活動代號如下表），要求每位學生自主選擇參加其中一個活動項

目.為此，學校從全體學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查.根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，繪

制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（部分信息未給出）.

（1）該校此次調(diào)查共抽取了名學生；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖（畫圖后標注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）；

（3）若該校共有2000名學生，請根據(jù)此次調(diào)查結(jié)果，估計該校有多少名學生參加舞蹈

活動.

活動名稱朗誦合唱舞蹈繪畫征文

活動代號ABCDE

活動代號

湖南省湘西州三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

實數(shù)的運算（共3小題）

1.（2022?湘西州）計算：A/16-2tan45°+|-3|+（it-2022）°.

【解答］解:原式=4-2X1+3+1

=4-2+3+1

=6.

2.（2021?湘西州）計算：（-2）0-V8-I-5|+4sin45°.

【解答】解：原式=1-2&-5+4X亞=1-272-5+272=-4.

2

3.（2020?湘西州）計算：2cos45°+（n-2020）°+|2-721.

【解答】解：原式=2*近+1+2_亞

=V2+l+2-V2

=3.

二.分式的混合運算（共1小題）

4.（2020?湘西州）化簡：

2

a-1a-l

22

【解答】解：原式=（招--三二1）一叁__

a-la-1（a+1）（a-1）

=1?（a+1）（a-1）

a-l2a

=a+1

~2T'

三.一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

5.（2020?湘西州）某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因突然

暴發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴

大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達到24200個.

（1）求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產(chǎn)量為多少？

【解答】解：（1）設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意，得

20000（1+x）2=24200

解得xi=-2.1（舍去），%2=0.1=10%,

答：口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%.

（2）24200（1+0.1）=26620（個）.

答：預計4月份平均日產(chǎn)量為26620個.

四.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

6.（2022?湘西州）為了傳承雷鋒精神，某中學向全校師生發(fā)起“獻愛心”募捐活動，準備

向西部山區(qū)學校捐贈籃球、足球兩種體育用品.已知籃球的單價為每個100元，足球的

單價為每個80元.

（1）原計劃募捐5600元，全部用于購買籃球和足球，如果恰好能夠購買籃球和足球共

60個，那么籃球和足球各買多少個？

（2）在捐款活動中，由于師生的捐款積極性高漲，實際收到捐款共6890元，若購買籃

球和足球共80個，且支出不超過6890元，那么籃球最多能買多少個？

【解答】解：（1）設(shè)原計劃籃球買x個，則足球買y個，

根據(jù)題意得：（、切也，

I100x+80y=5600

解得：卜=40.

ly=20

答：原計劃籃球買40個，則足球買20個.

（2）設(shè)籃球能買a個，則足球（80-a）個，

根據(jù)題意得：1004+80（80-a）W6890,

解得：aW24.5,

答：籃球最多能買24個.

五.解一元一次不等式組（共2小題）

7.（2022?湘西州）解不等式組：［3x<6+x①

Ix-l43（x+1）②

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

（I）解不等式①，得后3.

（II）解不等式②，得在-2.

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

-4-3-2-101234

（IV）所以原不等式組的解集為-2WxW3.

【解答】解：科<f+x①

\x-l43(x+1)②

(I)解不等式①，得后3,

(II)解不等式②，得x2-2,

(III)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:

(IV)所以原不等式組的解集為-2<xW3,

故答案為：(I)啟3；

(II)-2；

(III)數(shù)軸表示見解答；

(IV)-2Wx<3.

?______??_____?_______?______??A

-4-3-2-101234

’3(x-1)〉x①

8.(2021?湘西州)解不等式組：|、x-3-，并在數(shù)軸上表示它的解集.

l-2x>^?②

III111IIIII.

-5-4-3-2-1012345

【解答】解：解不等式①，得

2

解不等式②，得xWl,

在數(shù)軸上表示不等式的解集為：

--------------111LI-I「1L-L---------->

-5-4-3-2-10132345

2,

所以不等式組無解.

六.一次函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

9.(2021?湘西州)2020年以來，新冠肺炎的蔓延促使世界各國在線教育用戶規(guī)模不斷增

大.網(wǎng)絡(luò)教師小李抓住時機，開始組建團隊，制作面向A、B兩個不同需求學生群體的微

課視頻.已知制作3個A類微課和5個B類微課需要4600元成本，制作5個A類微課

和10個B類微課需要8500元成本.李老師又把做好的微課出售給某視頻播放網(wǎng)站，每

個A類微課售價1500元，每個B類微課售價1000元.該團隊每天可以制作1個A類微

課或者1.5個B類微課，且團隊每月制作的8類微課數(shù)不少于A類微課數(shù)的2倍(注：

每月制作的A、8兩類微課的個數(shù)均為整數(shù)).假設(shè)團隊每月有22天制作微課，其中制作

A類微課。天，制作A、B兩類微課的月利潤為卬元.

(1)求團隊制作一個A類微課和一個B類微課的成本分別是多少元？

(2)求w與。之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出”的取值范圍；

(3)每月制作A類微課多少個時，該團隊月利潤卬最大，最大利潤是多少元？

【解答】解：(1)設(shè)團隊制作一個A類微課的成本為x元，制作一個B類微課的成本為

y元，根據(jù)題意得：

r3x+5y=4600

|5x+10y=8500，

解得卜=700,

]y=500

答:團隊制作一個A類微課的成本為700元，制作一個B類微課的成本為500元；

(2)由題意,得卬=(1500-700)a+(1000-500)X1.5(22-a)=50a+16500；

1.5(22-a)22a,

解得aW也,

7

又；每月制作的4、8兩類微課的個數(shù)均為整數(shù)，

二。的值為0,2,4,6,8.

(3)由(2)得w=50a+16500,

V50>0,

；.卬隨a的增大而增大，

.?.當a=8時，w有最大值，w最大=50X8+16500=16900(元).

答：每月制作4類微課8個時，該團隊月利潤w最大，最大利潤是16900元.

七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共1小題)

10.(2022?湘西州)如圖，一次函數(shù)y=ar+l(aWO)的圖象與x軸交于點A,與反比例函

數(shù)y=K的圖象在第一象限交于點B(1,3),過點B作BC_Lx軸于點C.

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)求△A8C的面積.

【解答】解：(1)?一次函數(shù)y=ox+l(aWO)的圖象經(jīng)過點B(1,3),

.?.4+1=3,

**?n=2.

一次函數(shù)的解析式為y=2x+],

?反比例函數(shù))，=K的圖象經(jīng)過點8(1,3),

X

?》=1X3=3,

...反比例函數(shù)的解析式為y=l.

X

(2)令y=0,則2x+l=O,

.".x=-A.

2

AA(-A,0).

2

：.OA=k.

2

：8C_Lx軸于點C,B(1,3),

：.OC=1,BC=3.

AC=-^-+1——.

22

，△A8C的面積=[XAC?BC=9.

24

A.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

11.(2022?湘西州)定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍

1

成的封閉曲線稱為“月牙線”,如圖①，拋物線C\：y=x+2x-3與拋物線C2：y=a^+2ax+c

組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線Ci和拋物線C2與x軸有著相同的交點A(-3,

0)、B(點B在點A右側(cè))，與y軸的交點分別為G、H(0,-1).

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標.

(2)點M是x軸下方拋物線Ci上的點，過點M作軸于點N,交拋物線C2于點

D,求線段MN與線段。M的長度的比值.

(3)如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,在x軸上是否存在點

F,使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請

說明理由.

.\9a-6a+c=0

Ic=-l

解得《三，

c=-l

.?.y=_kx2+&-1,

33

在丁=7+21-3中，令x=0,則y=-3,

：.G(0,-3)；

(2)設(shè)M(Z,尸+2-3),貝IjD(t,A/2+.2/-1),N(60),

33

：.NM=-z2-2f+3,DM=^+^t-1-(?+2z-3)=--A/+2,

3333

...則=《2+253)一包

DI-4(t2+2t-3)2

(3)存在點凡使得是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由(1)可得y^+2x-3的對稱軸為直線x=-1,

點與H點關(guān)于對稱軸x=-1對稱，

：.E(-2,-1),

設(shè)尸(x,0),

①當EG=E尸時,

,:G(0,-3),

AEG=272，

2近=V(X+2)2+1'

解得x=W-2或x=-V7-2,

：.F(V7-2,0)或(-V7-2,0)；

②當EG=FG時，2&=Jg+x2,

此時x無解；

綜上所述：F點坐標為(曲-2,0)或(-五-2,0).

12.(2021?湘西州)如圖，已知拋物線＞=012+云+4經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點，交

y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接BC,求直線8c的解析式；

(3)請在拋物線的對稱軸上找一點尸，使AP+PC的值最小，求點P的坐標，并求出此

時AP+PC的最小值；

(4)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A、C、M.N四點為

備用圖

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(4,0)代入＞=/+^+4,得到fa-b+4=0,

I16a+4b+4=0

解得卜=T,

lb=3

.??y=-/+3x+4；

(2)在y=-/+3x+4中，令x=0,貝Uy=4,

：.C(0,4),

設(shè)BC的解析式為y=kx+b,

*：B(4,0),C(0,4),

.(b=4

14k+b=0，

?fk=-l

,lb=4T

?,?直線BC的解析式為y=-x+4.

3對稱,

2

連接8c交直線x=3于點P,連接以，此時以+PC的值最小，最小值為線段BC的長

2

=V42+42=4V2,

此時p(2,5).

22

(4)如圖2中，存在.

觀察圖象可知，滿足條件的點N的縱坐標為4或-4,

對于拋物線y=-/+3x+4,當y=4時，x2-3x=0,解得x=0或3,

:.N\（3,4）.

當y=-4時，x2-3%-8=0,解得工=2±341,

2

:.N[-4）,Na（3-741,-4）,

22__

綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（3,4）或（亞叵，-4）或（昱恒，-4）.

22

13.（2020?湘西州）已知直線2與拋物線了=/-fer+c（〃，c為常數(shù)，b>0）的一個

交點為A（-1,0）,點M（根，0）是x軸正半軸上的動點.

（1）當直線y=Ax-2與拋物線y=7-bx+c（/?,c為常數(shù)，b>0）的另一個交點為該拋

物線的頂點E時，求攵，4c的值及拋物線頂點E的坐標；

（2）在（1）的條件下，設(shè)該拋物線與y軸的交點為C若點。在拋物線上，且點。的

橫坐標為b,當SAEQM=^S^ACE時，求機的值；

（3）點。在拋物線上，且點D的橫坐標為b+1,當J5AM+2O例的最小值為生反時，

24

求b的值.

【解答】解：（1）二?直線-2與拋物線y=f-Z?x+c（b,c為常數(shù),b>0）的一個

交點為A（-1,0）,

-k-2=0,l+b+c=0,

:?k=_2,c=-b-\f

：.直線y=kx-2的解析式為y=-2x-2,

2

???拋物線y=/-bx+c的頂點坐標為E（上，4c-b）,

24

：.E（2-4b-4-b2）,

24

?.?直線y=-2x-2與拋物線y=/-6x+c（6,c為常數(shù)，Z>>0）的另一個交點為該拋物

線的頂點E,

2

A-4b-4-b^,2XA-2,

42

解得，b=2,或8=-2（舍），

當b=2時,c=-3,

：.E(1,-4),

故左=-2,b=2,c=-3,E(1,-4)；

(2)由(1)知，直線的解析式為y=-2x-2,拋物線的解析式為y=7-2x-3,

：.C(0,-3),Q(2,-3),

如圖1,設(shè)直線y=-2x-2與y軸交點為M則N(0,-2),

圖1

:.CN=\,

SAACE=SAACN+SAECN4X1X1+2X1X1=1'

.1

,,SAEQMV

設(shè)直線EQ與x軸的交點為。，顯然點M不能與點。重合,

設(shè)直線EQ的解析式為y=dx+n（dWO）,

則(2d*3,

Id+n=-4

解得，(d=l,

ln=-5

直線EQ的解析式為y=x-5,

：.D(5,0),

：.S^EQM=SAEDM-SADM=1X|-4|-yDMX|-3|=yDM-y|5-m|*

0乙DM乙乙乙乙

解得，777=4,或加=6；

(3)?.?點。(加工，”))在拋物線y=7-fev-1上，

2

A21

yD=(b-^)-b(b-*y)-b-l=--|-

可知點。(加工，工工)在第四象限，且在直線x=b的右側(cè)，

224

vV2AM+2DM=2(^AM+DM)-

二可取點N(0,1),則NO4V=45°,

2

則此時點"滿足題意，

過。作。軸于點H,則點“(。+2，0),

2

在中，可知NOM/7=NM￡)H=45°,

：.DH=MH,DM=?MH,

?點M(m,0),

AO-（上?口=（b+」）-m,

242

解得，=--A,

24

VV2AM+2DM=-^T^-）

4

,?V2[e―）-（-1）]+242[（b-ty）-]=?，?'

解得，6=3,

此時，相=31=?>0,符合題意，

244

：.b=3.

九.矩形的性質(zhì)（共1小題）

14.（2022?湘西州）如圖，在矩形ABC。中，E為4B的中點，連接CE并延長，交D4的

延長線于點F.

（1）求證：AAEF會ABEC.

（2）若CZ）=4,ZF=30°,求CF的長.

【解答】（1）證明：四邊形ABC。是矩形,

：.AD//BC,

：.NF=NBCE,

YE是A8中點，

；.AE=EB,

NAEF=ABEC,

：./\AEF^/\BEC(.AAS)；

(2)解：..?四邊形43C￡>是矩形,

AZD=90°,

VCD=4,ZF=30°,

.?.CF=2C￡>=2X4=8,

即CF的長為8.

一十.正方形的性質(zhì)（共1小題）

15.(2020?湘西州)如圖，在正方形ABCO的外側(cè)，作等邊三角形ADE,連接BE,CE.

(1)求證：ABAE冬ACDE；

(2)求NAEB的度數(shù).

【解答】(1)證明：???△AOE為等邊三角形，

：.AD=AE=DE,ZEAD=ZEDA=60°,

???四邊形A8C。為正方形，

：.AB=AD=CD,NBA￡)=NCD4=90°,

.../E4B=/E￡)C=150°,

在△BAE和△?>￡：中

rAB=DC

■ZEAB=ZEDC>

AE=DE

/.ABAEVACDE(SAS)；

(2)'：AB=AD,AD=AE,

：.AB=AE,

：.NABE=NAEB,

,.?/E4B=150°,

，NAEB=-1(180°-150°)=15°.

2

一十一.四邊形綜合題(共1小題)

16.(2020?湘西州)問題背景：如圖1,在四邊形ABC。中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,ZABC=120°,NMBN=60°,NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交A。、

￡>C于E、F.探究圖中線段AE,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

小李同學探究此問題的方法是：延長尸C到G,使CG=AE,連接8G,先證明ABCG四

△BAE,再證明△BFG四△BFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是EF=AE+CF;

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABCO中，NBA￡>=90°,ZfiCD=90°,BA=BC,Z

ABC=2NMBN,/MBN繞B點、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、0c于E、F,上述結(jié)論是否

仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由;

探究延伸2：如圖3,在四邊形48co中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=\SO°,NABC=2

ZMBN,/MBN繞B點、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、OC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成

立？并說明理由；

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的A處.艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令

后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以

100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、尸處.且

指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此時兩艦艇之間的距離.

【解答】解：問題背景：

如圖1,延長尸C到G,使CG=AE,連接8G,先證明△BCGgABAE,再證明48尸G

生△BFE,可得出結(jié)論：EF=AE+CF；

故答案為：EF=AE+CF；

探究延伸1：

上述結(jié)論仍然成立，即EF=AE+CF,理由如下:

如圖2,延長FC到G,使CG=AE,連接3G,

VCG=AE,N8CG=/A=90°,BC=BA,

」.△BCG絲△BAE(SAS),

：.BG=BE,/ABE=NCBG,

NABC=2NEBF,

：.NABE+NCBF=NEBF,

艮|JZCBG+ZCBF=NEBF,

：?NGBF=NEBF,

又.；BF=BF,

：./\BFG^/\BFE(SAS),

:.GF=EF,

BPGC+CF=EF,

：.AE+CF=EF

J可得出結(jié)論：EF=AE+CF；

上述結(jié)論仍然成立，即Er=AE'+CE理由：

如圖3,延長OC到“，使得C〃=AE,連接8”,

VZBAD+ZBCD=180°,ZBCH+ZBCD=180°,

???/BCH=NBAE,

?；BA=BC,CH=AE,

：./\BCH^/\BAE(SAS),

:,BE=HB,ZABE=ZHBC,

：.NHBE=/ABC,

又?:NABC=2NMBN,

:.NEBF=NHBF,

,：BF=BF,

.?.△HBF注AEBF(SAS'),

：.EF=HF=HC+CF=AE+CF；

實際應(yīng)用：

如圖4,連接EF,延長BF交AE的延長線于G,

圖4

因為艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30°的A處.艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B

處，所以/AOB=140°,

因為指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70。，所以NEOF=70°,所以408=2

AEOF.

依題意得，0A=08,ZA=60°,Zfi=120°,所以NA+NB=180°,

因此本題的實際的應(yīng)用可轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學問題：

在四邊形G4O8中，OA=O8,ZA+ZB=180°,NAOB=2NEOF,/EOF的兩邊分別

交AG,BG于E,F,求E尸的長.

根據(jù)探究延伸2的結(jié)論可得：EF=AE+BF,

根據(jù)題意得，AE=75X1.2=90（海里），BF=100義1.2=120（海里），

所以EF=90+120=210（海里）.

答：此時兩艦艇之間的距離為210海里.

一十二.切線的性質(zhì)（共1小題）

17.（2021?湘西州）如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，A。和過點C的切線互相

垂直，垂足為￡>.

（1）求證：AC平分ND4B；

(2)若AQ=8,tan/C48=3,求：邊AC及AB的長.

4

【解答】(1)證明：連接0C,如圖，

,.?C￡)為。。的切線，

二OCLCD,

'."ADLCD,

：.OC//AD,

二ZDAC^ZOCA,

"：OA=OC,

：.AOAC=AOCA,

：.ZDAC^ZOAC,

，AC平分/D4B；

(2)解：連接BC,如圖，

'：ZDAC=ZOAC,

tanZDAC=tanZCAB=—,

4

在Rt^ZMC中，"：tanZDAC=^-=^-,

AD4

.*.CD=AX8=6,

4

*',AC=VCD2+AD2=:,\/62+82=10,

'：AB為直徑，

AZACB=90°,

...tanNCAB=坨=旦，

AC4

：.BC=^-X10=至，

42

一十三.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

18.（2020?湘西州）如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，BC交。。于點E.

（1）若。為AC的中點，證明：OE是00的切線；

（2）若C4=6,CE=3.6,求。。的半徑。4的長.

【解答】（1）證明：連接AE,OE,

「AB是。。的直徑，且E在。。上,

/.ZAEB=90°,

/.ZAEC=90a,

?.?。為AC的中點,

：.AD=DE,

：.ZDAE=ZAED,

：AC是。。的切線，

/.ZCAE+ZEAO=^ZCAB=90°,

?：OA=OE,

：.ZOAE^ZOEA,

：.ZDEA+ZOEA=90°，

即N￡>EO=90°,

是。。的切線；

(2)解：：/AEC=NC4B=90°,NC=NC,

，△4ECS/\8AC,

???A-C二EC,

BCAC

\'CA=6,CE=3.6,

?■?63.6,

BC6

.?.2C=10,

,.,/CAB=90°,

.,.AB2+AC2=BC2,

-'-AB-,\/102-62—8,

：.OA=4,

即00的半徑OA的長是4.

一十四.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(共1小題)

19.(2021?湘西州)如圖，在aABC中，點。在A8邊上，CB=CD,將邊C4繞點C旋轉(zhuǎn)

到CE的位置，使得NEC4=NOC8,連接￡>￡與AC交于點F,且NB=70°,NA=10°.

(1)求證：AB=ED-,

(2)求/AFE的度數(shù).

ZECA+ZACD^ZDCB+ZACD,

即NECO=NBC4,

由旋轉(zhuǎn)可得CA=CE,

在ABCA和△QCE中，

'CB=CD

■ZBCA=ZDCE-

AC=EC

:.△BC2XDCE(SAS).

：.AB=ED.

(2)由(1)中結(jié)論可得NCDE=NB=70°,

又CB=CD,

:.NB=NCDB=10°,

AZ￡DA=180°-ZBDE=180°-70°X2=40°,

AZAFE=ZEDA+ZA=400+10°=50°.

一十五.解直角三角形(共1小題)

20.(2022?湘西州)如圖，在RtZXABC中，ZB=90",AE平分NBAC交BC于點E,O

為AC上一點，經(jīng)過點A、E的。。分別交48、AC于點。、F,連接OO交AE于點

(1)求證：BC是的切線.

(2)若Cr=2,sinC=3,求AE的長.

5

方法一：平分NBAC交BC于點E,

ZBAC=2