第第頁§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式考試要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2.掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α﹣απ﹣αeq\f(π,2)﹣αeq\f(π,2)＋α正弦sinα﹣sinα﹣sinαsinαcosαcosα余弦cosα﹣cosαcosα﹣cosαsinα﹣sinα正切tanαtanα﹣tanα﹣tanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限常用結(jié)論同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形sin2α＝1﹣cos2α＝(1＋cosα)(1﹣cosα)；cos2α＝1﹣sin2α＝(1＋sinα)(1﹣sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝﹣sinα成立的條件是α為銳角．(×)(4)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝eq\f(1,3)，則cosα＝﹣eq\f(1,3).(√)教材改編題1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，則cosα的值為．答案﹣eq\f(2\r(5),5)解析∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，α是第二象限角，∴cosα＝﹣eq\r(1－sin2α)＝﹣eq\f(2\r(5),5).2．已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝﹣5，那么tanα的值為．答案﹣eq\f(23,16)解析由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝﹣5，知cosα≠0，等式左邊分子、分母同時(shí)除以cosα，可得eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝﹣5，解得tanα＝﹣eq\f(23,16).3．化簡(jiǎn)eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α﹣π)·cos(2π﹣α)的結(jié)果為．答案﹣sin2α解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·(﹣sinα)·cosα＝﹣sin2α.題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系例1(1)已知cosα＝﹣eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝﹣eq\f(5,13)<0且cosα≠﹣1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝﹣eq\f(12,5).此時(shí)13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，則sinα＝﹣eq\r(1－cos2α)＝﹣eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝﹣eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，此時(shí)，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.綜上，13sinα＋5tanα＝0.(2)已知tanα＝eq\f(1,2)，則eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.答案﹣eq\f(5,3)eq\f(13,5)解析已知tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝﹣eq\f(5,3).sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(13,5).(3)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，則tanθ＝.答案﹣eq\f(12,5)解析由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝﹣eq\f(60,169)，因?yàn)棣取?0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ﹣cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(17,13)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(7,13)，,sinθ－cosθ＝\f(17,13)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(12,13)，,cosθ＝－\f(5,13)，))所以tanθ＝﹣eq\f(12,5).教師備選1．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α等于()A.eq\f(3,5) B．﹣eq\f(3,5)C．﹣3 D．3答案A解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).2．若α∈(0，π)，sin(π﹣α)＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，則sinα﹣cosα的值為()A.eq\f(\r(2),3) B．﹣eq\f(\r(2),3)C.eq\f(4,3) D．﹣eq\f(4,3)答案C解析由誘導(dǎo)公式得sin(π﹣α)＋cosα＝sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(2,9)，則2sinαcosα＝﹣eq\f(7,9)<0，因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα>0，所以cosα<0，所以sinα﹣cosα>0，因?yàn)?sinα﹣cosα)2＝1﹣2sinαcosα＝eq\f(16,9)，所以sinα﹣cosα＝eq\f(4,3).思維升華(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα﹣cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1﹣cos2α，cos2α＝1﹣sin2α.跟蹤訓(xùn)練1(1)若tanθ＝﹣2，則eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)等于()A．﹣eq\f(6,5)B．﹣eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(6,5)答案C解析方法一因?yàn)閠anθ＝﹣2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(2,\r(5))，,cosθ＝－\f(1,\r(5))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(2,\r(5))，,cosθ＝\f(1,\r(5))，))所以eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθsinθ＋cosθ2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝eq\f(4,5)﹣eq\f(2,5)＝eq\f(2,5).方法二(弦化切法)因?yàn)閠anθ＝﹣2，所以eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθsinθ＋cosθ2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).(2)已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝﹣eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為．答案﹣eq\f(\r(10),5)解析由tanα＝﹣eq\f(1,3)，得sinα＝﹣eq\f(1,3)cosα，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα<0，所以cosα＝﹣eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝﹣eq\f(\r(10),5).題型二誘導(dǎo)公式例2(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值為()A.eq\f(2\r(2),3) B．﹣eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．﹣eq\f(1,3)答案D解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝﹣sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝﹣eq\f(1,3).延伸探究本例(1)改為已知θ是第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝.答案eq\f(3,4)解析∵θ是第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，∴θ＋eq\f(π,4)為第二象限角，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝﹣eq\f(3,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))),cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))))＝eq\f(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝eq\f(3,4).(2)eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πsin－π－α)的值為()A．﹣2B．﹣1C．1D．2答案B解析原式＝eq\f(－tanα·cosα·－cosα,cosπ＋α·[－sinπ＋α])＝eq\f(tanα·cos2α,－cosα·sinα)＝﹣eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝﹣1.教師備選1．已知函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P，且角α的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)P，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于()A.eq\f(2,3) B．﹣eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．﹣eq\f(3,2)答案B解析易知函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P(2,3)，故tanα＝eq\f(3,2)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinα)＝eq\f(－sinαcosα＋2sinαcosα,－sinαsinα)＝﹣eq\f(cosα,sinα)＝﹣eq\f(1,tanα)＝﹣eq\f(2,3).2．若sinx＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，則cosx·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))等于()A.eq\f(3,10) B．﹣eq\f(3,10)C.eq\f(3,4) D．﹣eq\f(3,4)答案A解析易知sinx＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝﹣3cosx，所以tanx＝﹣3，所以cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝﹣sinxcosx＝eq\f(－sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(－tanx,tan2x＋1)＝eq\f(3,10).思維升華(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟任意負(fù)角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式),\s\do4(三或一))任意正角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式一))0～2π內(nèi)的角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式二),\s\do4(或四或五或六))銳角三角函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°﹣α)＋sin(15°﹣α)＝.答案0解析因?yàn)?105°﹣α)＋(75°＋α)＝180°，(15°﹣α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°﹣α)＝cos[180°﹣(75°＋α)]＝﹣cos(75°＋α)＝﹣eq\f(1,3)，sin(15°﹣α)＝sin[90°﹣(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝eq\f(1,3).所以cos(105°﹣α)＋sin(15°﹣α)＝﹣eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝0.(2)設(shè)tan(5π＋α)＝2，則eq\f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝.答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tanα＝2，eq\f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq\f(sinπ＋α＋cosπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝3.題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3已知f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α＝﹣eq\f(31π,3)，求f(α)的值；(3)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．解(1)f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α)＝eq\f(－sinα×cosα×－cosα,－cosα×sinα)＝﹣cosα.(2)若α＝﹣eq\f(31π,3)，則f(α)＝﹣coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝﹣cos

eq\f(π,3)＝﹣eq\f(1,2).(3)由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq\f(1,5)，可得sinα＝﹣eq\f(1,5)，因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＝﹣eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝﹣cosα＝eq\f(2\r(6),5).教師備選設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)．(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α＝﹣eq\f(23π,6)，求f(α)的值．解(1)f(α)＝eq\f(－2sinα·－cosα－－cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα2sinα＋1,sinα2sinα＋1)＝eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,tanα).(2)當(dāng)α＝﹣eq\f(23π,6)時(shí)，f(α)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan

\f(π,6))＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3).思維升華(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知α為銳角，且2tan(π﹣α)﹣3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)﹣1＝0，則sinα的值是()A.eq\f(3\r(5),5)B.eq\f(3\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0.))消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡(jiǎn)得sin2α＝eq\f(9,10)，則sinα＝eq\f(3\r(10),10)(α為銳角)．(2)已知﹣π<x<0，sin(π＋x)﹣cosx＝﹣eq\f(1,5)，則eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝.答案﹣eq\f(24,175)解析由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝﹣eq\f(24,25).∴(sinx﹣cosx)2＝1﹣2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由﹣π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝﹣eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx﹣cosx<0，故sinx﹣cosx＝﹣eq\f(7,5).∴eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝﹣eq\f(24,175).課時(shí)精練1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,3)))等于()A．﹣eq\f(\r(3),2) B．﹣eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,3)))＝cos

eq\f(19π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,3)))＝cos

eq\f(π,3)＝eq\f(1,2).2．若cos165°＝a，則tan195°等于()A.eq\r(1－a2) B.eq\f(\r(1－a2),a)C．﹣eq\f(\r(1－a2),a) D．﹣eq\f(a,\r(1－a2))答案C解析若cos165°＝a，則cos15°＝cos(180°﹣165°)＝﹣cos165°＝﹣a，sin15°＝eq\r(1－a2)，所以tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝eq\f(sin15°,cos15°)＝﹣eq\f(\r(1－a2),a).3．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5)))＝eq\f(5,13)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,10)－α))等于()A．﹣eq\f(5,13) B．﹣eq\f(12,13)C.eq\f(12,13) D.eq\f(5,13)答案D解析因?yàn)閑q\f(7π,10)﹣α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5)))＝eq\f(π,2)，所以eq\f(7π,10)﹣α＝eq\f(π,2)﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,10)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5)))＝eq\f(5,13).4．已知sinα＋cosα＝﹣eq\r(2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)等于()A．2B.eq\f(1,2)C．﹣2D．﹣eq\f(1,2)答案A解析由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.5．(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝﹣tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π﹣C)＝sinC，A正確．sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正確．tan(A＋B)＝tan(π﹣C)＝﹣tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正確．cos(A＋B)＝cos(π﹣C)＝﹣cosC，D錯(cuò)誤．6．(多選)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則()A.eq\f(π,2)<α<πB．sinαcosα＝﹣eq\f(12,25)C．cosα﹣sinα＝eq\f(7,5)D．cosα﹣sinα＝﹣eq\f(7,5)答案ABD解析∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，等式兩邊平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，解得sinαcosα＝﹣eq\f(12,25)，故B正確；∵α∈(0，π)，sinαcosα＝﹣eq\f(12,25)<0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正確；cosα﹣sinα<0，且(cosα﹣sinα)2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25)))＝eq\f(49,25)，解得cosα﹣sinα＝﹣eq\f(7,5)，故D正確．7．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝.答案0解析因?yàn)閏os(180°﹣α)＝﹣cosα，于是得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°＋cos91°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°﹣cos89°﹣…﹣cos3°﹣cos2°﹣cos1°＝cos90°＝0.8．設(shè)f(θ)＝eq\f(2cos2θ＋sin22π－θ＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－3,2＋2cos2π＋θ＋cos－θ)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,3)))＝.答案﹣eq\f(5,12)解析∵f(θ)＝eq\f(2cos2θ＋sin2θ＋cosθ－3,2＋2cos2θ＋cosθ)＝eq\f(cos2θ＋cosθ－2,2cos2θ＋cosθ＋2)，又cos

eq\f(17π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,3)))＝cos

eq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,3)))＝eq\f(\f(1,4)＋\f(1,2)－2,\f(1,2)＋\f(1,2)＋2)＝﹣eq\f(5,12).9．(1)已知cosα是方程3x2﹣x﹣2＝0的根，且α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))的值；(2)已知sinx＋cosx＝﹣eq\f(7,13)(0<x<π)，求cosx﹣2sinx的值．解(1)因?yàn)榉匠?x2﹣x﹣2＝0的根為x1＝1，x2＝﹣eq\f(2,3)，又α是第三象限角，所以cosα＝﹣eq\f(2,3)，所以sinα＝﹣eq\f(\r(5),3)，tanα＝eq\f(\r(5),2).所以原式＝eq\f(－cosαsinαtan2α,－sinαcosα)＝tan2α＝eq\f(5,4).(2)∵sinx＋cosx＝﹣eq\f(7,13)(0<x<π)，∴cosx<0，sinx>0，即sinx﹣cosx>0，把sinx＋cosx＝﹣eq\f(7,13)，兩邊平方得1＋2sinxcosx＝eq\f(49,169)，即2sinxcosx＝﹣eq\f(120,169)，∴(sinx﹣cosx)2＝1﹣2sinxcosx＝eq\f(289,169)，即sinx﹣cosx＝eq\f(17,13)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝－\f(7,13)，,sinx－cosx＝\f(17,13)，))解得sinx＝eq\f(5,13)，cosx＝﹣eq\f(12,13)，∴cosx﹣2sinx＝﹣eq\f(22,13).10．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3m，﹣6m)(m≠0)．(1)求eq\f(sinα＋π＋cosα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))))的值；(2)若α是第二象限角，求sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π﹣α)cosα﹣coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值．解(1)∵m≠0，∴cosα≠0，即eq\f(sinα＋π＋cosα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))))＝eq\f(－sinα－cosα,cosα＋2sinα)＝eq\f(－tanα－1,1＋2tanα).又∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3m，﹣6m)(m≠0)，∴tanα＝eq\f(－6m,3m)＝﹣2，故eq\f(sinα＋π＋cosα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))))＝eq\f(－tanα－1,1＋2tanα)＝eq\f(2－1,1＋2×－2)＝﹣eq\f(1,3).(2)∵α是第二象限角，∴m<0，則sinα＝eq\f(－6m,\r(3m2＋－6m2))＝eq\f(－6m,3\r(5)|m|)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(3m,\r(3m2＋－6m2))＝eq\f(3m,3\r(5)|m|)＝﹣eq\f(\r(5),5)，∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π﹣α)cosα﹣coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos2α＋sinαcosα＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))2＋eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(－1＋2\r(5),5).11．(多選)已知角α滿足sinα·cosα≠0，則表達(dá)式eq\f(sinα＋kπ,sinα)＋eq\f(cosα＋kπ,cosα)(k∈Z)的取值可能為()A．﹣2 B．﹣1或1C．2 D．﹣2或2或0答案AC解析當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原式＝eq\f(－sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝(﹣1)＋(﹣1)＝﹣2；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝1＋1＝2.∴原表達(dá)式的取值可能為﹣2或2.12．若sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)答案B解析方程5x2﹣7x﹣6＝0的兩根為x1＝﹣eq\f(3,5)，x2＝2，則sinα＝﹣eq\f(3,5).原式＝eq\f(cosα－cosαtan2α,sinα－sinα－sinα)＝﹣eq\f(1,sinα)＝eq\f(5,3).13．曲線y＝ex＋x2﹣eq\f(2,3)x在x＝0處的切線的傾斜角為α，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝.答案eq\f(4,5)解析由題意得y′＝f′(x)＝ex＋2x﹣eq\f(2,3)，所以f′(0)＝e0﹣eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，所以tanα＝eq\f(1,3)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos