正文目錄簡(jiǎn)介 4對(duì)沖市場(chǎng)共同因子的風(fēng)險(xiǎn)敞口 5不變尺度時(shí)間序列的架構(gòu)設(shè)計(jì) 5通過分布預(yù)測(cè)構(gòu)建投資組合 5本文貢獻(xiàn)總結(jié) 6預(yù)備知識(shí) 6問題設(shè)定 6投資組合優(yōu)化的概念 7系統(tǒng)架構(gòu) 7提取殘差因子 7分布預(yù)測(cè)與投資組合構(gòu)建 9網(wǎng)絡(luò)架構(gòu) 104 實(shí)驗(yàn) 11數(shù)據(jù)集描述和共同設(shè)置 11譜殘差的有效性 12系統(tǒng)的性能評(píng)估 13相關(guān)工作 14因子模型與殘差因子 14基于深度學(xué)習(xí)模型的資產(chǎn)價(jià)格預(yù)測(cè) 146 結(jié)論 15風(fēng)險(xiǎn)提示： 15圖表目錄圖表1文章框架 4圖表2系統(tǒng)概述 7圖表3基于原始收益、FA殘差、譜殘差的反轉(zhuǎn)策略的累積收益率 12圖表4美國(guó)市場(chǎng)上的策略累積財(cái)富 13圖表5美國(guó)市場(chǎng)上的策略表現(xiàn)對(duì)比 13圖表6美國(guó)市場(chǎng)上的策略累積財(cái)富（未提取譜殘差） 14圖表7美國(guó)市場(chǎng)上的策略表現(xiàn)對(duì)比（未提取譜殘差） 14圖表1文章框架

簡(jiǎn)介資料來(lái)源：深度學(xué)習(xí)技術(shù)在許多應(yīng)用領(lǐng)域中取得了重大進(jìn)展(Devlinetal.2019;Graves,Mohamed,andHinton2013)，這激發(fā)了投資者和金融機(jī)構(gòu)開發(fā)機(jī)器學(xué)習(xí)輔助交易etal2019ChoudhryandGarg2008Shah2007)(Krauss,Do,andHuck2017)。尤(MalkielandFama1970)一般來(lái)說，深度學(xué)習(xí)方法快速適應(yīng)給定環(huán)境的好方式是引入一種能夠很好地反映環(huán)境歸納偏差的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。此類架構(gòu)最突出的例子包括用于圖像數(shù)據(jù)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)CNNsSutskeverandHinton2012)LSTMs(HochreiterandSchmidhuber1997)在金融領(lǐng)域，研究人員提出了各種交易策略，并對(duì)其有效性進(jìn)行了實(shí)證研究。因此，從金融研究的實(shí)證結(jié)果中尋找架構(gòu)靈感是合理的。我們尤其考慮了股票市場(chǎng)的以下三個(gè)特點(diǎn)。對(duì)沖市場(chǎng)共同因子的風(fēng)險(xiǎn)敞口(e.g.FamaandFrench1992,2015)。這些因子模型將股票??在時(shí)間??的收益率表示為?????? =∑??(??)??(??)+??

(1)??,??

?? ??=1

??,??其中，??(1),…,??(??)是股票??∈{1,…,??}的共同因子，??

是對(duì)應(yīng)于個(gè)股??的殘差因子。?? ?? ??,??因此，共同因子對(duì)應(yīng)的是整個(gè)股票市場(chǎng)或行業(yè)的動(dòng)態(tài)，而殘差因子則傳達(dá)了一些公司的特定信息。的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)敞口。例如，眾所周知，基于動(dòng)量效應(yīng)的經(jīng)典策略(Jegadeeshand1993)Fama-French(FamaandFrench1992,2015)2008(Calomiris,Love,andPeria2010;Szado2009)。另一方面，研究人員發(fā)現(xiàn)，僅基于殘差因子的交易策略可以穩(wěn)健盈利，因?yàn)檫@類策略(Blitz,Huij,andMartensBlitzetal.2013)。因此，為了制定對(duì)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)性變化具有穩(wěn)健性的交易策略，考慮基于殘差因子的策略是合理的。消除市場(chǎng)效應(yīng)和提取殘差因子的一種自然方法是利用線性分解方法，如主成分分析（PCA）和因子分析（FA）。在訓(xùn)練基于深度學(xué)習(xí)的策略時(shí)，從觀測(cè)數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)這種分解結(jié)構(gòu)是較為困難的。一個(gè)可能的原因是，學(xué)習(xí)到的策略會(huì)偏向于使用市場(chǎng)因子的信息，因?yàn)槭袌?chǎng)因子的影響在許多股票中占主導(dǎo)地位(Pasini2017)。因此，為了利用殘差因子，在架構(gòu)中明確實(shí)現(xiàn)類似分解的結(jié)構(gòu)是合理的。不變尺度時(shí)間序列的架構(gòu)設(shè)計(jì)當(dāng)我們使用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法處理某項(xiàng)預(yù)測(cè)任務(wù)時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的有效選擇通常取決于數(shù)據(jù)中的模式或不變量。例如，CNN(LeCunetal.1999)考慮到了通常出現(xiàn)在圖像類數(shù)據(jù)中的平移不變性結(jié)構(gòu)。從這個(gè)角度來(lái)看，找到對(duì)處理金融時(shí)間序列有用的不變性結(jié)構(gòu)非常重要。目前金融文獻(xiàn)中有兩類不變量適合作為這種結(jié)構(gòu)的候選對(duì)象。首先，在金融時(shí)間序列中經(jīng)常觀察到一種稱為波動(dòng)率聚集的現(xiàn)象(LuxandMarchesi2000)，這表明序列的波動(dòng)率（即振幅）具有不變性結(jié)構(gòu)。其次，有一種假設(shè)認(rèn)為股票價(jià)格序列具有一定的時(shí)間尺度不變性，即分形結(jié)構(gòu)(Peters1994)。我們假設(shè)，將這種不變性納入網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)可有效加速對(duì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)。通過分布預(yù)測(cè)構(gòu)建投資組合(Jegadeeshand1993)建議采取一種押注當(dāng)前市場(chǎng)趨勢(shì)的策略，而均值回歸(PoterbaandSummers1988)則建議采取另一種假設(shè)股票收益朝著當(dāng)前方向的相反方向移動(dòng)的策略。然而，從結(jié)構(gòu)上看，動(dòng)量策略和反轉(zhuǎn)策略互為負(fù)相關(guān)，通常不清楚哪種策略對(duì)特定市場(chǎng)是有效的。另一方面，現(xiàn)代投資組合理論(Markowitz1952)提供了另一個(gè)框架，可根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格的分布特性（通常是收益的均值和方差）來(lái)確定投資組合，由此得出的投資組合是唯一的，因?yàn)樗谀承╊A(yù)設(shè)條件下對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了最佳權(quán)衡。從這個(gè)角度來(lái)看，收益的分布預(yù)測(cè)有助于構(gòu)建能夠自適應(yīng)市場(chǎng)的交易策略。本文貢獻(xiàn)總結(jié)我們提出了一種提取殘差信息的新方法，稱之為“譜殘差”。與經(jīng)典的基于因子分析的方法相比，譜殘差的計(jì)算速度更快，同時(shí)又不會(huì)失去對(duì)沖市場(chǎng)因子風(fēng)險(xiǎn)的能力。此外，譜殘差可以很容易地與任何預(yù)測(cè)算法相結(jié)合。我們提出了一種基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的股票價(jià)格分布預(yù)測(cè)系統(tǒng)。系統(tǒng)包含兩個(gè)新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，其靈感來(lái)源于眾所周知的金融時(shí)間序列不變性假設(shè)。通過預(yù)測(cè)收益的分布信息，我們可以利用現(xiàn)代投資組合理論確定最優(yōu)投資組合。我們?cè)谡鎸?shí)市場(chǎng)數(shù)據(jù)上證明了所提出的方法的有效性。補(bǔ)充材料可參見發(fā)表在arXiv上的本文的擴(kuò)展版本(Imajoetal.2020)。補(bǔ)充材料包含了本文附錄，其中包括詳細(xì)的數(shù)學(xué)公式、實(shí)驗(yàn)設(shè)置、理論分析和附加實(shí)驗(yàn)。預(yù)備知識(shí)問題設(shè)定設(shè)有??支股票，以符號(hào)??為索引，觀測(cè)值是股票價(jià)格的離散時(shí)間序列??(1)=(??(??),??(??),…,??(??),…)，其中，??(??)是股票??在時(shí)刻??的價(jià)格。我們主要考慮股票的收益1 2 ?? ??率，而非原始價(jià)格。股票??在時(shí)刻??的收益率定義為??(??)=??(??)/??(??)?1。?? ??+1 ??投資組合可表示為股票的權(quán)重向量??=(??(1),…,??(??),…,??(??))，其中??(??)是股票???? ?? ?? ?? ??在時(shí)刻??的投資數(shù)量，滿足∑?? |??(??)|=1。投資組合??可以理解為一種特殊的交易??=1 ?? ??策略，即??(??)>0意味著投資者在時(shí)刻??對(duì)股票??持有數(shù)量為|??(??)|的多頭頭寸，而?? ????(??)<0則意味著對(duì)該股票持有空頭頭寸。給定投資組合??，其在時(shí)刻??的總收益?? ?????∑?? ??(??)??(??)，那么，給定個(gè)股收益的歷史觀測(cè)值，我們的任務(wù)就是確定能夠?? ??=1?? ??最大化未來(lái)收益的????。一類重要的投資組合是零投資組合，其定義如下。??定義1（零投資組合）：零投資組合是指多頭頭寸和空頭頭寸平衡的投資組合，??即即??=1

??(??)=0。在本文中，我們將只關(guān)注輸出為零投資組合的交易策略。這一假設(shè)是合理的，因?yàn)榱阃顿Y組合不需要股權(quán)，因此有利于不同策略之間進(jìn)行公平比較。在實(shí)踐中，收益觀測(cè)和實(shí)際執(zhí)行交易之間可能會(huì)有延遲?？紤]到這種延遲，我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中采用了延遲參數(shù)??。當(dāng)我們?cè)谘舆t??天的情況下進(jìn)行交易時(shí)，總收益應(yīng)為???????=∑??

??(??)??(??)。??

??=1

??+??投資組合優(yōu)化的概念根據(jù)現(xiàn)代投資組合理論(Markowitz1952)，投資者構(gòu)建投資組合的目的是在特定的可接受風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)預(yù)期收益最大化。標(biāo)準(zhǔn)差通常用于量化風(fēng)險(xiǎn)或多變性，所謂多變性是指衡量股票年收益率偏離其長(zhǎng)期歷史均值的程度(Kintzel2007)。夏普比率(Sharpe1994)是金融領(lǐng)域最常用的風(fēng)險(xiǎn)/收益衡量標(biāo)準(zhǔn)之一。它是指每單位波動(dòng)所獲得的超過無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的平均收益。夏普比率的計(jì)算公式為(?????????)/????，其中????是投資組合的收益，????是投資組合超額收益的標(biāo)準(zhǔn)差，????是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如政府債券）的收益。對(duì)于零投資組合，我們可以省略????，因?yàn)樗恍枰蓹?quán)(Mitra2009)。在本文中，我們采用夏普比率作為投資組合構(gòu)建問題的目標(biāo)一旦我們得到未來(lái)收益的均值向量和協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值，最優(yōu)投資組合???就可以求解為???=???1???1??，其中，??是代表相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的預(yù)定義參數(shù)，??是估計(jì)的協(xié)方差矩陣，??是估計(jì)的均值向量(KanandZhou2007)。因此，預(yù)測(cè)均值和協(xié)方差對(duì)于構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資組合至關(guān)重要。系統(tǒng)架構(gòu)圖表2(i)3.1(ii)該系統(tǒng)使用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)器來(lái)預(yù)測(cè)譜殘差的未來(lái)分布。在第三部分(iii)中，利用預(yù)測(cè)的分布信息構(gòu)建最優(yōu)的投資組合。我們將在第3.2節(jié)中概述這些步驟。此外，我們還引入了一種新穎的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，它結(jié)合了眾所周知的金融歸納偏差，我們將在第3.3節(jié)中對(duì)此進(jìn)行解釋。圖表2系統(tǒng)概述資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，提取殘差因子正如引言所述，本文的重點(diǎn)是開發(fā)基于殘差因子的交易策略，其中殘差因子是指在對(duì)沖共同市場(chǎng)因子后的剩余信息。本文引入了一種新的提取殘差信息的方法，稱之為譜殘差。譜殘差的定義：首先，從投資組合理論中引入一些概念。假設(shè)??是一個(gè)均值為零、協(xié)方差為??∈????×??的隨機(jī)向量，表示??支股票在給定的投資期限內(nèi)的收益。由于??是對(duì)稱的，存在分解??=??????T，其中??=[??1,…,????]為正交矩陣，??=diag(??1,…,????)是對(duì)角線元素為特征值的對(duì)角矩陣。然后，我們可以構(gòu)建一個(gè)新的隨??機(jī)向量=??T??，其坐標(biāo)分量=??T??被稱為主要??投資組合(PartoviandCaputo2004)。主要投資組合已被用于“風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)”方法，以分散市場(chǎng)上內(nèi)在風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源的風(fēng)險(xiǎn)(Meucci2009)。由于第??個(gè)主要投資組合的波動(dòng)率（即標(biāo)準(zhǔn)差）為√????，因此原始收益序列對(duì)具有較大特征值的主要投資組合有較大的風(fēng)險(xiǎn)敞口。例如，第一主要投資組合可以被視為與整體市場(chǎng)對(duì)應(yīng)的因子(Meucci2009)。因此，為了對(duì)沖共同市場(chǎng)因子，一個(gè)自然的想法是舍棄幾個(gè)特征值最大的主要投資組合。形式上，我們對(duì)譜殘差定義如下。定義2設(shè)??(<??)為給定的正整數(shù)。定義譜殘差???為通過將原始收益向量??投影到特征值最小的?????個(gè)主要投資組合所成的空間上而得到的向量。在實(shí)踐中，我們計(jì)算譜殘差的經(jīng)驗(yàn)版本如下。給定時(shí)間窗口??>1，定義窗口信號(hào)?????[?????,…,???1]，并用???表示由????減去行向量的經(jīng)驗(yàn)均值后得到的矩陣。S，???其中，????是一個(gè)??×??維的正交矩陣，????是一個(gè)??×??維的矩陣，其行向量為相互正交的單位向量，1≥?≥??為奇異值。注意到，T???為主要投資組合的已實(shí)現(xiàn)收??(?????≤??≤???1)經(jīng)驗(yàn)譜殘差的計(jì)算公式為?????????? (2)??其中，????為投影矩陣，其定義為與因子模型的關(guān)系盡管我們通過PCA定義了譜殘差，但它們也與生成模型(1)相關(guān)，從而傳遞了原始意義上“殘差因子”的信息。金融文獻(xiàn)指出，僅依賴于式(1)中殘差因子????的交易策略可以對(duì)整體市場(chǎng)的結(jié)構(gòu)(Blitz,Huij,andMartens2011;Blitzetal.2013)。雖然線性因子模型(1)中的參數(shù)估計(jì)通常基于因子分析（FA）(Bartholomew,Knott,andousai201)???與從A中得到的殘差因子并不完全相同。命題1設(shè)??∈????是由線性模型??=????+??生成的隨機(jī)向量，其中??為??×??維矩陣，??∈????，??∈????為零均值隨機(jī)向量。假定以下條件成立：=1，Var(????)=??0。??和??的坐標(biāo)分量互不相關(guān)，即對(duì)任意的????和????，成立0，??[????????]=0，??[????????]=0。那么，我們有(2)??的協(xié)方差矩陣為??2??res，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下可以近似為對(duì)角矩陣，這意味著譜殘差????(??∈{1,??})在上述命題中，第一個(gè)命題(i)表明，況下消除共同因子(ii)預(yù)測(cè)的協(xié)方差矩陣可以近似為對(duì)角矩陣，B??向同性的假設(shè)可以在以下意義上得到放寬。如果我們假設(shè)殘差因子??是幾乎各向同性的，且共同因子????比??B此外，譜殘差的計(jì)算速度明顯快于基于FA的方法，這是因?yàn)镕A復(fù)執(zhí)行SVD4.2的實(shí)驗(yàn)比較。分布預(yù)測(cè)與投資組合構(gòu)建我們的下一個(gè)目標(biāo)是根據(jù)提取的信息構(gòu)建投資組合。為此，分布預(yù)測(cè),?????,???1,??的,?????,…,,???1)的預(yù)測(cè)器。由要條件分布的完整信息。盡管如此，擬合正態(tài)分布等對(duì)稱模型可能會(huì)有問題，因?yàn)?Cont2000;LinandLiu2018)一點(diǎn)，我們利用分位數(shù)回歸(Koenker2005)數(shù)。直觀地說，量的任何分布性質(zhì)。我們訓(xùn)練一個(gè)預(yù)測(cè)多個(gè)條件分位數(shù)的函數(shù)??，并將其輸出轉(zhuǎn)換為條件均值和方差的估計(jì)量學(xué)習(xí)框架。下面我們將詳細(xì)介紹上述步驟。首先，我們概述一下分位數(shù)回歸的目標(biāo)。設(shè)??是一個(gè)標(biāo)量隨機(jī)變量，??是另外的隨機(jī)變量。對(duì)于??∈(0,1)，給定??=??，??的條件??分位數(shù)被定義為??(??;??)?inf{??′:??(??≤??′|??=??)≥??} 已知??(??;??)可以通過求解以下最小化問題得到??(??;??)=??????????????[???(??,??′)|??=??] (4)??′∈??其中???(??,??′)為彈球損失函數(shù)，定義為T???(??,??′)???????{(???1)(?????′),??(?????′)} T

=

=

,…,

)。我們希望構(gòu)造一個(gè)函數(shù)??:????→??來(lái)估計(jì)????的條件??分位數(shù)。為此，分位數(shù)回歸試圖解決以下最小化問題??mn??,????(??,??(????] ()??其中，??,??為在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)關(guān)于??和??的經(jīng)驗(yàn)期望。我們應(yīng)該注意到iu和Patra（2011）的研究中也考慮了分位數(shù)回歸預(yù)測(cè)時(shí)間序列條件分位數(shù)的類似應(yīng)用。接下來(lái)，設(shè)??>0為給定整數(shù)，并設(shè)????=??/??(??=1,…,???1)為等距分位數(shù)網(wǎng)格。我們考慮通過函數(shù)??:????→?????1同時(shí)估計(jì)??分位數(shù)的問題，為此，定義損失函數(shù)為???1????(????,??(????))?∑?????(????,????(????))??=1

(7)其中，????(????)是??(????)的第??個(gè)坐標(biāo)分量。一旦我們得到估計(jì)的???1個(gè)分位數(shù)???)=??????=1,…,???1)，我們就可以估計(jì)目標(biāo)變量????的未來(lái)均值為

?? ?? ?????11????(?)=

∑???)

(8)?? ??

???1

????=1?????)?????

1??(?)=

∑???)???

2(9)?? ??

???1 ??

??)或者其穩(wěn)健的對(duì)應(yīng)值，如中位數(shù)絕對(duì)偏差（MAD）。投資組合構(gòu)建根據(jù)對(duì)未來(lái)譜殘差的均值和方差的估計(jì)，我們最終基于現(xiàn)代組合理論提供的最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造組合(Markowitz1952)。如第2.2節(jié)所述，最優(yōu)投資1-(ii)殘差的協(xié)方差矩陣。精確地說，一旦我們計(jì)算出時(shí)刻??的均值?,??和譜殘差???的預(yù)??????????,?????。在第4節(jié)的實(shí)驗(yàn)中，我們比較了零投資組合的表現(xiàn)。對(duì)于不輸出零投資組合的交易策略，我們對(duì)投資組合應(yīng)用一種普遍的轉(zhuǎn)換方式，使其中心化和標(biāo)準(zhǔn)化。因此，最終的投資組合并不依賴于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)??。詳見附錄A.1。網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)對(duì)于分位數(shù)預(yù)測(cè)模型??，我們引入了兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型架構(gòu)，它們都考慮了金融學(xué)中研究的尺度不變性。波動(dòng)率不變性首先，我們考慮金融時(shí)間序列振幅的不變性。眾所周知，金融(Mandelbrot1997)信號(hào)看作金融時(shí)間序列，那么通過正標(biāo)量乘法得到的信號(hào)可以被視為金融時(shí)間序列的另一種可信實(shí)現(xiàn)。函數(shù)??????→????是正齊次的，若??(????)=????(??)對(duì)任何??∈????和??>0成立。例如，ReLU更一般地，我們可以對(duì)正齊次函數(shù)類進(jìn)行如下建模。設(shè)?:???1→?????1是定義在???1維球體上的任意?????1={??∈????:||??||=1}。然后，我們得到正齊次函數(shù)??(??)=||??|?(??) (1)||??||因此，我們可以將球面上的任何函數(shù)類轉(zhuǎn)換為振幅不變預(yù)測(cè)模型。時(shí)間尺度不變性其次，我們考慮時(shí)間尺度的不變性。有一個(gè)眾所周知的假設(shè)，(Peters1994)(Cao,Cao,andXu2013;Mensietal.2018;Leeetal.2018)錄A.21。為了利用分形結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，我們提出了一種新穎的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，我們稱為分形網(wǎng)絡(luò)。其主要思想是，我們通過對(duì)具有不同采樣率的多個(gè)子序列應(yīng)用一個(gè)共同操作來(lái)有效地利用自相似性。通過這種方法，我們預(yù)計(jì)可以提高采樣效率，并減少需要訓(xùn)練的參數(shù)數(shù)量。在此，我們將簡(jiǎn)要介紹所提架構(gòu)，同時(shí)將在附錄A.2中給出更詳細(xì)的解釋。我們的模型由兩部分組成：(a)重采樣機(jī)制；(b)兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ψ1和ψ2。我們模型的輸入輸出關(guān)系描述如下。首先，給定單個(gè)股票收益序列??，重采樣機(jī)制Resample(??,??)會(huì)生成一個(gè)序列，該序列與尺度參數(shù)0<??≤1指定的采樣率相對(duì)應(yīng)。我們對(duì)??個(gè)不同的參數(shù)??1<?<????=1，生成??個(gè)序列。接著，我們應(yīng)用一個(gè)由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的普通非線性變換??1。最后，通過提取這些序列的經(jīng)驗(yàn)平均值，我們匯總了不同采樣率的信息，并應(yīng)用另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)??2?？傊?，整個(gè)過程可以用以下方程來(lái)表示??1??(??)=??2(??∑??1(Resample(??,????))) (11)??=1實(shí)驗(yàn)我們進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)，以證明我們的方法在真實(shí)市場(chǎng)數(shù)據(jù)上的有效性。在第節(jié)中，我們描述了數(shù)據(jù)集的細(xì)節(jié)以及在本節(jié)中使用的一些共同實(shí)驗(yàn)設(shè)置。在第4.3E數(shù)據(jù)集描述和共同設(shè)置美國(guó)市場(chǎng)數(shù)據(jù)在美國(guó)市場(chǎng)數(shù)據(jù)方面，我們使用2000年1月至2020年4月期50020081AlphaVantage。我們使用開盤價(jià)的原因如下。首先，開盤時(shí)段的交易量大于收盤時(shí)段的交易量(AmihudandMendelson1987)，這意味著用開盤價(jià)交易實(shí)際上比用收盤價(jià)交易更容易。此外，金融機(jī)構(gòu)不能在收盤期間大量交易股票，因?yàn)檫@會(huì)被視為一種非法行為，即所謂的“尾盤沖擊”。共同實(shí)驗(yàn)設(shè)置我們采用延遲參數(shù)??=1（即延遲一天）來(lái)更新投資組合。我們將回溯窗口大小設(shè)為??=256，即所有預(yù)測(cè)模型都可以使用之前256個(gè)交易日的歷史股票價(jià)格。有關(guān)實(shí)驗(yàn)中使用的其他參數(shù)參見附錄C.3。評(píng)估指標(biāo)我們列出了在整個(gè)實(shí)驗(yàn)中使用的評(píng)估指標(biāo)。（????）?∏??(1????)??=1年化收益率（????）是投資期限為一年所獲的收益率，定義為???????(????/???? ????（????????）

?((??/??)∑??

21/2{??]

?? ??=1)（??????）(Sharpe1994)???????/??????????如第2.2節(jié)所述，我們主要將??????作為主要評(píng)估指標(biāo)，????和????????是計(jì)算??????的輔助指標(biāo)。雖然????代表了實(shí)際利潤(rùn)，但它往往忽略了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的存在。除此之外，我們還計(jì)算了一些金融中常用的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)：最大回撤（??????）、Calmar比率（????）和下行偏離比率（??????）。為完整起見，我們?cè)诟戒汣.1中提供了精確的定義。譜殘差的有效性如第3.1節(jié)所述，譜殘差可用于對(duì)沖市場(chǎng)因子的風(fēng)險(xiǎn)敞口。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，我們比較了基于以下因子的交易策略表現(xiàn)：(i)原始收益；(ii)因子分析（FA）提取的殘差因子；(iii)譜殘差。對(duì)于FA(Bartholomew,Knott,andMoustaki2011)擬合??=30的因子模型(1)，并提取殘差因子作為剩余部分。關(guān)于譜殘差，我們通過從原始收益中減去??=30??=256的窗口數(shù)據(jù)。為了不影響訓(xùn)練算法的選擇，我們使用了一種簡(jiǎn)單的反轉(zhuǎn)策略。確切地說，對(duì)于原始收益序列????，我們使用的是一種確定性策略，將前一個(gè)觀測(cè)值??????1的相反數(shù)歸一化為零投資組合（精確公式見附錄C.2）。我們用類似方法定義了殘差序列的反轉(zhuǎn)策略。圖表3基于原始收益、FA殘差、譜殘差的反轉(zhuǎn)策略的累積收益率資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，圖表3基于，包括200020082020FA似。此外，就夏普比率而言，譜殘差（2.86）的表現(xiàn)優(yōu)于FA殘差（2.64）。FAPCAFAscikit-learn(Pedregosaetal.2011)XeonGold6254（3.1GHz）18個(gè)CPU殘差耗時(shí)約10分鐘，而FA耗時(shí)約13小時(shí)。系統(tǒng)的性能評(píng)估我們?cè)诿绹?guó)市場(chǎng)數(shù)據(jù)上評(píng)估了第3節(jié)所述的系統(tǒng)性能。日本市場(chǎng)數(shù)據(jù)的相應(yīng)結(jié)果見附錄E?；€方法我們將所提出的系統(tǒng)與以下基線進(jìn)行比較：(i)Market代表統(tǒng)一的買(ii)AR(1)-1AR(1))Linear??個(gè)原始收益率的普通線性回歸收益預(yù)測(cè)模型。(iv)MLPdropout(PalandMitra1992;IoffeandSzegedy2015;Srivastavaetal.2014)。(v)SFM記憶RNN(Zhang,AggarwalandQi2017)。此外，我們還將我們提出的系統(tǒng)（DPO）與一些消融模型進(jìn)行了比較，這些模型與DPO相似，除了以下幾點(diǎn)：無(wú)分位數(shù)預(yù)測(cè)DPO（DPO-NQ）不使用分布預(yù)測(cè)的信息，而是輸出經(jīng)??2損失DPO（DPO-NF）無(wú)波歸化DPO（DPO-NV）使分網(wǎng)的歸化見式(10)）圖表4美國(guó)市場(chǎng)上的策略累積財(cái)富 圖表5美國(guó)市場(chǎng)上的策表現(xiàn)對(duì)比資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，

資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，真實(shí)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的表現(xiàn)44.1????=10，這是我們根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)確定的（詳見附錄D.2）?？傮w而言，我們提出的DPO方法在多個(gè)評(píng)估指標(biāo)上都優(yōu)于基線方法。關(guān)于與三種消融模型的比較，我們有以下結(jié)論：分布預(yù)測(cè)的影響??????。雖然DPO-NQ????DPO在??????在沒有方差預(yù)測(cè)的情況下，DPO-NQ傾向于追求收益，而不考慮承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)DPO在降低????????????。分形網(wǎng)絡(luò)的影響????????的同時(shí)有助于提高????，這表明利用歸一化的影響(10)DPODPO-NV，歸一化對(duì)????和????????都有影響，并改善了??????。這可能是因?yàn)闅w一化通過降低模型的自由度來(lái)提高樣本效率。圖表6美國(guó)市場(chǎng)上的策累積財(cái)富（未提取殘） 圖表7美國(guó)市場(chǎng)上的策表現(xiàn)對(duì)比（未提取殘）資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，

資料來(lái)源：《DeepPortfolioOptimizationviaDistributionalPredictionofResidualFactors》，67AR(1)ASR（5）圖表7）子，促進(jìn)了反轉(zhuǎn)現(xiàn)象(PoterbaandSummers1988)情況下，????在測(cè)試期間出現(xiàn)交叉，沒有一種基線方法能始終優(yōu)于其他方法（圖表6）。一個(gè)可能的原因是原始股票收益之間的強(qiáng)相關(guān)性增加了共同市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的敞口。我們發(fā)現(xiàn)，我們的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)對(duì)原始序列仍然有效。特別地，DPO在多個(gè)